Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 6. Vectơ trong không gian có đáp án
33 câu hỏi
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
Sau khi học xong bài này, ta thấy rằng:
Trong không gian, vectơ vẫn là công cụ để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, lực hay các đại lượng khác. Các phép toán trong không gian tương tự như trong mặt phẳng nhưng có một số khác biết như:
- Biểu diễn vectơ: Trong không gian mỗi vectơ được biểu diễn bởi một cặp ba giá trị (x; y; z).
- Các phép toán vectơ: cơ bản vẫn giống trong mặt phẳng.
Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
a) Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ thể hiện rằng lực căng dây nằm dọc theo dây treo và hướng về phía móc treo của cần cẩu. Độ lớn của các lực căn dây xấp xỉ bằng nhau.
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
b) Các đoạn thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.
a) Hướng bay của khinh khí cầu
b) Hướng đi của thuyền trên sông
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ AC→,AD→,AD'→:
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?
a) Hai vectơ có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD) là AC→,AD→.
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên AD = DC = DD'.
Xét ∆ADC vuông tại D, có AC=AD2+DC2=AD2
Xét ∆ADD' vuông tại D, có AD'=AD2+DD'2=AD2 .
Do đó AC = AD' hay AC→=AD'→ .
Vậy hai vectơ AC→,AD'→ có cùng độ dài.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).
a) So sánh độ dài của hai vectơ AB→ và D'C'→.
a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD và CDD'C' là các hình bình hành nên AB = CD = D'C'.
Do đó AB→=D'C'→
b) Nhận xét về giá của hai vectơ AB→ và D'C'→ .
b) Vì ABCD và CDD'C' là các hình bình hành nên AB // DC và DC // D'C'.
Do đó AB // D'C' .
Vậy hai vectơ AB→ và D'C'→ có giá song song.
c) Hai vectơ AB→ và D'C'→ có cùng phương không? Có cùng hướng không?
c) Hai vectơ AB→ và D'C'→ có cùng phương, có cùng hướng.
Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Trong ba vectơ SC→,AD→và DC→ , vectơ nào bằng vectơ AB→?
b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho MN→=AB→.
Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lần tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển có bằng nhau không? Giải thích vì sao.
Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 là .
Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 là .
Vì hai vectơ a→,b→ đều dịch chuyển từ tầng thấp nên tầng cao nên hai vectơ này cùng hướng.
Và a→=b→=7.
Do đó ta có a→=b→.
Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển bằng nhau.
Trong không gian, cho hai vectơ a→ và b→ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ AB→=a→ ,BC→=b→. Lấy điểm A' khác A và vẽ các vectơ A'B'→=a→,B'C'→=b→ (H.2.10).
a) Giải thích vì sao AA'→=BB'→ và BB'→=CC'→.
a) Vì AB→=a→ và A'B'→=a→ nên AB→=A'B'→.
Do đó ABB'A' là hình bình hành.
Suy ra AA' // BB' và AA' = BB'. Do đó AA'→=BB'→.
Vì BC→=b→ và B'C'→=b→ nên BC→=B'C'→.
Do đó BCC'B' là hình bình hành.
Suy ra BB' // CC' và BB' = CC'. Do đó BB'→=CC'→.
b) Giải thích vì sao AA'C'C là hình bình hành, từ đó suy ra AC→=A'C'→.
b) Vì AA'→=BB'→ và BB'→=CC'→ nên AA'→=CC'→.
Do đó ACC'A' là hình bình hành.
Do đó AC→=A'C'→.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ AC→+C'D'→.
Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng AB→+CD→=AD→+CB→.
Ta có AB→=AD→+DB→.
Do đó AB→+CD→=AD→+DB→+CD→=AD→+CD→+DB→=AD→+CB→.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14).
a) Hai vectơ AB→+AD→ và AC→ có bằng nhau hay không?
a) Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:
AB→+AD→=AC→
b) Hai vectơ AB→+AD→+AA'→ và AC→ có bằng nhau hay không?
b) Có AB→+AD→+AA'→=AC→+AA'→.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AA' // CC' và AA' = CC'.
Do đó ACC'A' là hình bình hành.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có AC→+AA'→=AC'→.
Vậy AB→+AD→+AA'→=AC'→.
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có: BA→+BC→+BB'→=BD'→.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh BB'→+CD→+AD→=BD'→.
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?
Vì hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau nên hai vectơ biểu diễn hai lực đó cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.
Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.
Quan sát thấy hai vectơ vận tốc cùng phương (vì làn lên và làn xuống song song) và ngược hướng (một làn đi lên và một làn đi xuống). Thông thường thì làn lên và làn xuống có cùng tốc độ di chuyển nên độ lớn của hai vectơ vận tốc bằng nhau. Vì vậy hai vectơ vận tốc là hai vectơ đối nhau.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ F1→và F2→. Hãy giải thích vì sao F1→=kF2→ với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác ) góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.
Góc giữa hai vectơ cùng hướng là 0°.
Góc giữa hai vectơ ngược hướng là 180°.
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng:
Tích vô hướng của hai vectơ u→,v→ là một số, kí hiệu là u→⋅v→=u→⋅v→⋅cosu→,v→.
Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng AS→⋅BD→ và AS→⋅CD→.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'C→⋅B'D'→=0
Như đã biết, nếu có một lực F→ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức A=F→.MN→, trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực F→ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.
Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA→+SC→=SB→+SD→.
Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng MN→=13SA→+BC→+AB→.
Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn AI→=3IG→, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).
Giả sử khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.
G là trọng tâm DBCD, I là trọng tâm của tứ diện
Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AG ^ (BCD) và AG = 8 cm.
Vì AI→=3IG→ nên 3 điểm A, I, G thẳng hàng và IG=14AG.
Do đó IG ^ (BCD). Khi đó dI,BCD=IG=14AG=2 cm.
Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
