Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài tập cuối chuyên đề 1 có đáp án

Đáp án đúng là: C

Miền Ω ở Hình 1 là miền tứ giác có các đỉnh có tọa độ (1; 1), (4; 1), (2; 4) và (1; 3).

Giá trị của biểu thức F tại các đỉnh:

F(1; 1) = 5 ∙ 1 – 2 ∙ 1 = 3;

F(4; 1) = 5 ∙ 4 – 2 ∙ 1 = 18;

F(2; 4) = 5 ∙ 2 – 2 ∙ 4 = 2;

F(1; 3) = 5 ∙ 1 – 2 ∙ 3 = – 1.

Do đó, .

Đáp án đúng là: A

Miền Ω ở Hình 2 có các đỉnh có tọa độ là (1; 3), (3; 1) và (4; 1) (không là miền đa giác).

Do Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức F(x; y) = 5x + 2y đều dương nên F đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của Ω.

Ta có F(1; 3) = 5 ∙ 1 + 2 ∙ 3 = 11;

F(3; 1) = 5 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 17;

F(4; 1) = 5 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 22.

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh có tọa độ (1; 3) và .

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y (x ≥ 0; y ≥ 0; x, y ∈ ℤ) lần lượt là số chiếc xe tại loại A và loại B nhà phân phối thuê để vận chuyển máy giặt.

Vì có thể thuê tối đa 3 chiếc xe tải loại A và 8 chiếc xe tải loại B nên x ≤ 3 và y ≤ 8.

Tổng số máy giặt vận chuyển nhiều nhất được khi dùng x xe loại A và y xe loại B nếu mỗi xe chỉ chở nhiều nhất một chuyến là 20x + 10y (chiếc).

Vì phải vận chuyển 100 chiếc máy giặt nên 20x + 10y ≥ 100 hay 2x + y ≥ 10.

Số tiền cước (triệu đồng) mà nhà phân phối phải trả là F = 3x + 2y.

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:

F = 3x + 2y → min

với ràng buộc

Tập phương án Ω của bài toán là miền tam giác ABC được tô màu như hình vẽ dưới và có các đỉnh là A(1; 8), B(3; 8) và C(3; 4).

Giá trị của F tại các đỉnh:

F(1; 8) = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 8 = 19;

F(3; 8) = 3 ∙ 3 + 2 ∙ 8 = 25;

F(3; 4) = 3 ∙ 3 + 2 ∙ 4 = 17.

Suy ra .

Vậy số tiền cước tối thiểu mà nhà phân phối phải trả là 17 triệu đồng.

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y (x > 0, y > 0, tính theo m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể chứa.

Thể tích bể chứa là V = xy = 4 (m3), suy ra (m).

Diện tích đáy bể là S1 = xy (m2).

Diện tích thành bể là S2 = 2(x + y) ∙ 1 = 2(x + y) (m2).

Chi phí để làm bể là

C = 3xy + 2 ∙ 2(x + y) = (triệu đồng).

Xét hàm số f(x) = 12 + 4x + với x ∈ (0; + ∞).

Ta có f'(x) = 4 – ;

f'(x) = 0 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy , đạt được tại x = 2.

Với x = 2 thì .

Vậy với x = y = 2 m thì chi phí tối thiểu để làm bể là 28 triệu đồng.

Đáp án đúng là: C

Chi phí trung bình trên của mỗi sản phẩm là

với x > 0.

Xét hàm số với x ∈ (0; + ∞).

Ta có ;

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được khi x = 100.

Vậy chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là thấp nhất khi số lượng sản phẩm được sản xuất là 100 sản phẩm.

Viết lại ràng buộc của bài toán thành

Tập phương án Ω của bài toán là miền tam giác ABC được tô màu như hình vẽ dưới đây.

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x = 0 và x – 3y + 3 = 0 là nghiệm của hệ phương trình .

Tương tự, ta tìm được và C(0; 5).

Giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω:

F(0; 1) = 40 ∙ 0 + 15 ∙ 1 = 15;

; 

F(0; 5) = 40 ∙ 0 + 15 ∙ 5 = 75.

Từ đó, .

Viết lại ràng buộc của bài toán thành

Tập phương án Ω của bài toán là miền không gạch chéo trên hình dưới đây (không là miền đa giác).

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ .

Tương tự, tìm được điểm B(3; 0).

Miền Ω có hai đỉnh là A(0; 4) và B(3; 0).

