Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Đáp án đúng là: A

Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là: \[\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {CO} .\]

Vậy có 6 vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} .\)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

• \(\overrightarrow {AB} \) và \[\overrightarrow {CB} \] ngược hướng. Do đó phương án A sai.

• \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng. Do đó phương án B sai.

• \[\overrightarrow {AB} \] và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng. Do đó phương án C đúng.

• \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Lại có K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Nên AK = KB = DM = MC và NL // AB // CD

Do đó ABLN là hình bình hành (do AB // NL và AN // BL)

Suy ra AB = NL = CD

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó đường trung bình NL đi qua O

Và NO = OL = \(\frac{1}{2}NL = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\)

Suy ra AK = KB = NO = OL = DM = MC.

Khi đó các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} \) là: \(\overrightarrow {KB} ,\overrightarrow {OL} ,\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {MC} .\)

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} .\)

Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .\)

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó \(\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \[\overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow {AC} .\]

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét ABD có AB = AD = 1 và \(\widehat {DAB} = 120^\circ ,\) áp dụng định lí cosin ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cos\(\widehat {DAB}\)

BD² = 1² + 1² – 2.1.1.cos120°

BD² = 3

BD = \(\sqrt 3 \)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 3 .\)

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác \(\widehat {DAB} = 120^\circ \) nên \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có \(\widehat {ADC} = 60^\circ \)

Suy ra ADC là tam giác đều

AC = AD = CD = 1.

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1.\)

Do đó phương án D là đúng.

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2} = 4A{M^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} + A{C^2} = 4A{M^2}\)

3² + 2.3.3.cos60° + 3² = 4.AM²

4.AM² = 27

AM² = \(\frac{{27}}{4}\)

AM = \(\sqrt {\frac{{27}}{4}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = \(\frac{2}{3}\)AM

AG = \(\frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \sqrt 3 .\)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)

Khi đó CD // AB và CD = AB(1)

Ta có: \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} \]

Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành.

Khi đó CD // BE và CD = BE(2)

Từ (1) và (2) ta có: AB ≡ BE và AB = BE

Do đó B là trung điểm của AE

AE = 2AB = 2.3 = 6.

Xét tam giác ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

CE² = AC² + AE² = 4² + 6² = 52

CE = \(\sqrt {52} = 2\sqrt {13} .\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE} \] (quy tắc hình bình hành)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CE} } \right| = CE = 2\sqrt {13} .\)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Xét ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\)

Khi đó tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \)

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành

Khi đó \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\]

Hình bình hành ABDC có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Do đó AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} } \right| = AD = BC = 4.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {IB} = - 2\overrightarrow {IC} \)

Khi đó \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và IB = 2IC.

Khi đó điểm I nằm giữa hai điểm B và C sao cho IB = 2IC.

Gọi M là trung điểm của BI.

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC.

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

\(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} \)(1)

Vì M là trung điểm của BI nên ta có:

\(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} \)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {AI} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} } \right) + \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{{\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} }}{3}\)

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

• Xét phương án A:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM và G nằm giữa A, M.

Khi đó \(\overrightarrow {GA} ,\) \(\overrightarrow {GM} \) là hai vectơ ngược hướng

Nên \[\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \]

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì M là trung điểm của BC nên \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \]

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = \(\frac{2}{3}\)AM

Hai vectơ \(\overrightarrow {AG} \) và \[\overrightarrow {AM} \] cùng hướng nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG} \)

Khi đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG} .\]

Do đó phương án B là đúng.

• Xét phương án C:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM = 3MG và G nằm giữa A, M.

Khi đó \(\overrightarrow {AM} ,\) \(\overrightarrow {MG} \) là hai vectơ ngược hướng

Nên \[\overrightarrow {AM} = - 3\overrightarrow {MG} \]

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Ta có \(2\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AG} \) (chứng minh khi xét phương án B)

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 3 + 2 + 4}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right) + 6}}{3} = 2\end{array} \right.\)

G(1; 2)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 3 + 5 + {x_C}}}{3}\\2 = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + 5 + {x_C} = 6\\3 + \left( { - 2} \right) + {y_C} = 6\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 5\end{array} \right.\) C(4; 5)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên

ABC vuông cân tại B

Do đó:

• \(\widehat {BAC} = 45^\circ \)

• AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) (theo định lí Pythagore)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = AB.AC.cos\[\widehat {BAC}\]

= a.a.\(\sqrt 2 \).cos45°

= a.a\(\sqrt 2 \).\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

= a².

