ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Hàm số bậc hai
27 câu hỏi
Xác định Parabol (P): y=ax2+bx+2 biết rằng Parabol đi qua hai điểm M(1;5) và N(2;−2).
y=−5x2+8x+2
y=10x2+13x+2
y=−10x2−13x+2
y=9x2+6x−5
Vì nên tọa độ của hai điểm M, N phải thỏa mãn phương trình của (P).
Do đó, ta có hệ phương trình 5=a+b+2−2=4a+2b+2⇔a=−5b=8Vậy phương trình của (P) là: y=−5x2+8x+2Đáp án cần chọn là: A
Xác định Parabol (P): y=ax2+bx+3 biết rằng Parabol có đỉnh I(3;−2).
y=x2−6x+3
y=−59x2+103x+3
y=3x2+9x+3
y=59x2−103x+3
Ta có đỉnh của (P)có tọa độx=−b2a=3y=9a+3b+3=−2⇔6a+b=09a+3b=−5⇔a=59b=−103Suy ra phương trình của Parabol (P) là y=59x2−103x+3Đáp án cần chọn là: D
Xác định Parabol (P): y=ax2+bx−5 biết rằng Parabol đi qua điểm A(3;−4) và có trục đối xứng x = −32
y=118x2+16x−5
y=118x2+16x+5
y=3x2+9x−9
y=−118x2+16x−5
(P) đi qua điểm A(3;−4) nên −4=9a+3b−5⇔9a+3b=1Trục đối xứng x=−b2a=−32⇔b=3aSuy ra hệ phương trình 9a+3b=13a−b=0⇔a=118b=16Vậy phương trình của (P)là y=118x2+16x−5Đáp án cần chọn là: A
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2x2−2x+1−m=0 có hai nghiệm phân biệt
m>12
m=12
m<12
Không tồn tại
2x2−2x+1−m=0⇔2x2−2x=m−1
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của ParabolP: y=2x2−2x và đường thẳng y=m−1 có tính chất song song với trục hoành.Parabol (P) có tọa độ đỉnh −b2a;−Δ4a=12;−12
Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khim−1>−12⇔m>12Đáp án cần chọn là: A
Cho hàm số f(x)=x2+2x−3 Xét các mệnh đề sau: (i) f(x−1)=x2−4(ii) Hàm số đã cho đồng biến trên −1;+∞(iii) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là một số âm.(iv) Phương trình f(x)=m có nghiệm khi m≥−4Số mệnh đề đúng là:
1
2
3
4
Ta có fx−1=x−12+2x−1−3=x2−4Với trục đối xứng x=−b2a=−1 và hệ số a=1>0 thì hàm số đồng biến trên −1; +∞Biến đối fx=x2+2x−3=x+12−4≥−4 ⇒ GTNN của hàm số là −4 < 0Dễ thấy fx=m⇔x+12=m+4 nên để phương trình có nghiệm thìm+4≥0⇔m≥−4Đáp án cần chọn là: D
Tìm các giá trị của m để hàm số y=x2+mx+5 luôn đồng biến trên 1;+∞
m < −2
m ≥ −2
m = −4
Không xác định được
Trục đối xứng x=−b2a=−m2Với hệ số a = 1 > 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên −m2; +∞Vậy để hàm số luôn đồng biến trên 1; +∞ thì −m2≤1⇔m≥−2Đáp án cần chọn là: B
Tìm giá trị của m để hàm số y=−x2+2x+m−5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6
m = 0
m = 10
m = −10
Không xác định được
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=−b2a=1 Khi đó maxy=f1=m−4Để max y=6 thì m−4=6⇔m=10Đáp án cần chọn là: B
Một cái cổng hình parabol có dạng y=−12x2 có chiều rộng d = 4m.
Tính chiều cao h của cổng (xem hình minh họa)
Bước 1:
Gọi hai điểm chân cổng là AxA;yA và BxB;yB thì ta có yA=yB và xA=xB.Vì d = 4 nên xA=xB=2.Bước 2: Tính h
Vậy h=yA=−12xA2=−12.22=2 m.
