Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7 có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (trong đó a, b > 0)

Do đó, \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là một phương trình chính tắc của đường hypebol.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;3)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

–1(x + 2) + 3(y – 3) = 0

⇔ –x + 3y – 2 – 9 = 0

⇔ x – 3y + 11 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

d(A, d) = \(\frac{{\left| {2 + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét d: x – 2y – 5 = 0 và k: x + 3y + 3 = 0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là:

\(\overrightarrow {{n_d}} = (1; - 2)\)

\(\overrightarrow {{n_k}} = (1;3)\)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.1 + ( - 2).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình đường tròn: (x – 2)² + (y + 3)² = 9 ta có:

Tâm I(2; –3)

Bán kính: R = \(\sqrt 9 \) = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)ta có:

a² = 16

b² = 7

\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {16 - 7} = 3\)

Do đó, elip có hai tiêu điểm là: F₁(3; 0) và F₂(–3; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng qua A(1; –1) và B(–2; –4) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 3)\) hay có một vectơ chỉ phương khác là: \(\overrightarrow u = (1;\,\,1)\).

Chọn điểm (–2; –4) thuộc đường thẳng AB. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 1.t}\\{y = - 4 + 1.t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 4 + t}\end{array}} \right.} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\) có:

a² = 36

b² = 13

\(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {36 + 13} = \sqrt {49} = 7\)

Do đó, tiêu cự là: 2c = 2 . 7 = 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: AB = \(\sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(4 + 2)}^2}} = 2\sqrt {10} \)

Đường tròn tâm A đi qua điểm B có bán kính R = AB = \(2\sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

(x – 0)² + (y + 2)² = (\(2\sqrt {10} \))²

⇔ x² + (y + 2)² = 40.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm E(2; 2) vào phương trình x² = 2y , ta có:

2² = 2.2

Do đó, phương trình chính tắc của parabol (P) đi qua điểm E(2; 2) là x² = 2y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(–1; –1) và bán kính R = 2.

Tiếp tuyến của đường tròn tại M nhận vectơ \(\overrightarrow {IM} = (2;0)\) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

2(x – 1) + 0.(y + 1) = 0

⇔ 2x – 2 = 0

⇔ x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng\(k:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 2 - 4t}\end{array}} \right.\) có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)\), \(\overrightarrow {{u_k}} = (3; - 4)\)

Do đó, đường thẳng k có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_k}} = (4;3)\).

Do đó, \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_k}} \) nên d và k hoặc song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\) thuộc đường thẳng d.

Thay x = 1, y = \( - \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của đường thẳng k ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = - 1 + 3t}\\{ - \frac{2}{3} = 2 - 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Do đó, \(\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\) cũng thuộc vào đường thẳng k

Vậy d và k trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a > b > 0

Elip (E) đi qua điểm M(8; 0) nên ta có:

\(\frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\)⇔ a² = 8² = 64

Mà tiêu cự là 2c = 6 ⇔ c = 3

Ta có: \({c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 64 - {3^2} = 55\)

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d nên ta có bán kính

R = d(I, d) = \(\frac{{\left| {1 - ( - 1) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

(x – 1)² + (y + 1)² = (\(2\sqrt 2 \))²

⇔ (x – 1)² + (y + 1)² = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: (không có đáp án phù hợp)

Phương trình đường thẳng song song với d có dạng là: d’: x – y + c = 0 với c ≠ 3

Chọn điểm A(1; 4) thuộc đường thẳng d

Do d’ // d và d’ cách d một khoảng là \(\sqrt 2 \) nên ta có:

d(A, d’) = \(\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 4 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

⇔ |c – 3| = 2 (*)

TH1: c – 3 ≥ 0 hay c ≥ 3

(*) ⇔ c – 3 = 2 ⇔ c = 5 (thỏa mãn)

TH2: c – 3 < 0 hay c < 3

(*) ⇔ –c + 3 = 2 ⇔ c = 1  (thỏa mãn)

Với c = 5 ta có, d’: x – y + 5 = 0.

Với c = 1 ta có, d’: x – y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(–3; 2)và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\)

là một vectơ chỉ phương là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2.t}\\{y = 2 + ( - 5).t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + 2t}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến là:

3(x – 2) – 1(y + 1) = 0

⇔ 3x – y – 6 – 1 = 0

⇔ 3x – y – 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,6} \right)\]là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\,3} \right)\)cũng là một vectơ chỉ phương của AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\,3} \right)\) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải

Do AH vuông góc với BC nên \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 1} \right)\]là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,\,1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 1(y + 1) = 0

⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0

⇔ 5x + y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng BC nhận vectơ \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;\, - 1} \right)\]là một vectơ chỉ phương nên BC nhận \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;\,\, - 5} \right)\)là một vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình đường thẳng BC là:

1(x – 3) – 5(y – 5) = 0

⇔ x – 3 – 5y + 25 = 0

⇔ x – 5y + 22 = 0.

Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5.\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là:\[\overrightarrow {AB} = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC{\rm{ }}} = \left( { - 3;5} \right).\]

Khi đó

\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}\)

Do α là góc giữa hai đường thẳng nên sinα > 0.

Lại có sin²α + cos²α = 1.

\( \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{7}{{\sqrt {85} }}\).

Hướng dẫn giải

Đường tròn tâm A đi qua B có bán kính R = AB = \(\sqrt {{{(3 + 1)}^2} + {{(1 - 0)}^2}} = \sqrt {17} \).

Vậy phương trình đường tròn tâm A đi qua B là:

(x + 1)² + (y – 0)² = (\(\sqrt {17} \))²

⇔ (x + 1)² + y² = 17.

Hướng dẫn giải

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\,1} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Do đó \(\overrightarrow n = \left( { - 1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của AB.

Phương trình đường thẳng AB là:

–1(x + 1) + 4(y – 0) = 0

⇔ –x – 1 + 4y = 0

⇔ x – 4y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính là \(R = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\)

Vậy phương trình đường tròn tâm O tiếp xúc với AB là

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\).

Hướng dẫn giải

Xét phương trình đường tròn (C) , ta có:

I (a; b) với a = – 4 : (–2) = 2, b = 6 : (–2) = –3, do đó, I (2; –3)

\(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = 5\).

Hướng dẫn giải

Thay toạ độ điểm M vào phương trình của đường tròn (C) ta có

5² + 1² – 4.5 + 6.1 – 12 = 0  (luôn đúng)

nên điểm M thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\).

Vậy phương trình của tiếp tuyến d là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0

⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

Hướng dẫn giải

y² = 10x là phương trình chính tắc của parabol.

Ta có y² = 10x = 2px ⇒ p = 5 \( \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{2}\).

Parabol trên có tiêu điểm là \(F\left( {\frac{5}{2};0} \right)\), phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{5}{2} = 0\).

Hướng dẫn giải

x² – y² = 1 là phương trình chính tắc của hypebol với a = b = 1 nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 2 \)

Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\) tiêu cự là\(2c = 2\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) là phương trình chính tắc của elip với a2 = 25, b2 = 16,\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\)

Tiêu điểm là F1(–3; 0), F2(3; 0), tiêu cự F1F2 = 2c = 2.3 = 6.

Hướng dẫn giải

Elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có a² = 25, b² = 9, c = \(\sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\) nên hai tiêu điểm là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Do M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O đường kính F₁F₂ = 2.4 = 8 nên bán kính là R = 4.

Phương trình đường tròn (C) là:

x² + y² = 4² hay x² + y² = 16.

Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 16}\\{\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = 16 - {x^2}}\\{\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{16 - {x^2}}}{9} = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = 16 - {x^2}}\\{9{x^2} + 400 - 25{x^2} = 225}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = 16 - {x^2}}\\{16{x^2} = 175}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = 16 - \frac{{175}}{{16}}}\\{{x^2} = \frac{{175}}{{16}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 7 }}{4}\\y = \pm \frac{9}{4}\end{array} \right.\).

Vậy ta tìm được bốn điểm M thoả mãn là \(M\left( { \pm \frac{{5\sqrt 7 }}{4}; \pm \frac{9}{4}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px.

Do (P) đi qua điểm A(2; 4) nên ta có: 4² = 2p.2 ⇔ p = 4 .

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y² = 8x với tiêu điểm F(2; 0).

Ta còn viết phương trình (P) dưới dạng: \(x = \frac{{{y^2}}}{8}\).

Ta có:

Do điểm M thuộc (P) nên toạ độ của điểm M có dạng \(M\left( {\frac{{{t^2}}}{8};t} \right)\)

Từ giả thiết MF = 5 ta suy ra:

MF² = 25

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{t^2}}}{8} - 2} \right)^2} + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} - \frac{{{t^2}}}{2} + 4 + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} + \frac{{{t^2}}}{2} - 21 = 0\,\,(*)\end{array}\)

Đặt t² = X (X ≥ 0) ta có:

(*) ⇔ \(\frac{{{X^2}}}{{64}} + \frac{X}{2} - 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 24(TM)\\X = - 56(L)\end{array} \right.\)

Với X = 24 ⇔ \(t = \pm 2\sqrt 6 \)

Vậy có hai điểm M thoả mãn là \(M\left( {3;\,\, \pm 2\sqrt 6 } \right)\).

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet nên mặt cắt của phòng thì thầm là một nửa elip có a = 40 feet, b = 24 feet nên\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{{40}^2} - {{24}^2}} = 32\) feet

Vậy nếu hai người nói chuyện với nhau trong phòng thì sẽ cách trung tâm phòng một nửa tiêu cự là c = 32 feet = 32 . 0,3048 m = 9,7536 m.