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = a².

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\]

Do đó để \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\]

\[ \Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng hướng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\]

Do đó để \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\]

\[ \Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] ngược hướng.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \]= BC.CA.cos\(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right)\)

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACx}\)

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = \(\frac{1}{2}\)BC

Lại có \[\widehat {ABC} = 60^\circ .\]

Do đó ABC vuông tại A.

Suy ra:

• AC = \(\sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \)

• \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Mà \(\widehat {ACx} = 180^\circ - \widehat {ACB}\) (do hai góc \(\widehat {ACx}\) và \(\widehat {ACB}\) kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ACx} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)

Do đó \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \]= BC.CA.cos\(\widehat {ACx}\)

= 2.\(\sqrt 3 \).cos150°

= 2.\(\sqrt 3 .\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

= –3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Với A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;6} \right)\)và \(\overrightarrow {OC} = \left( {3m;2m - 1} \right)\)

Để AB ⊥ OC thì \[\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {OC} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0\]

−3.3m + 6.(2m – 1) = 0

−9m + 12m – 6 = 0

3m = 6

m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• 2BM = MC \(\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{2}{1}\)

• CN = 2NA \(\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1}\)

• AP = 2PB \(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{1}\)

\[ \Rightarrow \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{{AP}}{{PB}}\left( { = \frac{2}{1}} \right)\]

MN // AB và PM // AC (định lí Talet đảo)

ANMP là hình bình hành

Mặt khác:

• \[\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{CN}}{{NA + CN}} = \frac{2}{{1 + 2}}\]

\(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}\)

• MN // AB \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}\)

MN = \(\frac{2}{3}\).AB = \(\frac{2}{3}\).1 = \(\frac{2}{3}.\)

• \[\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{2}{3}\]

CN = \(\frac{2}{3}.\)CA = \(\frac{2}{3}\).2 = \(\frac{4}{3}.\)

AN = CA – CN = 2 – \(\frac{4}{3}\)

AN = \(\frac{2}{3}.\)

Do đó MN = AN = \(\frac{2}{3}.\)

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Giả sử

\(\frac{{AP}}{{AB}} = x\) (x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)

Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)

Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC.} \)

• \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)

\( = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \]

• \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AP} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( = x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {NP} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {x.\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x.A{B^2} - \frac{1}{9}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{2}{9}.A{C^2} = 0\] (1)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)

= 1.1.cos60° = \(\frac{1}{2}.\)

Khi đó:

(1) \( \Leftrightarrow \frac{1}{3}.x{.1^2} - \frac{1}{9}.\frac{1}{2} + \frac{2}{3}.x.\frac{1}{2} - \frac{2}{9}{.1^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = \frac{5}{{18}}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{{18}}:\frac{2}{3} = \frac{5}{{12}}\) (thỏa mãn)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}.\)

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)

Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)

Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

• \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

• \[\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

• Khi đó:

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2}\)

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)

= 3a.3a.cos60° = \(\frac{9}{2}{a^2}.\)

Do đó \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{B^2}\]

\[ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{9}A{B^2}\]

\[ = \frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a^2} - \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2}\]

= \(\frac{1}{2}\)a² – a² = \( - \frac{1}{2}\)a².

Vậy \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \]\( - \frac{1}{2}\)a².

Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

• \[\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BC} \]

• \[\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {MA} \]

Khi đó \[\left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {AC} } \right|\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|\]

BC = MA

Do đó tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là đường tròn tâm A bán kính BC (như hình vẽ trên).

Vậy ta chọn phương án A.

Lời giải

ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

MN // AB // DC và MN = AB = DC.