Viết phương trình của Parabol (P) biết rằng (P) đi qua các điểm A(0;2), B(−2;5), C(3;8)
y=710x2+110x−2
y=710x2−110x+2
y=710x2−110x−2
y=710x2+110x+2
Phương trình (P) có dạng y=ax2+bx+c a≠0Ba điểm A,B,C thuộc (P) nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình (P)
Do đó, ta có hệ phương trình 2=a.02+b.0+c5=a.(−2)2+b.(−2)+c8=a.32+b.3+c⇔a=710b=−110c=2Suy ra phương trình của (P) là: y=710x2−110x+2Đáp án cần chọn là: B
Cho phương trình của (P): y=ax2+bx+ca≠0 biết rằng hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và đồ thị hàm số đi qua các điểm A(2;0), B(−2;−8) Tính tổng a2+b2+c2
a2+b2+c2=3
a2+b2+c2=2916
a2+b2+c2=4829
a2+b2+c2=5a2+b2+c2=20916
Dễ thấy rằng đồ thị của (P) có đỉnh đặt trên đường thẳng y = 1 và hệ số m < 0..
Do đó, phương trình của (P) có dạng y=mx−u2+1 (m<0)(P) đi qua các điểm A(2;0), B(−2;−8) nên có hệ phương trình m(2−u)2+1=0m(−2−u)2+1=−8⇒m=−1(2−u)2m=−9(−2−u)2⇒⇒−12−u2=−9−2−u2⇒u+22=92−u2⇔8u2−40u+32=0⇔u=1u=4⇔u=1m=−1tmu=4m=−14tmTừ đây có hai phương trình (P) thỏa mãn là y=−x2+2x, y=−14x2+2x−3Suy ra a2+b2+c2=5 hoặc a2+b2+c2=20916Đáp án cần chọn là: D
Biết đồ thị hàm số (P): y=x2−(m2+1)x−1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2. Tìm giá trị của tham số mm để biểu thức T=x1+x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
m > 0
m < 0
m = 0
Không xác định được
Dễ thấy rằng phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt vì a.c= 1.−1 < 0
và hai giao điểm có cùng tung độ và có hoành độ đối xứng với nhau qua trục đối xứng x=m2+12Từ đây suy ra T=x1+x2=m2+1≥1 ∀mSuy ra Tmin=x1+x2min=1 và đạt được khi m = 0 .Đáp án cần chọn là: C
Tìm các giá trị của tham số mm để phương trình x2−2(m+1)x+1=0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0;1).
m > 0
m < 0
m = 0
Không xác định được
Có: ∆'=m+12−1=mm+2Phương trình có hai nghiệm phân biệt⇔ m(m+2)>0⇔m>0m<−2Khi đó dạng đồ thị hàm số y=x2−2m+1x+1 chỉ có thể là:
Quan sát đồ thị ta thấy:
Yêu cầu bài toán tương đương f0.f1<0⇔1.−2m<0⇔m>0Kết hợp điều kiện có hai nghiệm phân biệt ta được m > 0
Đáp án cần chọn là: A
Tìm các giá trị của tham số m để 2x2−2(m+1)x+m2−2m+4≥0(∀x)
M = 3
3−2<m<3+2
m≥3+2m≤3−2
Không tồn tại
Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị của m để đồ thị hàm số P:y=2x2−2m+1x+m2−2m+4 luôn nằm phía trên trên trục hoành.Suy ra với giá trị x0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lớn hơn hoặc bằng 0.
Parabol có hệ số a = 2 > 0 nên có bề lõm hướng lên trên đạt GTNN tại đỉnh parabol x=m+12Điều này tương đương với ym+12≥0 ⇔2m+122−2m+1m+12+m2−2m+4≥0⇔12(m2−6m+7)≥0⇔m≥3+2m≤3−2Đáp án cần chọn là: C
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) biết rằng f(x+2)=x2−3x+2 trên ℝ
−14
14
12
0
Đặt t=x+2⇒x=t−2 từ đẳng thức trên ta suy ra
ft=t−22−3t−2+2=t2−7t+12
Suy ra fx=x2−7x+12 =x2−2.72x+722−14=x−722−14≥−14∀x∈RVậy Minfx=−14khi x=72Đáp án cần chọn là: A
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y=x2−2x+m−1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
m=1m=2
m<1m>2
1 < m < 2
Không xác định được
Xét phương trình hoành độ giao điểm x2−2x+m−1=0 ∗Để đồ thị hàm số y=x2−2x+m−1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.⇔Δ'>0S>0P>0⇔1−m+1>02>0m−1>0⇔m<2m>1⇔1<m<2Đáp án cần chọn là: C
Tìm điểm A cố định mà họ đồ thị hàm số y=x2+(2−m)x+3m (Pm) luôn đi qua.
A(3;15)
A(0;−2)
A(3;−15)
A(−3;−15)
Điểm là điểm cố định của họ (Pm) khi và chỉ khi y0=x02+(2−m)x0+3m⇔x02+2x0−y0−m(x0−3)=0,∀m⇔x02+2x0−y0=0x0−3=0⇔x0=3y0=15Suy ra A(3;15).
