Giải chuyên đề Toán 12 CD Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc có đáp án
33 câu hỏi
Đại lượng X nói trên là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập {0; 1; 2; …; 30}.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc vì số lần xuất hiện số 10 khi quay lồng 30 lần ta không dự đoán trước được và X nhận giá trị thuộc tập hợp {0; 1; 2; …; 30}.
Xét phép thử T: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X là số lần xuất hiện mặt ngửa.
Xét các biến cố:
X = 0: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 0”;
X = 1: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 1”;
X = 2: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 2”.
Không gian mẫu W = {SS, SN, NS, NN}. Suy ra n(W) = 4.
Biến cố X = 0: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 0”.
Suy ra n(X = 0) = 1.
Do đó 
.
Biến cố X = 1: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 1”.
Suy ra n(X = 1) = 2.
Do đó 
.
Biến cố X = 2: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 2”.
Suy ra n(X = 2) = 1.
Do đó 
.
Xét phép thử T: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X là số lần xuất hiện mặt ngửa.
Xét các biến cố:
X = 0: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 0”;
X = 1: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 1”;
X = 2: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 2”.
Tìm số thích hợp cho ? trong Bảng 1.
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị thuộc tập {0; 1; 2; 3}.
Ta có 
.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Không có học sinh kết quả học tập Tốt được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Trong 3 học sinh được chọn có 1 học sinh kết quả học tập Tốt”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Trong 3 học sinh được chọn có 2 học sinh kết quả học tập Tốt”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 3 là biến cố: “Cả 3 học sinh được chọn có kết quả học tập Tốt”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
Bảng phân bố xác suất của X
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
Gọi A là biến cố: “Trong số 3 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh kết quả học tập Tốt”.
Khi đó 
.
Khối lượng trung bình của 10 quả cầu là:
(kg).
Có 
.
; 
; 
.
Có E(X) = 1p1 + 2p2 + 3p3 
.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập {0; 1; 2; 3}.
Ta có 
.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Không có sản phẩm loại I nào được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Có 1 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Có 2 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 3 là biến cố: “Cả 3 sản phẩm được chọn đều là sản phẩm loại I”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
Do đó 
.
Tính giá trị của biểu thức:
.
Ta có 
.
.Trong Ví dụ 2, đặt E(X) = μ.
.
Ta có 
.
Khi đó 
.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc vì số người trong một gia đình là một giá trị cụ thể có thể là 1, 2, 3 và còn nhiều giá trị khác nữa nhưng vẫn là một tập hữu hạn hoặc đếm được và các giá trị đó ta không đoán trước được.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc và giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2}.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Cả hai con đều là con trai”.
Khi đó P(X = 0) = 0,5.0,5 = 0,25.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Gia đình có 1 trai và 1 gái”.
Xác suất để sinh con gái đầu tiên và con trai thứ hai là: 0,5.0,5 = 0,25.
Xác suất để sinh con trai đầu tiên và con gái thứ hai là: 0,5.0,5 = 0,25.
Do đó P(X = 1) = 0,25 + 0,25 = 0,5.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Gia đình có 2 con gái”.
Khi đó P(X = 2) = 0,5.0,5 = 0,25.
Bảng phân bố xác suất của X là:
X | 0 | 1 | 2 |
P | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Chọn ngẫu nhiên một ngày thứ Bảy trong các ngày thứ Bảy của năm 2022 mà một cửa hàng kinh doanh ô tô có mở cửa hàng. Gọi X là số ô tô mà cửa hàng bán ra trong ngày thứ Bảy đó. Biết rằng bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là:
Tính xác suất để trong ngày thứ Bảy đó cửa hàng bán được:
Đúng 2 chiếc ô tô;
Xác suất để trong ngày thứ Bảy cửa hàng bán được đúng 2 chiếc ô tô là:
P(X = 2) = 0,39.