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {MN} \)

Vậy những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MN} .\)

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của ADC

NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là: \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {NO} ,\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {DC.} \]

Lời giải

Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của ABC.

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BO\) và \(OI = \frac{1}{2}BI\) (tính chất trọng tâm)(1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của ADC.

\( \Rightarrow DJ = \frac{2}{3}DO\) và \(OJ = \frac{1}{2}DJ\) (tính chất trọng tâm)(2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = \(\frac{1}{2}\)BI = \(\frac{1}{2}\)DJ

Mà IJ = IO + OJ = \(\frac{1}{2}\)BI + \(\frac{1}{2}\)BI = BI = DJ

Vậy BI = IJ = JD.

Lời giải

Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của ABC, AMN.

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

\(\overrightarrow {{\rm{AA}}} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} \)

Mặt khác: M, N lần lượt lấy theo thứ tự trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC nên ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {CN} \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \)

Suy ra điểm G và G' trùng nhau.

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

Lời giải

• Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} \)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow u - \overrightarrow v \]

• Từ BM = MN = NC suy ra \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} \)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm G ta có:

\(\overrightarrow {GC} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {GB} = \left[ {1 - \left( { - 2} \right)} \right]\overrightarrow {GM} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {GB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{1}{3}\overrightarrow v \)

Tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{3}\overrightarrow u + \frac{2}{3}\overrightarrow v \)

Lời giải

Ta có:

• \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] = AB. AC.cos\(\widehat {BAC}\) = 4.5.cos60° = 10.

• \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

= \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] – AB²

= 10 – 4²

= 10 – 16

= –6

Vậy \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 10,\] \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 6.\]

Lời giải

Ta có

• \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} \]

\[ = 2\overrightarrow {AB} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB} \]

\[ = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]

• \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \]

Do đó:

\[\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right).\left( {3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} - x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = \left( {3 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2}\]

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì \[\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\) (với x ≠ –1)

65x + 14 = 0

x = \( - \frac{{14}}{{65}}\)

Vậy với x = \( - \frac{{14}}{{65}}\) thì AN ⊥ BM.

Lời giải

• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM

Nên \(\overrightarrow {PD} = - 2\overrightarrow {PM} \)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\overrightarrow {AD} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {AM} = \left[ {1 - \left( { - 2} \right)} \right]\overrightarrow {AP} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (vì M là trung điểm của AB)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u \)

• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN

\( \Rightarrow \overrightarrow {QB} = - x\overrightarrow {QN} \)

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\overrightarrow {AB} - \left( { - x} \right)\overrightarrow {AN} = \left[ {1 - \left( { - x} \right)} \right]\overrightarrow {AQ} \)

\( \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AN} \)

\( = \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x\overrightarrow {DN} \)

\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \) (vì N là trung điểm của CD)

\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}x\overrightarrow {AB} \) (vì \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \))

\( = \left( {1 + \frac{1}{2}x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{2}\overrightarrow u + x\overrightarrow v \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \) (do x ≠ −1)

b) Với \(\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \)

Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AP} \) và \(\overrightarrow {AQ} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{\frac{x}{{x + 1}}}}{{\frac{1}{3}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}\)

x + 2 = 2x

x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)

Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Lời giải

Theo kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

\(\overrightarrow {{\rm{AA'}}} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AA'}}} + \overrightarrow {BB'} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CA} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {GG'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} \)

Do đó \(\overrightarrow {GG'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BA} \)

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Lời giải

• Vì E là trung điểm của AB nên \[\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {EB} \]

F là trung điểm của CD nên \[\overrightarrow {FC} = \overrightarrow {DF} .\]

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

\[2\overrightarrow {KL} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} \]

Tương tự:

M là trung điểm của BF, N là trung điểm của DE, nên ta có:

\[\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {DF} = 2\overrightarrow {NM} \]

Do đó \[2\overrightarrow {KL} = 2\overrightarrow {NM} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {NM} \]

KL = NM và KL // NM

KLMN là một hình bình hành.

Lời giải

Do KLMN là hình bình hành

Mà I là giao điểm của KM, LN nên I là trung điểm chung của KM, LN.

