Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác có đáp án
25 câu hỏi
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?
Đặt chiều rộng cổng AH = d.
⇒ OA = OB = 12d.
Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:
sinBOB'^=BB'OB=27d2=54d.
Vì AB⏜=BC⏜ nên sđAC⏜ = 2.sđAB⏜ ⇒AOC^=2BOB'^
Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:
sinCOC'^=CC'OC⇔CC'=OC.sinCOC'^=OC.sin2BOB'^
Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:
sin2BOB'^=2sinBOB'^.cosBOB'^=2.54d.1−54d2=108d1−54d2.
Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là 108d1−54d2.
Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ OM→ và ON→ sau đây:
OM→.ON→=OM→.ON→.cosOM→,ON→=cosOM→,ON→=cosα−β
OM→.ON→=xM.xN+yM.yN,
Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.
Ta có: cos(α – β) = xM.xN + yM.yN = cosα.cosβ + sinα.sinβ.
Ta có: cos(α + β) = cos(α – (– β)) = cosα.cos(–β) + sinα.sin(–β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ.
Tính sinπ12 và tanπ12.
sinπ12=sinπ3−π4=sinπ3.cosπ4−cosπ3.sinπ4=32.22−12.22=6−24.
Ở ví dụ 1 ta có: cosπ12=6+24
Suy ratanπ12=sinπ12cosπ12=6−246+24=6−26+2=2−3
Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.
Ta có:
cos2α = cos(α + α) = cosα.cosα – sinα.sinα = cos2α – sin2α = cos2α + sin2α – 2sin2α = 1 – 2sin2α = 2cos2α – 1.
sin2α = sin(α + α) = sinα.cosα + cosα.sinα = 2.sinα.cosα .
tan2α=tanα+α=tanα+tanα1−tanα.tanα=2tanα1−tan2α.
Tính cosπ8 và tanπ8.
+) Ta có: cosπ4=cos2.π8=2cos2π8−1=22
⇒cos2π8=2+24
⇒cosπ8=2+24=2+22 (vì 0<π8<π2).
+) tanπ4=tan2.π8=2tanπ81−tan2π8=1
⇔1−tan2π8=2tanπ8
⇔tan2π8+2tanπ8−1=0
⇔tanπ8=−1+2(vì 0<π8<π2).
Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
a) cos(α – β) và cos(α + β) ;
a) Ta có: cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ; cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ
Khi đó:
cos(α – β) + cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ + cosα.cosβ – sinα.sinβ
= 2cosα.cosβ.
cos(α – β) – cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ – cosα.cosβ + sinα.sinβ
= 2sinα.sinβ .
Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
b) sin(α – β) và sin(α + β) .
b) Ta có: sin(α – β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ; sin(α + β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ
Khi đó:
sin(α – β) + sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ + sinα.cosβ – cosα.sinβ = 2sinα.cosβ.
sin(α – β) – sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ – sinα.cosβ + cosα.sinβ = 2cosα.sinβ.
Tính giá trị của các biểu thức sinπ24cos5π24 và sin7π8sin5π8.
Ta có:
sinπ24cos5π24=12sinπ24−5π24+sinπ24+5π24=12sin−π6+sinπ4
=12−12+22=2−14
sin7π8sin5π8=12cos7π8−5π8−cos7π8+5π8=12cosπ4−cos3π2
=1222+0=24.
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác a=α+β2 và b=α−β2 ta được các đẳng thức nào?
Ta có:
cosa.cosb=cosα+β2.cosα−β2=12cosα+β2−α−β2+cosα+β2+α−β2
=12cosβ+cosα.
sina.sinb=sinα+β2.sinα−β2=12cosα+β2−α−β2−cosα+β2+α−β2
=12cosβ−cosα.
sina.cosb=sinα+β2.cosα−β2=12sinα+β2−α−β2+sinα+β2+α−β2
=12sinβ+sinα.
Tính cos7π12+cosπ12.
cos7π12+cosπ12=2cos7π12+π122cos7π12−π122=2cosπ3cosπ4=2.12.22=22
Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính sin α và cos α, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Ta có: OA = OB = 1202=60 cm.
Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:
sinBOB'^=BB'OB=2760=920.
⇒cosBOB'^=1−9202=31920
Vì AB⏜=BC⏜ nên sđAC⏜ = 2.sđAB⏜ ⇒AOC^=2BOB'^
Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:
sinCOC'^=CC'OC⇔CC'=OC.sinCOC'^=OC.sin2BOB'^
Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:
sin2BOB'^=2sinBOB'^.cosBOB'^=2.920.31920=9319200.
Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là 60.9319200≈48,2cm.
Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :
a) 5π12;
a) Ta có:
+) cos5π12=cosπ4+π6=cosπ4.cosπ6−sinπ4.sinπ6=22.32−22.12=64−24=6−24+.
+) +sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4.cosπ6+ cosπ4.sinπ6=22.32+22.12
=64+24=6+24.
+) tan5π12=sin5π12cos5π12=6−246+24=6−26+2=2−3.
+) cot5π12=12−3=2+3.
Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :
b) – 555°.
b) Ta có:
– 555° = π.−555°180°=−37π12=−3π+π12 rad.
Khi đó:
+) cos−555°=cos3π+π12=−cosπ12=−cosπ3−π4
=−cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=−12.22+32.22=−2+64.
