Giải SBT Toán 7 CTST Bài 34. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:
a) SAMB = SAMC;
a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.
Ta có : SAMB=12.AH.BMvà SAMC=12.AH.MC
Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau.
Suy ra SAMB = SAMC.
Vậy SAMB = SAMC.
b) SABG = 2SBMG;
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABM.
Ta có: SABG=12.BK.AGvà SBMG=12.BK.GM
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GMGA=12hay AG = 2GM.
Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2GM.
Suy ra SABG = 2SBMG.
Vậy SABG = 2SBMG.
c) SGAB = SGBC = SGAC.
c) Ta có: SAMB = SAMC (chứng minh câu a) và SAMB + SAMC = SABC
Nên SAMB=SAMC=12SACB
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 23AM.
Lại có: SGAB=12.BK.AG và SAMB=12.BK.AM
Suy ra SGAB=12.BK.23AM=23SABM=23.12SABC=13SABC
Chứng minh tương tự ta có SGAC=23SACM=13SABC
Ta có SGAB + SGAC + SGBC = SABC
Mà SABG=13SABC; SACG=13SABC
Suy ra SBCG=13SABC
Do đó SGAB=SGBC=SGAC=13SABC
Vậy SGAB = SGBC = SGAC.
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác góc A. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Vẽ đường cao MH của tam giác AMB và vẽ đường cao MK của tam giác AMC.
• Xét DAMH và DAMK có:
AHM^=AKM^=90°,
AM là cạnh chung,
HAM^=KAM^ (vì AM là tia phân giác của BAC^).
Do đó DAMH = DAMK (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).
• Xét DBMH và DCMK có:
BHM^=CKM^=90°,
MH = MK (chứng minh trên),
BM = CM (vì AM là trung tuyến của tam giác ABC).
Do đó DBMH = DCMK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra B^=C^ (hai góc tương ứng).
Xét tam giác ABC có B^=C^ nên tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC là tam giác cân tại A.
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G
a) Biết AM = 12 cm, tính AG.
a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 23AM.
Mà AM = 12 cm nên AG = 23 . 12 = 8 (cm).
Vậy AM = 8 cm.
b) Biết GN = 3 cm, tính CN.
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GNCN=13 hay CN = 3GN.
Mà GN = 3 cm nên CN = 3. 3 = 9 (cm).
Vậy CN = 9 cm.
c) Tìm x biết AG = 3x – 4, GM = x.
c) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GMGA=12 hay AG = 2GM.
Mà AG = 3x – 4, GM = x.
Nên 3x – 4 = 2x
Hay 3x – 2x = 4
Suy ra x = 4 (cm).
Vậy x = 4 cm.
Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: GA+GB+GC=23AM+BN+CP.
Vì DABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm DABC, do đó ta có: GA=23AM, GB=23BN, GC=23CP.
Suy ra GA+GB+GC=23AM+23BN+23CP=23AM+BN+CP.
Vậy GA+GB+GC=23AM+BN+CP.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Cho biết HB = HM. Chứng minh:
a) ∆ABH = ∆AMH;
a) Xét ∆ABH và ∆AMH có:
AHB^=AHM^=90°,
Cạnh AH là cạnh chung,
HB = HM (giả thiết).
Do đó ΔABH = ΔAMH (c.g.c).
Vậy ΔABH = ΔAMH.
b) AG=23AB.
b) Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra AG=23AM.
Mặt khác ΔABH = ΔAMH (câu a) nên ta có AB = AM (hai cạnh tương ứng).
Suy ra AG=23AB.
Vậy AG=23AB.