Giải SBT Toán 10 Bài 7. Các khái niệm mở đầu có đáp án
7 câu hỏi
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] cùng phương;
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] cùng hướng;
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] ngược hướng;
d) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng ba lần độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MG} \).
Lời giải
Ta có: M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC
Nên trung tuyến AM đi qua điểm G.
+ Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.
Do đó khẳng định a) là đúng.
+ Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \[\overrightarrow {GM} \] ngược hướng
Do đó khẳng định b) là sai và khẳng định c) là đúng.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG = \frac{2}{3}AM\)
AM = 3MG.
Do đó \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)
Do đó khẳng định d) là đúng.
Vậy các khẳng định đúng là: a), c) và d).
Cho trước hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Hỏi có hay không một vectơ cùng phương với cả \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b ?\)
Lời giải
Vì vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với mọi vectơ nên:
+ Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow a \)
+ Vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow b \)
Do đó có một vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với cả \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng phương và cùng khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng có ít nhất hai vectơ trong chúng có cùng hướng.
Lời giải
Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng phương và cùng khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) nên chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nhau.
Trường hợp 1: Nếu \[\overrightarrow a \] cùng hướng với \(\overrightarrow b \) (hoặc \(\overrightarrow a \) cùng hướng với \(\overrightarrow c \))
Thì khi đó có hai vectơ cùng hướng.
Trường hợp 2: Nếu \[\overrightarrow a \] ngược hướng với cả \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \)
Vì \[\overrightarrow a \] ngược hướng với \(\overrightarrow b \), \[\overrightarrow a \] ngược hướng với \(\overrightarrow c \)
Nên khi đó \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) cùng hướng với nhau.
Do đó có hai vectơ trong ba vectơ cùng hướng với nhau
Vậy có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) có cùng hướng.
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F.
a) Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} .\)
b) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Lời giải
Do ABCDEF là lục giác đều tâm O nên:
+ Các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB = ED, BC = FE, CD = FA;
+ Ba đường chéo chính AD, BE, CF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường;
+ Mỗi đường chéo chính song song với một cặp cạnh có đầu mút không thuộc đường chéo ấy.
a) Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} \) mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {AD} .\)
b) Vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} .\)
Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O).
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {A'C} .\]
Lời giải
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ AB
Mặt khác AA' là đường kính của (O), B ∈ (O) nên \(\widehat {ABA'} = 90^\circ \)
Do đó AA' ⊥ AB
Suy ra CH // AA' (từ vuông góc đến song song)
Chứng minh tương tự ta cũng có BH // A'C
Tứ giác BHCA' có CH // AA' và BH // A'C
Suy ra BHCA' là hình bình hành
Do đó \(\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {{\rm{A'C}}} .\)
Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O).
Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} .\)
Lời giải
Ta có: O và M lần lượt là trung điểm của AA' và BC
Nên OM là đường trung bình của tam giác AA'H
Do đó AH = 2OM và OM // AH (tính chất đường trung bình)
Vậy, hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {AH} \) có:
+ Cùng phương
+ Cùng hướng
+ \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)
Trên biển Đông, một tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E với vận tốc 20 km/h. Sau 2 giờ, tàu đến được vị trí B. Hỏi A cách B bao nhiêu kilômét và hướng nào so với B?
Lời giải
Ta
sử dụng vectơ \(\overrightarrow v \) với \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 20\)(km/h) để biểu thị vận tốc của tàu, vectơ \(\overrightarrow {AB} \) biểu thị cho quãng đường và hướng chuyển động của tàu từ A tới B (hình vẽ trên).
Vì tàu chuyển động đều từ A với vận tốc 20 km/h trong 2 giờ tới B nên \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2.\left| {\overrightarrow v } \right| = 2.20 = 40\)(km).
Vậy A cách B 40 km.
Do tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E đến vị trí B
Do đó A ở hướng ngược lại so với B, tức là hướng S20°W so với B.