Giải SBT Toán 7 Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Hướng dẫn giải
*) Hình a:
Xét ∆ABC và ∆DCB có:
AB = CD (giả thiết)
BC chung
\(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\) (giả thiết)
Do đó, ∆ABC = ∆DCB (c – g – c).
*) Hình b:
Xét ∆EFH và ∆EGH có:
EF = EG (giả thiết)
EH chung
\(\widehat {FEH} = \widehat {GEH}\) (giả thiết)
Do đó, ∆EFH = ∆EGH (c – g – c)
*) Hình c:
Xét ∆MON và ∆POQ có:
MO = PO (giả thiết)
NO = QO (giả thiết)
\(\widehat {MON} = \widehat {POQ}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆MON = ∆POQ (c – g – c).
Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF, \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆DFE.
b) ∆BAC = ∆EFD.
c) ∆CAB = ∆EFD.
d) ∆ABC = ∆EFD.
Hướng dẫn giải
Vì \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\) nên đỉnh B tương ứng với đỉnh F;
Vì AB = FE mà đỉnh B ứng với đỉnh F thì đỉnh A ứng với đỉnh E.
Suy ra đỉnh C ứng với đỉnh D.
Xét tam giác ABC và tam giác EFD có:
AB = FE;
BC = DF;
\(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\).
Do đó, ∆ABC = ∆EFD (c – g – c).
Vậy chỉ có đáp án d) đúng.
Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn \(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\) và BC = PN. Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆PNM.
b) ∆ABC = ∆NPM.
c) ∆ABC = ∆MPN.
d) ∆ABC = ∆MNP.
Hướng dẫn giải
Vì \(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\) nên đỉnh B tương ứng với đỉnh N;
Vì \(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\) nên đỉnh C tương ứng với đỉnh P.
Suy ra đỉnh A tương ứng với đỉnh M.
Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\)
\(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\)
BC = PN
Do đó, ∆ABC = ∆MNP (g – c – g).
Trong bốn đáp án chỉ có đáp án d chính xác.
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và \(\widehat {DBA} = \widehat {CAB}\).
Chứng minh rằng AD = BC.
Hướng dẫn giải
Xét ∆ABC và ∆BAD có:
AC = BD (giả thiết)
AB chung
\(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\) (giả thiết)
Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – g – c)
Suy ra, BC = AD (hai cạnh tương ứng).
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\) và \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\).
Chứng minh rằng ∆ABC = ∆ABD.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có:
\[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]
\[\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BCA}\](1)
Xét tam giác ABD có:
\[\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {BDA} = 180^\circ \]
\[\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {BAD} - \widehat {BDA}\](2)
Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\); \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\).
Xét ∆ABC và ∆ABD có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\) (chứng minh trên)
AB chung
\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\) (giả thiết)
Do đó, ∆ABC = ∆ABD (g – c – g).
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABE có:
\[\widehat {BAE} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \]
\[\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAE} - \widehat {AEB}\] (1)
Xét tam giác CDE có:
\[\widehat {DCE} + \widehat {DEC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \]
\[\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DCE} - \widehat {DEC}\](2)
Mà \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết); \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\).
Xét ∆ABE và ∆CDE có:
\(\widehat {ABE} = \widehat {EDC}\) (chứng minh trên)
AB = CD (giả thiết)
\(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) (giả thiết)
Do đó, ∆ABE = ∆CDE (g – c – g).
Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)
Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;
Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
∆ACD = ∆CAB.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆ACD và ∆CAB có:
CD = AB (giả thiết)
AC chung
\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) (giả thiết)
Do đó, ∆ACD = ∆CAB (c – g – c).
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
AD song song với BC.
Hướng dẫn giải:
Vì ∆ACD = ∆CAB nên \(\widehat {DAC} = \widehat {BCA}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
\(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác AED có:
\(\widehat {ADE} + \widehat {DAE} + \widehat {AED} = 180^\circ \)
\[\widehat {DAE} = 180^\circ - \widehat {ADE} - \widehat {AED}\] (1)
Xét tam giác BEC có:
\(\widehat {BCE} + \widehat {EBC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \)
\[\widehat {EBC} = 180^\circ - \widehat {BCE} - \widehat {BEC}\] (2)
Mà \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]; \(\widehat {AED} = \widehat {BEC}\) (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra, \(\widehat {DAE} = \widehat {EBC}\) hay \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\) (điều phải chứng minh).
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
∆AED = ∆BEC.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆AED và ∆BEC ta có:
\(\widehat {DAE} = \widehat {EBC}\) (chứng minh trên)
\[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\] (giả thiết)
AD = CB (giả thiết)
Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
AB song song với DC.
Hướng dẫn giải:
Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.
Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.
Do đó, AC = BD.
Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
AB chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng)
Xét tam giác AEB có:
\(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \)
Do đó, \(2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}\) (vì \(\widehat {ABE} = \widehat {BAE}\) do \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\))
Suy ra \(\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}\) (4)
Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
CD chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)
Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)
Xét tam giác DEC có:
\(\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ \)
Do đó, \(2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}\) (vì \(\widehat {EDC} = \widehat {DCE}\) do \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\))
Suy ra \(\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}\) (5)
Lại có, \(\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (6)
Từ (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {ABE}\) = \(\widehat {EDC}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\).
Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.
Hướng dẫn giải
Vì ∆ABC = ∆DEF nên
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABC} = \widehat {DEF};\,\,\,\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\widehat {ACB} = \widehat {DFE}\\AB = DE;\,\,BC = EF;\,\,AC = DF\end{array} \right.\)
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{1}{2}BC\).
Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = \(\frac{1}{2}EF\).
Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.
Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:
BM = EN (chứng minh trên)
AB = DE (chứng minh trên)
\(\widehat {ABM} = \widehat {DEN}\) (do \(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\) chứng minh trên)
Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).
Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat {ABC}\) và \[\widehat {DEF}\]. Chứng minh rằng: BP = EQ.
Hướng dẫn giải
Vì BP là tia phân giác của góc \(\widehat {ABP}\) nên \(\widehat {ABP} = \widehat {PBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)
Vì EQ là tia phân giác của góc\(\widehat {DEF}\) nên \(\widehat {DEQ} = \widehat {QEF} = \frac{{\widehat {DEF}}}{2}\)
Mà \(\widehat {ABC}\) = \(\widehat {DEF}\) nên \(\widehat {PBC}\) = \(\widehat {QEF}\).
Xét ∆PBC và ∆QEF ta có:
BC = EF (chứng minh trên)
\(\widehat {PBC}\) = \(\widehat {QEF}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {PCB} = \widehat {QFE}\) (do \(\widehat {ACB} = \widehat {DFE}\)chứng minh trên)
Do đó, ∆PBC = ∆QEF (g – c – g)
Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng).
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ∆ABC = ∆DEF.
Hướng dẫn giải
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{{BC}}{2}\)
Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = \(\frac{{EF}}{2}\)
Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.
Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:
AB = DE (giả thiết)
BM = EN (chứng minh trên)
AM = DN (giả thiết)
Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).
Suy ra, \(\widehat {ABM} = \widehat {DEN}\)(hai góc tương ứng) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\).
Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:
AB = DE (giả thiết)
BC = EF (giả thiết)
\(\widehat {ABC} = \widehat {DEF}\) (chứng minh trên)
Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).
Suy ra AB = DC và \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).
Suy ra AD = BC và \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD: cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).
Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {CDA} = 180^\circ \) (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.