Giải SBT Toán 7 Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án

Hướng dẫn giải

+) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆ADC ta có:  

AB  = AD (giả thiết)

\(\widehat {ABC}\) = \(\widehat {ADC}\) = 90° (giả thiết)

BC = CD (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ADC (hai cạnh góc vuông).

+) Hình b

Xét ∆EFG và ∆KHG ta có:

GF = GH (giả thiết)

\(\widehat {FEG}\) = \(\widehat {HKG}\) = 90° (giả thiết)

\(\widehat {EGF}\) = \(\widehat {HGK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆EFG = KHG (góc nhọn – cạnh huyền)

+) Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên \(\widehat {ONM} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ONM} = 90^\circ - \widehat O\).

Tam giác OQP vuông tại Q nên \(\widehat {OPQ} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OPQ} = 90^\circ - \widehat O\).

Do đó, \(\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}\).

Xét ∆OMN và ∆OQP ta có:

MN = PQ (giả thiết)

\(\widehat {OMN}\) = \(\widehat {OQP}\) = 90^o (giả thiết)

\(\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆OMN = ∆OQP (góc nhọn – cạnh góc vuông).

+) Hình d:

Xét ∆XYZ và ∆STZ ta có:

YZ = TZ (giả thiết)

\(\widehat {YXZ}\) = \(\widehat {TSZ}\) = 90° (giả thiết)

XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, ∆XYZ = ∆STZ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABE và ∆DCE ta có:  

BE = CE (giả thiết)

\(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {ECD}\) = 90° (giả thiết)

\(\widehat {AEB}\) = \(\widehat {CED}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

AE = BE (giả thiết)

\(\widehat {AED}\) = \(\widehat {BEC}\) = 90° (do AC và DB vuông góc với nhau)

ED = EC (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (hai cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì ∆AED = ∆BEC nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ABC và ∆BAD có:  

BC = AD (chứng minh trên)

AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – c – c).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = \(\frac{{AD}}{2}\).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = \(\frac{{AB}}{2}\).

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

\(\widehat {NAB}\) = \(\widehat {MBC}\) = 90° (do ABCD là hình vuông)

Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên \(\widehat {EMB} = \widehat {CMB} = \widehat {BNA}\).

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

\(\widehat {BEM} = 180^\circ - \widehat {EMB} - \widehat {MBE} = 180^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 90^\circ \).

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

\(\widehat {CAB}\) = \(\widehat {DAB}\) (giả thiết)

\(\widehat {ACB}\) = \(\widehat {ADB}\) = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên  

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\,\widehat B = \widehat E;\,\,\,\widehat C = \widehat F\\AB = DE;\,\,\,AC = DF;\,\,BC = EF\end{array} \right.\) (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

\(\widehat B = \widehat E\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

Hướng dẫn giải

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, \(\widehat B = \widehat E\) (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

\(\widehat B = \widehat E\) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, \(\widehat {DKE} = \widehat {DKF} = 90^\circ \).

Xét ∆ABH và ∆DEK có:  

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét ∆ACH và ∆DFK có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {DKF} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ACH = ∆DFK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – c – c).