+) sin−555°=sin3π+π12=sinπ12=sinπ3−π4
= sinπ3cosπ4−cosπ3sinπ4=32.22−12.22=6−24.
+) tan−555°=sin−555°cos−555°=6−24−6+24=−2+3.
+) cot−555°=1−2+3=−2−3.
Tính sinα+π6,cosπ4−α biết sinα=−513 và π<α<3π2.
Ta có: cosα=−1−−5132=−1213 (vì π<α<3π2).
Ta lại có:
sinα+π6=−513.32+−1213.12=−12+5326;
cosπ4−α=cosπ4cosα+sinπ4sinα=22.−1213+22.−513=−17226.
Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:
a) sinα=33 và 0<α<π2;
a) Ta có: cosα=1−332=63 (vì 0<α<π2).
Khi đó:
sin2α=2.sinα.cosα=2.33.63=223;
cos2α=2.cos2α−1=2.632−1=13;
tan2α=sin2αcos 2α=22313=22;
cot2α=1tan 2α=122=24.
Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:
b) sinα2=34 và π<α<2π.
b) Ta có: cosα2=−1−342=−74 (vì π<α<2π⇔π2<α2<π).
Khi đó:
sinα=2.sinα2.cosα2=2.34.−74=−378;
cosα=2.cos2α2−1=2.−742−1=−18;
sin2α=2.sinα.cosα=2.−378.−18=3732;
cos2α=2.cos2α−1=2.−182−1=−3132;
tan2α=sin2αcos 2α=378−3132=−12731;
cot2α=1tan 2α=−31127.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2sinα+π4−cosα;
a) 2sinα+π4−cosα
=2.sinα.cosπ4+cosα.sinπ4−cosα
=2.22sinα+22cosα−cosα
=sinα+cosα−cosα
=sinα.
Rút gọn các biểu thức sau:
b) cosα+sinα2−sin2α.
b) cosα+sinα2−sin2α
=cos2α+sin2α+2sinα.cosα−2sinα.cosα
=1
Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:
a) cos2α=25 và −π2<α<0;
a) Ta có: cos2α=2cos2α−1=25
⇔cos2α=710
⇔cosα=7010 (vì −π2<α<0).
Mặt khác cos2α=1−2sin2α=25
⇔sin2α=310
⇔sinα=−30100(vì −π2<α<0).
Khi đó:
tanα=sinαcosα=−3010070100=−37.
cotα=1tanα=−73.
Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:
b) sin2α=−49 và π2<α<3π4.
b) sin2α=−49 và π2<α<3π4.
Ta có π2<α<3π4⇔π<2α<3π2
⇒cos 2α=−1−−492=−659
Ta có: cos2α=2cos2α−1=−659
⇔cos2α=9−6518
⇔cosα=9−6518 (vì π2<α<3π4).
Mặt khác cos2α=1−2sin2α=−659
⇔sin2α=65+118
⇔sinα=65+118(vì π2<α<3π4).
Khi đó:
tanα=sinαcosα=65+1181−6518=65+11−65.
cotα=1tanα=1−6565+1.
Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có sinA = sinB.cosC + sinC.cosB.
Xét tam giác ABC, có:
A + B + C = 180° ⇒ A = 180° – (B + C)
sinA = sin(180° – (B + C)) = sin(B + C) = sinB.cosC + sinC.cosB.
Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn CAD^=30°. Tính tanBAD^, từ đó tính độ dài cạnh CD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
tanBAC^=34.
Ta lại có: BAD^=BAC^+CAD^
⇒tanBAD^=tanBAC^+CAD^=tanBAC^+30°=tanBAC^+tan30°1−tanBAC^.tan30°
=34+331−34.33=48+25339≈2,34.
Xét tam giác ABD vuông tại B có:
tanBAD^=BDAB⇒BD=tanBAD^.AB=2,34.4≈9,36.
⇒ CD = BD – BC ≈ 9,36 – 3 = 6,36.
Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi α=π2 và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.
a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ xM của điểm M trên trục Ox theo α.
b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, xM = – 3cm. Xác định xM sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Tại α=π2 thì H trùng I, M trùng O nên MH = OI do đó OM = IH.
Xét tam giác AHI vuông tại H có: IH = cosα.IA = 8cosα.
Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là 2π3 và số đo góc (OA, OM) là α.
a) Tính sinα và cosα.
a) Tính sinα và cosα
Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.
Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.
Khi đó hoành độ điểm M là 30.
Mặt khác hoành độ điểm M là: xM = 31.cosα.
⇒ cosα = 3031
⇒ sinα=−1−30312=−6131.
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
b) Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên MOP^=NOP^=MON^=120°
⇒AOP^=MOP^−MOA^
⇒sinAOP^=sinMOP^−MOA^=sinMOP^.cosMOA^−cosMOP^.sinMOA^
=sin2π3.cosα−cos2π3.sinα
=32.3031+12.6131≈0,96.
⇒sinOA,OP=sinAOP^≈0,96.
Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.
Ta có: cosAOP^≈1−0,962=0,28.
Ta có: AON^=AOP^+PON^
⇒sinAON^=sinAOP^+PON^=sinAOP^.cosPON^+cosAOP^.sinPON^
=0,96.cos2π3−0,28.sin2π3
=0,96.−12+0,28.32≈−0,23.
⇒sinOA,ON=sinAON^≈−0,23.
Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.