Do Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức F = 3x + 5y đều dương nên F đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của Ω.

Ta có F(0; 4) = 3 ∙ 0 + 5 ∙ 4 = 20;

F(3; 0) = 3 ∙ 3 + 5 ∙ 0 = 9.

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh B(3; 0) và .

Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0, tính theo tấn) lần lượt là khối lượng thức ăn chăn nuôi loại A và loại B mà xí nghiệp sản xuất.

Vì xí nghiệp sản xuất chỉ còn 2,4 tấn bột ngô và 1,2 tấn bột đậu nành nên ta có các bất phương trình

hay

Lợi nhuận của xí nghiệp thu được đối với hai loại sản phẩm A và B là

L = 2x + 1,8y (triệu đồng).

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:

L = 2x + 1,8y → max

với ràng buộc

Tập phương án Ω của bài toán là miền tứ giác OABC được tô màu như hình dưới đây, có các đỉnh O(0; 0), A(3; 0), B và C(0; 3).

Giá trị của L tại các đỉnh:

L(0; 0) = 0;

L(3; 0) = 2 ∙ 3 + 1,8 ∙ 0 = 6;

;

L(0; 3) = 2 ∙ 0 + 1,8 ∙ 3 = 5,4.

Do đó, , đạt được khi .

Vậy xí nghiệp đó nên sản xuất 2,4 tấn sản phẩm loại A và 1,2 tấn sản phẩm loại B thì thu được lợi nhuận cao nhất là 6,96 triệu đồng.

Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0, tính theo kg) lần lượt là khối lượng thực phẩm A và B cần dùng.

Vì lượng thực phẩm tạo ra chứa ít nhất 480 g protein, 90 g lipid và 2 400 g glucid nên ta có các bất phương trình sau

hay

Chi phí mua hai loại thực phẩm A và B là T = 80x + 100y (nghìn đồng).

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:

T = 80x + 100y → min

với ràng buộc

Tập phương án Ω của bài toán là miền không gạch chéo trên hình dưới đây, có các đỉnh A(4; 0), , C(1; 3) và D(0; 6).

Miền Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các hệ số của hàm mục tiêu T dương nên T đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.

Giá trị của T tại các đỉnh:

T(4; 0) = 80 ∙ 4 + 100 ∙ 0 = 320;

;

T(1; 3) = 80 ∙ 1 + 100 ∙ 3 = 380;

T(0; 6) = 80 ∙ 0 + 100 ∙ 6 = 600.

Suy ra , đạt được khi x = 2; .

Vậy cần mua 2 kg thực phẩm loại A và 1,5 kg thực phẩm loại B thì chi phí thấp nhất.

Bán kính và chiều cao của thùng chứa lần lượt là R và h (dm; R, h > 0).

Thể tích thùng chứa hình trụ là V = πR2h = 500 (dm3).

Suy ra (dm).

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng chứa phải nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của thùng chứa hình trụ là

S = 2πRh + 2πR2 = = (dm2).

Xét hàm số với R ∈ (0; + ∞).

Ta có ;

 ∈ (0; + ∞).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại .

Với thì ta có .

Vậy với bán kính (dm) và đường cao (dm) thì tiết kiệm nguyên liệu làm thùng chứa nhất.

Ta có cường độ dòng điện là (A).

Công suất của dòng điện ở mạch ngoài là

P = I2R = (W) với R > 0.

Xét hàm số  với R ∈ (0; + ∞).

Ta có ;

P'(R) = 0 ⇔ 16(2 – R) = 0 ⇔ R = 2.

Ta có P(2) = 2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại R = 2.

Vậy điện trở R = 2 Ω thì công suất P có giá trị lớn nhất là 2 W.

Doanh thu của đơn vị tổ chức buổi biểu diễn văn nghệ là:

D = px = 500 ∙ e– 0,0005x ∙ x = 500xe– 0,0005x (nghìn đồng) với x > 0.

Xét hàm số f(x) = 500xe– 0,0005x với x ∈ (0; + ∞).

Ta có f'(x) = 500e– 0,0005x(1 – 0,0005x);

f'(x) = 0 ⇔ 1 – 0,0005x = 0 ⇔ x = 2 000 ∈ (0; + ∞).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được khi x = 2 000.

Với x = 2 000, ta có p = 500 ∙ e– 0,0005 ∙ 2 000 =  ≈ 184.

Vậy đơn vị tổ chức nên bán vé với giá 184 nghìn đồng thì đạt được doanh thu cao nhất.