Khi đó ta có:

\[2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EL} = \frac{1}{2}\overrightarrow {ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EC} \]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF} \] (do F là trung điểm của DC)

Do đó \[2\overrightarrow {EI} = \frac{1}{2}.\overrightarrow {EF} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \frac{1}{4}.\overrightarrow {EF} \]

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {EI} \) và \(\overrightarrow {EF} \) cùng phương

Do đó E, I, F thẳng hàng.

Lời giải

Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó \(\widehat {CEA} = 90^\circ \)

Tứ giác ABCE có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {CEA} = 90^\circ \] nên là hình chữ nhật

EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = \(\frac{1}{3}\)AD

\( \Rightarrow \overrightarrow {EA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

Mà \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {EA} \) (do ABCE là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

• Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED} \)

Mà \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BA} \) (do ABCE là hình chữ nhật)

Và \(\overrightarrow {ED} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \]

Vậy \(\overrightarrow {CM} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) và \[\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} .\]

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + \overrightarrow {AD} \)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \) (do \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \))

\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {IC} \) và \[\overrightarrow {ID} \] ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên \[9\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {ID} \] hay \[\overrightarrow {IC} = - \frac{5}{9}\overrightarrow {ID} \]

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\overrightarrow {AC} - \left( { - \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AD} = \left[ {1 - \left( { - \frac{5}{9}} \right)} \right]\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \left[ {1 + \frac{5}{9}} \right]\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \frac{{14}}{9}\overrightarrow {AI} \)

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9\overrightarrow {AE} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6\left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6.3\overrightarrow {AG} \] (do \(3\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \))

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 18\overrightarrow {AG} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{7}\overrightarrow {AG} \]

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \[\overrightarrow {AG} \] cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

Lời giải

• Theo câu a ta có \[14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow {\left( {14\overrightarrow {AI} } \right)^2} = {\left( {9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} } \right)^2}\]

\[ \Rightarrow 196A{I^2} = 81A{B^2} + 2.\left( {9\overrightarrow {AB} } \right).\left( {8\overrightarrow {AD} } \right) + 64A{D^2}\]

Mà AB ⊥ AD nên \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\]

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

AI² = \(\frac{{225}}{{49}}\)

AI = \(\frac{{15}}{7}.\)

• Ta có: \[14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} \]

\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BI} = - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {BI} } \right)^2} = {\left( { - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow B{I^2} = \frac{{25}}{{196}}A{B^2} - 2.\frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} .\frac{4}{7}\overrightarrow {AD} + \frac{{16}}{{49}}A{D^2}\)

\( \Rightarrow B{I^2} = \frac{{25}}{{196}}A{B^2} + \frac{{16}}{{49}}A{D^2}\) (do \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\])

\( \Rightarrow B{I^2} = \frac{{25}}{{196}}{.2^2} + \frac{{16}}{{49}}{.3^2} = \frac{{169}}{{49}}\)

BI = \(\frac{{13}}{7}.\)

Vậy AI = \(\frac{{15}}{7}\) và BI = \(\frac{{13}}{7}.\)

Lời giải

Ta có:

• \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \)

• \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \)

• \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \]

Suy ra: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} \)

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {BC} ^2} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {BC} ^2} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} \]

= 0.

Vậy \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0.\]

Lời giải

Với \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4) và \(\overrightarrow c \) = (–5; 3) ta có:

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) = 1.3 + 2.(–4) = 3 – 8 = –5;

• \(\overrightarrow b .\overrightarrow c \) = 3.(–5) + (–4).3 = –15 – 12 = –27;

• \(\overrightarrow c .\overrightarrow a \) = (–5).1 + 3.2 = –5 + 6 = 1.

Lời giải

Với \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4) và \(\overrightarrow c \) = (–5; 3) ta có:

• \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 ;\)

• \(\overrightarrow b + \overrightarrow c \) = (–2; –1)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 .\]

• \[\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\] = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Mà cos\[\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{ - 4}}{5}.\]

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \approx 143^\circ 7'48''\)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b + \overrightarrow c \) khoảng 143°7'48''.