Đáp án cần chọn là: A
Một chiếc cổng parabol dạng y=−12x2 có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng ?
h = 8m.
h = 7m.
h = 9m.
h = 5m.
Khoảng cách từ chân cổng đến trục đối xứng Oy là 82=4Hoành độ 2 chân cổng là −4 và 4.
Tung độ chân cổng là y=−12.42=−8Chiều cao của cổng là −8=8mĐáp án cần chọn là: A
Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình x2−3x+2=m có bốn nghiệm thực phân biệt.
m≥14
0<m<14
m = 0
Không tồn tại
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=x2−3x+2với đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.
Ta có y=∣x2−3x+2∣=x2−3x+2(x2−3x+2≥0)−x2+3x−2(x2−3x+2<0)Đồ thị hàm số y=x2−3x+2 được vẽ như sau:+ Vẽ đồ thị hàm số y=x2−3x+2 + Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa phần đồ thị dưới trục hoành đi. 
Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi0<m<14Đáp án cần chọn là: B
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 12x2−4x+3=m2có 3 nghiệm thực phân biệt.
m = 3
−3<m<3
m=±3
Không tồn tại
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=12x2−4x+3=12x2−4x+3(x≥0)12x2+4x+3(x<0)và đường thẳng y=m2 có tính chất song song với trục hoành.
Đồ thị hàm số y=12x2−4x+3 được vẽ như sau :+ Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
+ Giữ nguyên nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm y=12x2−4x+3 và xóa nhánh bên trái trục tung.+ Giữ nguyên nhánh bên trái trục tung của đồ thị hàm số y=12x2+4x+3 và xóa nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm số đó.
Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m2=3⇔m=±3Đáp án cần chọn là: C
Tìm các giá trị của m để phương trình x2−2x+4x2−12x+9=m có nghiệm duy nhất.
−34<m<0
−32<m<32
m=−34
Không tồn tại
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=x2−2x+2x−3 và đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.
Đồ thị hàm số y=x2−2x+|2x−3| =x2−2x+2x−3=x2−3(P1) khi x≥32x2−2x−2x+3=x2−4x+3(P2) khi x<32được vẽ như sau:
+ Vẽ lần lượt hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ
+ Xóa đi nhánh bên trái điểm x=32 của đồ thị hàm số y=x2−3
+ Xóa đi nhánh bên phải điểm x=32 của đồ thị hàm số y=x2−4x+3
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (P1) và (P2) là 32;−34Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=−34Đáp án cần chọn là: C
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2b2+b2a2−8ab+ba
−343
4
22
−10
Ta có : ab+ba2=a2b2+2ab.ba+b2a2=a2b2+b2a2+2⇒a2b2+b2a2=ab+ba2−2Biến đổi biểu thức P về dạngP=3ab+ba2−6−8ab+ba=3ab+ba2−8ab+ba−6Đặt t=ab+ba⇒t2=ab+ba2Áp dụng bất đẳng thức x+y2≥4xy ∀x,y với hai số ab và ba ta có: t2=(ab+ba)2≥4ab.ba=4⇔|t|≥2⇔t≥2t≤−2Biểu thức P trở thành P=3t2−8t−6Trục đối xứng x=−b2a=43 và hệ số a=3>0.Suy ra hàm số ft=3t2−8t−6 nghịch biến trên khoảng −∞;43 và đồng biến trên khoảng 43;+∞BBT :
Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2
Ta có f(2 )= −10.
Vậy minP = minf(t) = −10.
Đáp án cần chọn là: D
Đạn bắn ra từ 1 máy bắn đá có quỹ đạo là một parabol (P). Biết rằng đạn của máy bắn đá bắn xa 100m và tại thời điểm đạn cao 60m thì đạn cách điểm bắn 80m.
Vị trí đạn bay cao nhất cách mặt đất bao nhiêu?
95,75m
96,75m
91,75m
93,75m
Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ. Gọi (P):y=ax2+bx+cĐặt hệ trục như hình vẽ. 
Gọi (P):y=ax2+bx+c Ta có (P) qua O(0;0),A(80;60) và B(100;0)⇒c=0802a+80b=601002a+100b=0⇒a=−380b=154⇒(P):y=−380x2+154xBước 2: Tìm đỉnh của (P)
Vị trí đạn bay cao nhất cách mặt đất là yI=−Δ4a=−b2−4ac4a=3754=93,75mĐáp án cần chọn là: D
Đạn bắn ra từ 1 máy bắn đá có quỹ đạo là một parabol (P). Biết rằng đạn của máy bắn đá bắn xa 100m và tại thời điểm đạn cao 60m thì đạn cách điểm bắn 80m.
