Giải SBT Toán 7 CTST Bài 35. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp
5 câu hỏi
Trong Hình 7. Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm.
Gọi M là giao điểm của AC và BD.
Xét tam giác MAB có E là giao điểm của hai đường cao AD và BC nên E là trực tâm của tam giác MAB.
Khi đó ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác AMB, tức là ME ⊥ AB.
Mà EK ⊥ AB.
Do đó EK đi qua điểm M.
Vậy AC, EK và BD cùng đi qua điểm M.
Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh d // BC.
Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.
Xét ΔAMB và ΔAMC có:
Cạnh AM là cạnh chung,
AB = AC (chứng minh trên),
BM = CM (chứng minh trên).
Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng).
Lại có AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Nên AMB^=AMC^=180°2=90°.
Hay AM ⊥ BC.
Mà d ⊥ AM (giả thiết).
Suy ra d // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Vậy d // BC.
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).
Suy ra AC = AD = AB.
Xét ΔAEB và ΔAEC có:
AEB^=AEC^=90°,
Cạnh AE là cạnh chung,
AB = AC (chứng minh trên).
Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BAE^=CAE^ (hai góc tương ứng).
Xét ΔACF và ΔADF có:
AFC^=AFD^=90°,
Cạnh AF là cạnh chung,
AC = AD (chứng minh trên).
Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra FAC^=FAD^ (hai góc tương ứng).
Ta có BAE^+CAE^+FAC^+FAD^=180°
Mà BAE^=CAE^, FAC^=FAD^(chứng minh trên).
Suy ra 2EAC^+2FAC^=180°
Hay 2EAC^+FAC^=180°:2=90°
Do đó EAF^=90°.
Vậy góc EAF vuông.
Cho tam giác ABC có A^=65°,B^=54°. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC. Tính góc AHB.
Trong tam giác vuông ABE ta có: EAB^+EBA^=90° (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Mà EBA^=54° nên EAB^=90°−EBA^=90°−54°=36°.
Trong tam giác vuông BAF ta có: FAB^+FBA^=90° (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Mà FAB^=65° nên FBA^=90°−FAB^=90°−65°=25°.
Trong DAHB ta có: HAB^+HBA^+AHB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra AHB^=180°−HAB^−HBA^=180°−36°−25°=119°.
Vậy AHB^=119°.
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn và H là trực tâm. Cho biết BHC^=150° . Tìm các góc của tam giác ABC.
Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC.
Trong DBHC có: HCB^+HBC^+CHB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra HBC^+HCB^=180−BHC^=180°−150°=30°
Trong DCBE vuông tại E có: ECB^+EBC^=90° (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Nên ECB^=90°−EBC^ (1)
Trong DCBF vuông tại F có: FCB^+FBC^=90° (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Nên FBC^=90°−FCB^ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
FBC^+ECB^=180°−EBC^+FCB^
=180°−HBC^+HCB^=180°−30°=150°.
Hay ABC^+ACB^=150°
Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:
ABC^=ACB^=150°2=75°.
Trong DABC có: ACB^+ABC^+CAB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra A^=180°−ACB^−ABC^=180°−75°−75°=30°.
Vậy ABC^=ACB^=75°, A^=30°.