Giải SBT Toán 10 Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:                          

c² = a² + b² – 2abcosC

mà a = b nên

c² = a² + a² – 2a²cosC

c² = 2a² – 2a²cosC

c² = 2a² (1 – cosC ).

Lời giải

Tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{A}}\) + \(\widehat {\rm{B}}\) + \(\widehat {\rm{C}}\) = 180°.

⇒ \(\widehat {\rm{C}}\) = 180° – \(\widehat {\rm{A}}\)– \(\widehat {\rm{B}}\) = 180° – 42° – 63° = 75°.

Vậy \(\widehat {\rm{C}}\) = 75°.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

AB² = BC² + AC² – 2BC.AC.cos\(\widehat {\rm{C}}\)

AB² = 10² + 20² – 2.10.20.cos80°

AB = \(\sqrt {{{10}^2} + {\rm{ }}{{20}^2}--{\rm{ }}2.10.20.{\rm{cos}}80^\circ } \)

AB ≈ 20,75.

Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{sinC}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{sinA}}}}\)≈ \(\frac{{20,75}}{{\sin 80^\circ }}\).

⇒ sinB = AC : \(\frac{{20,75}}{{\sin 80^\circ }}\) = 20 : \(\frac{{20,75}}{{\sin 80^\circ }}\) ≈ 0,949 ⇒ \(\widehat {\rm{B}}\) ≈ 71°37’.

⇒ sinA = BC : \(\frac{{20,75}}{{\sin 80^\circ }}\) = 10 : \(\frac{{20,75}}{{\sin 80^\circ }}\) ≈ 0,475 ⇒ \(\widehat {\rm{C}}\) ≈ 28°21’.

Vậy \(\widehat {\rm{B}}\) ≈ 71°37’ và \(\widehat {\rm{C}}\) ≈ 28°21’.

Theo định lí côsin ta có: AB² = BC² + AC² – 2BC.AC.cos\(\widehat {\rm{C}}\)

⇒ cos\(\widehat {\rm{C}}\) = \(\frac{{{\rm{B}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{B}}^2}}}{{2.{\rm{BC}}.{\rm{AC}}}}\) = \(\frac{{{{30}^2} + {{25}^2} - {{15}^2}}}{{2.30.25}}\) = \(\frac{{13}}{{15}}\) ⇒ \(\widehat {\rm{C}}\) ≈ 29°55’.

Tương tự như trên, ta có:

cos\(\widehat {\rm{A}}\) = \(\frac{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{BC}}{^2}}}{{2.{\rm{AB}}.{\rm{AC}}}}\)= \(\frac{{{{15}^2} + {{25}^2} - {{30}^2}}}{{2.15.25}}\) = \(\frac{{ - 1}}{{15}}\) ⇒ \(\widehat {\rm{A}}\) ≈ 93°49’.

cos\(\widehat {\rm{B}}\) = \(\frac{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{AC}}{^2}}}{{2.{\rm{AB}}.{\rm{BC}}}}\)= \(\frac{{{{15}^2} + {{30}^2} - {{25}^2}}}{{2.15.30}}\) = \(\frac{5}{9}\) ⇒ \(\widehat {\rm{B}}\) ≈ 56°15’.

Lời giải

Đặt d = PQ = 50m; h = AR là chiều cao từ giác kế đến đỉnh tòa nhà.

Ta có: \(\widehat {{\rm{RQA}}}\)= 79° và \(\widehat {{\rm{RPA}}}\)= 65°

tan\(\widehat {{\rm{RQA}}}\) = \(\frac{{{\rm{AR}}}}{{{\rm{QR}}}}\) = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{QR}}}}\) ⇒ QR = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan}}\widehat {{\rm{RQA}}}}}\) = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan79^\circ }}}}\).

tan\(\widehat {{\rm{RPA}}}\) = \(\frac{{{\rm{AR}}}}{{{\rm{PR}}}}\) = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{PR}}}}\) ⇒ PR = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan}}\widehat {{\rm{RPA}}}}}\) = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan65^\circ }}}}\).

Ta có:

PQ = PR – QR = \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan65^\circ }}}}\) – \(\frac{{\rm{h}}}{{{\rm{tan79^\circ }}}}\) = h \(\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} - \frac{1}{{\tan 79^\circ }}} \right)\) = 50 (m)

⇒ h ≈ 183,9 (m)  

Vậy chiều cao của tòa nhà là AR + RO ≈ 183,9 + 1,4 = 185,3 (m).

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

AB là đoạn đường mà tàu đi được ban đầu nên AB = 15 km. AC là đoạn tàu đi được sau khi bẻ sang hướng tây bắc 20° nên AC = 12 km và \(\widehat {{\rm{CAm}}}\)= 20°. BC là khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

\(\widehat {{\rm{CAm}}}\) và \(\widehat {{\rm{CAB}}}\) là hai góc kề bù ⇒ \(\widehat {{\rm{CAB}}}\) = 180° – 20° = 160°.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cos\(\widehat {{\rm{CAB}}}\)

BC² = 15² + 12² – 2.12.15.cos20°

BC = \(\sqrt {{{15}^2} + {\rm{ }}{{12}^2}--{\rm{ }}2.12.15.{\rm{cos}}20^\circ } \)

BC ≈ 26,59 km.

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng khoảng 26,59 km.