Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian có đáp án

Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\left(-\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right)+\left(-\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)$

                                      $=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$ .

Định nghĩa:

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{a}$  là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$ , được xác định như sua:

Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$  nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$  nếu k < 0;

Có độ dài bằng |k| ∙$\left|\overrightarrow{a}\right|$ .

a) Vì N là trung điểm của BC nên với điểm M, ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$  .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$ .

Lại có M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó ta suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right)\right]$

                             $=\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$ .

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$  .

a)

b) Định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$  trong mặt phẳng (P): Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$  là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$  .

Vì M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$ BC. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BI}$  . Do đó,  $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{IBD}$.

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD đều, suy ra $\widehat{IBD}=\widehat{CBD}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}\right)=60°$  .

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'B'C'D' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=45°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|=A^{\text{'}}B=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$  , $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a$ .

Do đó, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$  .

Ta có: $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}=\overrightarrow{C^{\text{'}}B}$ . Do đó, $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}B},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}$  .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=45°$  . Vậy$\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=45°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\right|=D^{\text{'}}A=\sqrt{D{D^{\text{'}}}^2+D{A}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ , $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$  .

Đáp án đúng là: A

Vì G là trọng tâm của tam giác AB'D' nên với điểm A', ta luôn có:

$\overrightarrow{A^{\text{'}}G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên  (quy tắc hình hộp).

$\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$

Từ đó suy ra $\overrightarrow{A^{\text{'}}G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$. Vậy $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}=3\overrightarrow{A^{\text{'}}G}$ .

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60°$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_4}\right|=4700\left(N\right)$  nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin$\widehat{E{A}_{1}O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$ , ở đó  là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

$\left|\overrightarrow{P}\right|=4\left|\overrightarrow{EO}\right|=4\cdot 2350\sqrt{3}=9400\sqrt{3}$ (N).

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).