Máy bắn đá cách tường thành địch 90m. Biết tường thành cao 30m. Hỏi chiều cao khi đạn bay đến tường thành thì cao hơn hay thấp hơn tường thành bao nhiêu mét?
3,75m
33,75m
31,75m
1,75m
(P):y=−380x2+154x
Vì máy bắn đá cách tường thành địch 90 m nên x=90⇒y=33,75(m)>30(m)⇒ đạn pháo cao hơn tường thành 3,75m
Đáp án cần chọn là: A
Đạn bắn ra từ 1 máy bắn đá có quỹ đạo là một parabol (P). Biết rằng đạn của máy bắn đá bắn xa 100m và tại thời điểm đạn cao 60m thì đạn cách điểm bắn 80m.
Địch xây chòi phòng thủ cao 20m phía trước tường thành. Hỏi phải đặt máy bắn đá cách chòi bao xa để đạn có thể bắn trúng chòi? Biết rằng để tránh bị địch tấn công thì máy bắn đá phải đặt cách thành địch ít nhất 50m.
93,35 m
95,35 m
94,35 m
95,85 m
Để máy bắn đá có thể bắn trúng chòi cao 20m thì −380x2+154x=20⇔x=94,35(m)x=5,65(m)(L)Vậy cần đặt máy bắn đá cách chòi 94,35 m để đạn có thể bắn trúng chòi.
Đáp án cần chọn là: C
Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:
Quãng đường | Giá cước (VNĐ/km) |
Từ 0 đến 10 km | 10 000 |
Từ trên 10 km đến 40 km | 15 000 |
Trên 40 km | 12 500 |
Thiết lập công thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và số tiền tương ứng phải trả. Nếu một người đi taxi của hãng X phải trả số tiền xe là 475000VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?
35 km
36 km
37 km
38 km
Bước 1: Lập công thứcf(x)=10000x(0<x≤10)10000⋅10+(x−10)⋅15000(10<x≤40)10000⋅10+15000⋅30+(x−40)⋅12500(x>40)⇔f(x)=10000x(0<x≤10)15000x−50000(10<x≤40)12500x+50000(x>40)Bước 2: Xác định các khoảng của f(x) ứng với các khoảng của x
Để xác định số tiền xe là 475000VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng
Với f(x)=10000x,0<x≤10 thì 0<f(x)≤100000Với f(x)=15000x−50000,10<x≤40 thì 100000<f(x)≤550000Với f(x)=12500x+50000,x>40 thì f(x)>550000Bước 3: Tìm x khi f(x)=475000Vì 100000<475000<550000 nên ứng với số tiền xe ta có: 15000x−50000=475000Người đi xe đã đi được quãng đường là 475000+5000015000=35( km)Vậy người đó đã đi được quãng đường dài 35 km
Đáp án cần chọn là: A
Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:
Quãng đường | Giá cước (VNĐ/km) |
Từ 0 đến 10 km | 10 000 |
Từ trên 10 km đến 40 km | 15 000 |
Trên 40 km | 12 500 |
Một người đi taxi của hãng X từ A đến B, sau đó phải bắt taxi một lần nữa để đi từ B đến C. Biết quãng đường AB trong khoảng từ 10 đến 40 km, quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32 km. Số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường AB. Tính độ dài quãng đường AB.
19 km
20 km
21 km
22 km
Bước 1: Gọi x(km)(10<x<40)là độ dài quãng đường AB.
Vì quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32 km nên quãng đường BC dài
Bước 2: Lập phương trình
Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường AB nên ta có phương trình12500(x+32)+50000=2,8⋅(15000x−50000)⇔x=20(km)Vậy quãng đường AB dài 20 km
Đáp án cần chọn là: B
Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:
Quãng đường | Giá cước (VNĐ/km) |
Từ 0 đến 10 km | 10 000 |
Từ trên 10 km đến 40 km | 15 000 |
Trên 40 km | 12 500 |
Ngày Valentine, hãng X áp dụng chương trình giảm giá 10% cho khách hàng, tối đa 50000VNĐ. Một người đi taxi của hãng X trong dịp này phải trả 360000VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?
10 km
15 km
25 km
30 km
Bước 1: Số tiền chưa được giảm=Số tiền đã trả:(100%-10%)
Nếu không được giảm giá 10% thì người đi xe phải trả số tiền là:360000:(100%−10%)=400000 (đồng)Bước 2: Tìm quãng đường
Vì 100000<400000<550000 nên người đi xe đã đi được quãng đường là:400000+5000015000=30( km)Vậy người đó đã đi được quãng đường dài 30 km
Đáp án cần chọn là: D