Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án

Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Các phép toán về vectơ trong không gian:

- Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

+ Quy tắc ba điểm: AB→+BC→=AC→ .

+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB→+AD→=AC→.

+ Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì AB→+AD→+AA'→=AC'→ .

+ Quy tắc hiệu: OA→−OB→=BA→ .

- Tích của một số với một vectơ trong không gian: …

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Trong mặt phẳng, ta có các định nghĩa sau:

a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ cùng hướng khi chúng có cùng chiều từ điểm đầu đến điểm cuối.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là  0→.

c) Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ  a→ được gọi là vectơ đối của vectơ a→, kí hiệu là −a→. Hai vectơ a→ và −a→  được gọi là hai vectơ đối nhau.

a) Do các vectơ BB'→, CC'→, DD'→  cùng hướng với vectơ  và AA' = BB' = CC' = DD' (tính chất hình hộp) nên AA'→=BB'→=CC'→=DD'→.

Vậy ba vectơ BB'→, CC'→, DD'→ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ  AA'→.

b) Do các vectơ B'B→, C'C→, D'D→  ngược hướng với vectơ AA'→ và AA' = BB' = CC' = DD' (tính chất hình hộp) nên ba vectơ B'B→, C'C→, D'D→ là ba vectơ đối của vectơ AA'→.

a) Từ điểm A, ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ a→, trên đường thẳng này, ta lấy điểm B sao cho hai vectơ AB→ và a→ cùng hướng, đồng thời a→=AB.

Vậy ta được AB→=a→. Tương tự ta vẽ vectơ BC→.

b) Ta có AB→+BC→=AC→.

Vậy tổng của hai vectơ a→ và b→ bằng vectơ AC→.

Theo quy tắc ba điểm, ta có AC→=AB→+BC→.

Do đó, AC→+DB→=AB→+BC→+DB→=AB→+DB→+BC→=AB→+DC→.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD và ACC'A' là các hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên ta có AB→+AD→=AC→.

Do ACC'A' là hình bình hành nên ta có AC→+AA'→=AC'→.

Từ đó ta suy ra  AC'→=AC→+AA'→=AB→+AD→+AA'→.

Vậy AB→+AD→+AA'→=AC'→.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ta có AD→=B'C'→, CD→=B'A'→ .

Do đó: B'B→+AD→+CD→=B'B→+B'C'→+B'A'→=B'D→

a)

b) Dựng hình bình hành AMCN, khi đó ta có MN→=MA→+MC→=a→+−b→.

Vậy tổng của hai vectơ a→ và −b→ bằng vectơ MN→.

Ta có BB'→−C'B'→−D'C'→=BB'→+−C'B'→+−D'C'→

                                      =BB'→+B'C'→+C'D'→=BC'→+C'D'→=BD'→.

Định nghĩa:

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ a→≠0→. Tích của một số k với vectơ a→ là một vectơ, kí hiệu là ka→, được xác định như sua:

Cùng hướng với vectơ a→ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a→ nếu k < 0;

Có độ dài bằng |k| ∙a→ .

a) Vì N là trung điểm của BC nên với điểm M, ta có MN→=12MB→+MC→ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: MB→=MA→+AB→,  MC→=MD→+DC→.

Lại có M là trung điểm của AD nên MA→+MD→=0→.

Từ đó ta suy ra MN→=12MB→+MC→=12MA→+AB→+MD→+DC→

                             =12AB→+DC→+MA→+MD→=12AB→+DC→ .

Vậy MN→=12AB→+DC→ .

a)

b) Định nghĩa góc giữa hai vectơ OA→,  OB→ trong mặt phẳng (P): Góc giữa hai vectơ OA→,  OB→ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là OA→,  OB→ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC và MN = 12BC. Suy ra MN→=12BC→.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có BI→=12BC→.

Từ đó suy ra MN→=BI→ . Do đó,  MN→,  BD→=BI→, BD→=IBD^.

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD đều, suy ra IBD^=CBD^=60°.

Vậy MN→, BD→=60° .

Ta có: AC→=A'C'→. Do đó, AC→,  A'D'→=A'C'→, A'D'→=C'A'D'^.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'B'C'D' là hình vuông.

Suy ra C'A'D'^=45°.

Vậy AC→,  A'D'→=45°.

Ta có: A'B→=D'C→. Do đó, A'B→,  D'C'→=D'C→, D'C'→=CD'C'^ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra CD'C'^=45°. Vậy A'B→,  D'C'→=45°.

Ta có A'B→=A'B=AA'2+AB2=a2+a2=a2 , D'C'→=D'C'=a.

Do đó, A'B→⋅D'C'→=A'B→⋅D'C'→⋅cosA'B→,D'C'→=a2⋅a⋅cos45°=a2 .

Ta có: D'A→=C'B→. Do đó, D'A→,  BC→=C'B→, BC→=CBC'^  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra CBC'^=45° . VậyD'A→,  BC→=45° .

Ta có D'A→=D'A=DD'2+DA2=a2+a2=a2, BC→=BC=a .

Do đó, D'A→⋅BC→=D'A→⋅BC→⋅cosD'A→,BC→=a2⋅a⋅cos45°=a2.

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình hộp, ta có u→=A'A→+A'B'→+A'D'→=A'C→ .

Vì G là trọng tâm của tam giác AB'D' nên với điểm A', ta luôn có:

A'G→=13A'A→+A'B'→+A'D'→.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên  (quy tắc hình hộp).

A'A→+A'B'→+A'D'→=A'C→

Từ đó suy ra A'G→=13A'C→. Vậy A'C→=3A'G→.

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra EA1O^=60°.

Ta có F1→=F2→=F3→=F4→=4700N nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sinEA1O^ = 4 700 sin 60° = 2 350 3.

Theo quy tắc ba điểm, ta có EA1→=EO→+OA1→,  EB1→=EO→+OB1→,EC1→=EO→+OC1→ , ED1→=EO→+OD1→.

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên OA1→+OC1→=0→,  OB1→+OD1→=0→.

Từ đó suy ra EA1→+EB1→+EC1→+ED1→=4EO→F1→+F2→+F3→+F4→=4EO→.

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên F1→+F2→+F3→+F4→=P→, ở đó  là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

P→=4EO→=4⋅2 3503=9 4003 (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

94003−3000≈13  281 (N).