Chọn ngẫu nhiên một ngày thứ Bảy trong các ngày thứ Bảy của năm 2022 mà một cửa hàng kinh doanh ô tô có mở cửa hàng. Gọi X là số ô tô mà cửa hàng bán ra trong ngày thứ Bảy đó. Biết rằng bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là:
Tính xác suất để trong ngày thứ Bảy đó cửa hàng bán được:
Xác suất để trong ngày thứ Bảy cửa hàng bán được không quá 4 chiếc ô tô là
P = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 = 0,95.
Chọn ngẫu nhiên một ngày thứ Bảy trong các ngày thứ Bảy của năm 2022 mà một cửa hàng kinh doanh ô tô có mở cửa hàng. Gọi X là số ô tô mà cửa hàng bán ra trong ngày thứ Bảy đó. Biết rằng bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là:
Tính xác suất để trong ngày thứ Bảy đó cửa hàng bán được:
Xác suất để trong ngày thứ Bảy cửa hàng bán được nhiều hơn 4 chiếc ô tô là
P = P(X = 5) + P(X = 6) = 0,04 + 0,01 = 0,05.
Học sinh khối 12 của một trường trung học phổ thông được chia thành các nhóm học tập. Chọn ngẫu nhiên một nhóm trong số các nhóm học tập đó. Gọi X là số học sinh trong nhóm được chọn ra. Biết rằng bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là:
Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
E(X) = 1.0,15 + 2.0,2 + 3.0,3 + 4.0,2 + 5.0,1 + 6.0,05 = 3,05.
V(X) = 12.0,15 + 22.0,2 + 32.0,3 + 42.0,2 + 52.0,1 + 62.0,05 – 3,052 = 1,8475.
.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có giá trị thuộc tập {0; 1; 2; 3}.
Ta có 
.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Không có máy tính nào bị lỗi”.
Suy ra 
.
Khi đó 
.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Có 1 chiếc máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn”.
Suy ra 
.
Khi đó 
.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Có 2 chiếc máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn”.
Suy ra 
.
Khi đó 
.
+) Biến cố X = 3 là biến cố: “Có 3 chiếc máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn”.
Suy ra 
.
Khi đó 
.
Bảng phân bố xác suất của X là
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
Gọi A là biến cố: “Trong 4 chiếc máy tính được chọn ra không có chiếc nào bị lỗi”.
Khi đó P(A) = P(X = 0) = 
.
Do đó xác suất để trong 4 chiếc máy tính được chọn ra có ít nhất 1 chiếc bị lỗi là:
.
Có 
.
.
.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập {0; 1; 2; 3}.
Ta có 
.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Không có học sinh nào lớp 12A được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Có 1 học sinh lớp 12A trong số 3 học sinh được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Có 2 học sinh lớp 12A trong số 3 học sinh được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 3 là biến cố: “Cả 3 học sinh lớp 12A được chọn”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
Bảng phân bố xác suất của X là
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
Có 
.
Có 
.
Xác suất để trong số 3 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh lớp 12A là:
.
Có hai nhóm học sinh. Nhóm thứ nhất có 5 nam và 6 nữ. Nhóm thứ hai có 5 nam và 7 nữ. Từ mỗi nhóm học sinh, ta chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi X là số học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn ra.
Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị trong tập {0; 1; 2}.
Ta có: 
.
+) Biến cố X = 0 là biến cố: “Không có học sinh nữ được chọn”.
Khi đó 
.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 1 là biến cố: “Có 1 học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn”.
TH1: Nhóm 1 chọn được học sinh nữ, nhóm 2 chọn được học sinh nam.
Suy ra có 
cách chọn.
TH2: Nhóm 1 chọn được học sinh nam, nhóm 2 chọn được học sinh nữ.
Suy ra có 
cách chọn.
Do đó 
.
+) Biến cố X = 2 là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nữ”.
Suy ra 
.
Do đó 
.
Bảng phân bố xác suất của X là:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
.
.