Lời giải

Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

\(\overrightarrow {AB} \) = (3; 3) và \(\overrightarrow {AC} \) = (7; –3)

Vì \(\frac{3}{7} \ne \frac{3}{{ - 3}} = - 1\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\).

Lời giải

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.

Hay AH→.BC→=0 và BH→.AC→=0.

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2) và H(x; y), ta có:

⦁ AH→=x+2;y−1 và BC→=4;−6.

⇒AH→.BC→=4.x+2−6.y−1=0.

⇔ 4x – 6y = –14

⇔ 2x – 3y = –7    (1)

⦁ BH→=x−1;y−4 và AC→=7;−3.

⇒BH→.AC→=7.x−1−3.y−4=0.

⇔ 7x – 3y = –5    (2)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1), ta có: 5x = 2.

⇔x=25.

Thay x=25 vào (1) ta được: 2.25−3y=−7.

⇔3y=395

⇔y=135.

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

*Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90°.

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra BH // CD, CH // BD.

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vì vậy hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra M cũng là trung điểm của DH.

Mà I là trung điểm của AD.

Do đó IM là đường trung bình của tam giác AHD.

Suy ra IM // AH và AH = 2.IM (tính chất đường trung bình của một tam giác).

Khi đó hai vectơ AH→,  IM→ cùng phương, cùng hướng và có độ dài AH→=2.IM→.

Vì vậy AH→=2.IM→, với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2), H25;135 và I(a; b), ta có:

⦁ AH→=125;85;

⦁ Vì M là trung điểm BC nên xM=1+52=3yM=4+−22=1

Suy ra tọa độ M(3; 1).

⇒IM→=3−a;1−b.

⇒2IM→=6−2a;2−2b.

Ta có AH→=2.IM→ (chứng minh trên).

⇔125=6−2a85=2−2b⇔2a=1852b=25⇔a=95b=15⇒I95;15.

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.

Lời giải

Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

• \(\overrightarrow {BC} \) = (–7; 6)

• \(\overrightarrow {BD} \) = (a – 5; –3)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \) là hai vectơ cùng phương

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{ - 7}} = \frac{{ - 3}}{6}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{ - 7}} = \frac{{ - 1}}{2}\)

2(a – 5) = 7

a – 5 = \(\frac{7}{2}\)

a = \(\frac{{17}}{2}\)

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\) là điểm cần tìm.

Lời giải

Ta

có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

3 điểm A, E, B thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AE} \) là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• \(\overrightarrow {AB} \) = (3; 4)

• \(\overrightarrow {AE} \) = (b – 2; 1)

Khi đó \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AE} \) là hai vectơ cùng phương

\( \Leftrightarrow \frac{{b - 2}}{3} = \frac{1}{4}\)

b – 2 = \(\frac{3}{4}\)

b = \(\frac{{11}}{4}\)

Vậy \(E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\) là điểm cần tìm.

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 9}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)

Với điểm F bất kì ta có: \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = 3\overrightarrow {FG} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {FG} } \right| = 3FG\)

Để vectơ \[\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} \] có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = \(\frac{{11}}{3}\)

Vậy \(F\left( {0;\frac{{11}}{3}} \right).\)

Lời giải

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng \(\left| {\overrightarrow P } \right|\) = mg = 2 500 . 10 = 25 000 (N)

Trọng lực \(\overrightarrow P \) của ô tô hợp với hướng chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực \(\overrightarrow P \) được phân tích thành hai thành phần \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \) nên ta có:

\(\overrightarrow P = \overrightarrow {{P_1}} + \overrightarrow {{P_2}} \)

(\(\overrightarrow {{P_1}} \) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}} \) có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy \(\overrightarrow {{P_1}} \) không có tác dụng với chuyển dời \(\overrightarrow {MN} \) của xe và \(\overrightarrow {{P_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {MN} \).

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

A = \(\overrightarrow P .\overrightarrow {MN} = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.cos\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow {MN} } \right)\)

= 25 000 . 50 . cos105°

≈ –323 524 (J)

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.