11 câu hỏi
Tứ giác ADME có MD // AE, ME // AD nên ADME là hình bình hành.
Suy ra AD = ME và AE = DM.
Do đó chu vi hình bình hành ADME là:
AD + DM + ME + EA = 2(AE + ME).
Do AB = AC nên tam giác ABC cân tại A. Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {EMC}\) (hai góc đồng vị do ME // AB), suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {EMC}\).
Do đó, tam giác ECM cân tại E. Suy ra ME = CE.
Vậy chu vi của hình bình hành ADME là:
2(AE + ME) = 2(AE + CE) = 2AC = 6 cm.
Do BD và CE là trung tuyến của ∆ABC
Suy ra, E là trung điểm AB và D là trung điểm AC.
Tứ giác AHBC có E là trung điểm AB và CH nên AHBC là hình bình hành.
Tứ giác ABCK có D là trung điểm AC và BK nên ABCK là hình bình hành.
Do AHBC là hình bình hành nên AH // BC, AH = BC.
Tương tự, AKCB là hình bình hành nên AK // BC, AK = BC.
Suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK.
Vậy A là trung điểm của HK.
Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD; \(\widehat A = \widehat C\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\).
Mà AE = CF, AE + ED = AD, BF + CF = BC
Suy ra DE = BF.
Tương tự, ta cũng có AM = CN.
Xét ∆AEM và ∆CFN có:
AM = CN, \(\widehat A = \widehat C\), AE = CF
Do đó ∆AEM và ∆CFN (c.g.c). Suy ra EM = FN (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆BFM và ∆DEN có:
BF = DE, \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\), BM = DN
Do đó ∆BFM = ∆DEN (c.g.c). Suy ra FM = EN.
Tứ giác EMFN có EM = FN và FM = EN nên EMFN là hình bình hành.
Tứ giác BMDN có BM = DN và BM // DN nên BMDN là hình bình hành.
Do ABCD, EMFN, BMDN đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy AC, BD, EF, MN cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
Do AM, BN, CP là đường cao của ∆ABC nên AM ⊥ BC, BN ⊥ AC, CP ⊥ AB
Do CP ⊥ AB, BD ⊥ AB nên CP // BD.
Do BN ⊥ AC, CD ⊥ AC nên BN // CD
Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
Tam giác ABC có điều kiện gì thì ba điểm A, D, H thẳng hàng?
Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH.
Mà M thuộc BC, suy ra M là giao điểm của BC và DH.
Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra M là trung điểm BC. Suy ra MB = MC
Xét ∆ABM và ∆ACM có:
MB = MC, \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \), cạnh AM chung
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c). Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)
Dễ thấy, nếu tam giác ABC có AB = AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.
Vậy tam giác ABC cân tại A thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 11 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABDC.
Xét tứ giác ABDC, ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat {DBA} + \widehat {ACD} + \widehat {CDB} = 360^\circ \).
Mà \(\widehat {DBA} = \widehat {ACD} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = 180^\circ \).
Vậy góc A và góc D của tứ giác ABDC là hai góc bù nhau.
Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
Do H là trung điểm của AM nên \(HM = \frac{1}{2}AM\).
Ta có diện tích tam giác ABC bằng: \(\frac{1}{2}.AM.BC = HM.BC\).
Xét ∆BCH và ∆CBD có:
BH = CD, BD = HC (do BDCH là hình bình hành), cạnh BC chung
Do đó ∆BCH = ∆CBD (c.c.c)
Suy ra S∆BCH = S∆CBD
Nên diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.
Khi đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: \(2\left( {\frac{1}{2}.HM.BC} \right) = HM.BC\).
Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A > 90^\circ \), AB > BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy hai điểm E, F sao cho CE = CF = BC. Trên đường thẳng vuông góc với CD tại C lấy hai điểm P, Q sao cho CP = CQ = CD (Hình 16). Chứng minh:
Tứ giác EPFQ là hình bình hành
Do CE = CF nên C là trung điểm của EF;
CP = CQ nên C là trung điểm PQ.
Tứ giác EPFQ có hai đường chéo EF và PQ cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A > 90^\circ \), AB > BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy hai điểm E, F sao cho CE = CF = BC. Trên đường thẳng vuông góc với CD tại C lấy hai điểm P, Q sao cho CP = CQ = CD (Hình 16). Chứng minh:
AC ⊥ EP.
Gọi H là giao điểm của AC và EP, K là giao điểm của AB và PQ.
Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, \(\widehat B = \widehat D\).
Vì AB // CD nên \(\widehat {BKC} = \widehat {DCK} = 90^\circ \) (hai góc so le trong).
Suy ra tam giác BCK vuông tại K. Do đó \(\widehat B + \widehat {BCK} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat B = \widehat D\), suy ra \(\widehat D + \widehat {BCK} = 90^\circ \).
Mặt khác, ta có \(\widehat {ECP} + \widehat {BCK} = \widehat {BCE} = 90^\circ \) nên \(\widehat D = \widehat {ECP}\).
Xét ∆ACD và ∆EPC có:
AD = EC (vì cùng bằng BC); \(\widehat D = \widehat {ECP}\); CD = PC.
Do đó ∆ACD = ∆EPC (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {EPC}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {ACD} + \widehat {PCH} = \widehat {DCP} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 90^\circ \).
Xét tam giác CPH, ta có: \(\widehat {CHP} + \widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {CHP} + 90^\circ = 180^\circ \) hay \(\widehat {CHP} = 90^\circ \).
Vậy \(AC \bot EP\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
