Giải SBT Toán 7 CTST Bài 34. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án

a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Ta có : ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{AH.BM}$và ${\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}.\text{AH.MC}$

Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau.

Suy ra S_AMB = S_AMC.

Vậy S_AMB = S_AMC.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABM.

Ta có: ${\text{S}}_{\text{ABG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$và ${\text{S}}_{\text{BMG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.GM}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$hay AG = 2GM.

Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2GM.

Suy ra S_ABG = 2S_BMG.

Vậy S_ABG = 2S_BMG.

c) Ta có: SAMB = SAMC (chứng minh câu a) và SAMB + SAMC = SABC

Nên ${\text{S}}_{\text{AMB}}={\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}{\text{S}}_{\text{ACB}}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Lại có: ${\text{S}}_{\text{GAB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$ và ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AM}$

Suy ra $S_{GAB}=\frac{1}{2}.\text{BK.}\frac{2}{3}\text{AM}=\frac{2}{3}{S}_{ABM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Chứng minh tương tự ta có $S_{GAC}=\frac{2}{3}{S}_{ACM}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Ta có  SGAB + SGAC + SGBC = SABC

Mà $S_{ABG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$; $S_{ACG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Suy ra $S_{BCG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Do đó $S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GAC}\left(=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\right)$

Vậy SGAB = SGBC = SGAC.

Vẽ đường cao MH của tam giác AMB và vẽ đường cao MK của tam giác AMC.

• Xét DAMH và DAMK có:

$\widehat{AHM}=\widehat{AKM}\left(=90°\right)$,

AM là cạnh chung,

$\widehat{HAM}=\widehat{K\text{A}M}$ (vì AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$).

Do đó DAMH = DAMK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).                

• Xét DBMH và DCMK có:

$\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90°\right)$,

MH = MK (chứng minh trên),

BM = CM (vì AM là trung tuyến của tam giác ABC).

Do đó DBMH = DCMK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy ABC là tam giác cân tại A.

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Mà AM = 12 cm nên AG = $\frac{2}{3}$ . 12 = 8 (cm).

Vậy AM = 8 cm.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GN}{CN}=\frac{1}{3}$ hay CN = 3GN.

Mà GN = 3 cm nên CN = 3. 3 = 9 (cm).

Vậy CN = 9 cm.

c) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$ hay AG = 2GM.

Mà AG = 3x – 4, GM = x.

Nên 3x – 4 = 2x

Hay 3x – 2x = 4

Suy ra x = 4 (cm).

Vậy x = 4 cm.

Vì $∆$ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm $∆$ABC, do đó ta có: $GA=\frac{2}{3}AM,GB=\frac{2}{3}BN,GC=\frac{2}{3}CP$.

Suy ra $GA+GB+GC=\frac{2}{3}AM+\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP=\frac{2}{3}\left(AM+BN+CP\right)$.

a) Xét $∆$ABH và $∆$AMH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHM}\left(=90°\right)$,

Cạnh AH là cạnh chung,

HB = HM (giả thiết).

Do đó ΔABH = ΔAMH (c.g.c).

Vậy ΔABH = ΔAMH.

b) Vì $∆$ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AM$.

Mặt khác ΔABH = ΔAMH (câu a) nên ta có AB = AM (hai cạnh tương ứng).

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AB$.

Vậy $AG=\frac{2}{3}AB$.