Giải SBT Toán 10 Bài 22. Ba đường conic có đáp án
12 câu hỏi
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) của (E) ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 36}\\{{b^2} = 16}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 5 \)
Vậy (E) có hai tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 5 ;0} \right)\)và có tiêu cự là: \(2c = 4\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\)của (H) ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 16}\\{{b^2} = 20}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\)
Vậy (H) có hai tiêu điểm là F1 (–6; 0), F2(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.
Hướng dẫn giải
Dựa vào phương trình chính tắc y2 = 4x của (P) ta có:
2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ \(\frac{p}{2} = 1\) .
Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0)
Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có \(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇔ a2 = 62
Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 42 = 20.
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)(trong đó a, b > 0)
Do (H) có một tiêu điểm là F2(5; 0) nên ta có:
c = 5 ⇒ b2 + a2 = c2 = 25 ⇔ a2 = 25 – b2
Vì (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\)nên ta có
\(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} - \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\) (1)
Đặt t = b2 (t > 0) ⇒ a2 = 25 – t. Thay vào (1) ta được
\(\frac{{18}}{{25 - t}} - \frac{{16}}{t} = 1\)
⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t
⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t2
⇔ t2 + 9t – 400 = 0
⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)
Do đó, b2 = t = 16, a2 = 25 – t = 9.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px, trong đó p > 0.
Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8
Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 16x.
Gọi M (x0; y0).
Vì M thuộc (P) nên ta có:
d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\)
⇔ |x0 + 4| = 5 (*)
TH1: x0 + 4 ≥ 0 hay x0 ≥ –4
(*) ⇔ x0 + 4 = 5 ⇔ x0 = 1 (thỏa mãn)
TH2: x0 + 4 < 0 hay x0 < –4
(*) ⇔ –x0 – 4 = 5 ⇔ x0 = –9 (thỏa mãn)
Với x0 = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)
Với x0 = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.1 = 16 ⇔ y0 = ±4
Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).
Hướng dẫn giải
Gọi vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b} \right)\). Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + at}\\{y = 0 + bt = bt}\end{array}} \right.\).
Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình
(bt)2 =16 . (4 + at) ⇔ b2t2 – 16at – 64 = 0. (1)
Phương trình (1) có Δ’ = 64a2 + 64b2 > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi A(4 + at1; bt1), B(4 + at2; bt2), trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Ta có
\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \frac{{\left| {b{t_1}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {b{t_2}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {{b^2}.{t_1}{t_2}} \right|\)
Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: \({t_1}{t_2} = \frac{{ - 64}}{{{b^2}}}\). Từ đó suy ra
\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \left| {{b^2}.\frac{{ - 64}}{{{b^2}}}} \right| = 64\)
Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.
Hướng dẫn giải
Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0).
Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).
Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).
Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:
\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)
\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)
Suy ra phương trình của (E) là
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.
\(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\)
Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}} = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,905 > 2,8\)
Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.
Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Tính MF12 – MF22 theo x0; y0. Từ đó tính MF1, MF2, theo x0; y0.
Hướng dẫn giải
Từ phương trình chính tắc của (E) ta có
b = 1,\(a = \sqrt 2 ,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {2 - 1} = 1\).
(E) có hai tiêu điểm là F1(–1; 0); F2(1; 0).
Ta có:
MF12 = (x0 + 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 + 1)2 + y02
MF22 = (x0 – 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 – 1)2 + y02
MF12 – MF22
= (x0 + 1)2 + y02 – [(x0 – 1)2 + y02]
= (x0 + 1)2 – (x0 – 1)2
= x02 + 2x0 + 1 – (x02 – 2x0 + 1)
= 4x0.
Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:
MF1 + MF2 = 2a = \(2\sqrt 2 \) (1)
Mà: (MF1 – MF2)(MF1 + MF2) = MF12 – MF22
\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_1^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}\) (2)
Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:
2MF1 = \(2\sqrt 2 \) + \(\sqrt 2 {x_0}\)
⇔ MF1 = \(\sqrt 2 \) + \(\frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\)
⇒ MF2 = \(2\sqrt 2 - \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\).
Hướng dẫn giải
Sử dụng kết quả của phần a) ta có:
\(M{F_2} = 2M{F_1} \Leftrightarrow \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = 2\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Leftrightarrow \frac{{3{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow {x_0} = - \frac{2}{3}\)
Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:
\(\frac{{x_0^2}}{2} + \frac{{y_0^2}}{1} = 1 \Leftrightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{x_0^2}}{2} = 1 - \frac{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}}\\{{y_0} = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy \(M\left( { - \frac{2}{3};\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\)hoặc \(M\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF1F2, ta có
\(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} = \frac{{MF_1^2 + MF_2^2 - {F_1}F_2^2}}{{2.M{F_1}.M{F_2}}}\)
\( = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - {2^2}}}{{2.\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( {\sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{{x_0^2}}{{4 - x_0^2}}\)
Ta có: \(\frac{{x_0^2}}{2} = 1 - y_0^2 \le 1\) ⇔ 0 ≤ x02 ≤ 2 ⇒ 4 – x02 > 0.
Suy ra \(\cos \widehat {{F_1}M{F_2}} \ge 0 \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} \le 90^\circ \)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 ⇒ y0 = ±1
Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Xét đường elip như hình vẽ:
Theo đề bài: Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Nên ta có:
2a = 768 800 và 2b = 767 640
Do đó, a = 384 400 và b = 383 820.
Từ đó suy ra \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{{384400}^2} - {{383820}^2}} \approx 21108\].
Vì vậy,
Khoảng cách lớn nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là
a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)
Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là:
a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km).
Bạn có thích hoạt động này không?