ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình

Ta có :

\[{x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.\]

Khi x = y thì\[{x^6} + {x^6} = 27 \Leftrightarrow {x^6} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}\]

Do đó hệ có nghiệm \[\left( { \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}} \right)\]

Khi\[{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy\] ta có \[{x^6} + {y^6} = 27\]\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27 \Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27\]

\[ \Leftrightarrow (3 - xy)(9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\]

\[ \Leftrightarrow xy(2{x^2}{y^2} - 27) = 0\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}}\end{array}} \right.\)

+) Nếu x = 0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = {y^3} - 3y}\\{{y^6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 } \right.\)  nên phương trình có hai nghiệm \[\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\]

+) Nếu y = 0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = 0}\\{{x^6} = 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm\[\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\]

+) Nếu\({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

TH1:\[xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:

\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\] nên ph vô nghiệm.

TH2:  \[xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:

\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\]

Nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: \[x,y \ge 1\]

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \sqrt {y - 1} = 1}\\{2y + \sqrt {x - 1} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0\)

\[ \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \frac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = 0}}\]

\[ \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0\]

Khi x = y thì \[2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x\]  (vô nghiệm do \[x \ge 1\]  thì \[VT \ge 0,VP < 0\])

Khi \[\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \frac{1}{2}\]  thì  \[2x + 2y + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \frac{3}{4}\] (vô nghiệm vì \[x,y \ge 1\])

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

</>

- Khi m = −1 thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{{x^2}y + {y^2}x = 0}\end{array}} \right.\)⇒ hệ có vô số nghiệm ⇒(I) đúng.

- Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = m + 1}\\{{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow xy\left( {m + 1} \right) = 2{m^2} - m - 3\)\[ \Rightarrow xy = 2m - 3\]

\[ \Rightarrow {S^2} - 4P = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 13 >0,\forall m\]đúng

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

- Trừ vế cho vế của phương trình (1) cho (2) ta được :\[{x^2} + {y^2} - y = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\]

- Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ge 0,\forall x}\\{{y^2} - y + 1 = {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4} >0,\forall y}\end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 >0,\forall x,y} \right.\)

Do đó phương trình \[{x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\]vô nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị của xy.

Đáp án cần chọn là: D

Cách 1:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{{x^2} - {y^2} = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{{x^2} - {{(x - 5)}^2} = 15}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{10x - 25 = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x - 5}\\{x = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Cách 2

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{{x^2} - {y^2} = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{x + y = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 11}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x + 4y = 44}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{13x = 52}\\{5x - 4y = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x; y) = (4; 3).

Đáp án cần chọn là: A

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 6}\\{\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = - 2}\end{array}} \right.(x;y \ne 0)\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} = a}\\{\frac{1}{y} = b}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a - 6b = 6}\\{2a - b = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2}\\{b = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{y = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow x + y = - 1} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y\left( 1 \right)}\\{{y^2} = 3y - x\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:

 \[{x^2} - {y^2} = 4x - 4y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x}\\{y = 4 - x}\end{array}} \right.\]TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y}\\{y = x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x = 0}\\{y = x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y = 0}\\{x = y = 2}\end{array}} \right.\)

TH2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 3x - y}\\{y = 4 - x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4x + 4 = 0}\\{y = 4 - x}\end{array} \Leftrightarrow x = y = 2} \right.\)

Vậy hệ có hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[|a - b| = 3\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\]Khi viết ngược lại ta có:\[10b + a = \frac{4}{5}\left( {10a + b} \right) - 10 \Leftrightarrow 35a - 46b = 50\]Xét hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b = 3}\\{35a - 46b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 8}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

Hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = 3}\\{35a - 46b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{{188}}{{11}}}\\{b = - \frac{{155}}{{11}}}\end{array}} \right.\) (loại).

Với\[a = 8,b = 5,{a^2} + {b^2} = 89\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2x + y)}^2} - 5(4{x^2} - {y^2}) + 6(4{x^2} - 4xy + {y^2}) = 0\left( 1 \right)}\\{2x + y + \frac{1}{{2x - y}} = 3\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{x^2} + 12{y^2} - 20xy = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x - 3y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{2x = 3y}\end{array}} \right.\]

Với x = y ta có\[\left( 2 \right) \Rightarrow 3x + \frac{1}{x} = 3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 1 = 0\] phương trình vô nghiệm.

Với 2x = 3y ta có \[\left( 2 \right) \Rightarrow 4y + \frac{1}{{2y}} = 3 \Leftrightarrow 8{y^2} - 6y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2}}\\{y = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\]

Với\[y = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{8}\left( {KTM} \right)\]Với \[y = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{4}\left( {TM} \right) \Rightarrow P = 1\]

Đáp án cần chọn là: A

Kí hiệu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my - z = 1\left( 1 \right)}\\{2x - my - 2z = 2\left( 2 \right)}\\{x - (m + 4)y - z = 1\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy (1) − (3) vế với vế ta được\[\left( {3m + 4} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = 0\]  (do \[m \ne 0; - \frac{4}{3})\]Khi đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 1}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)

Ta có \[T = 2017x - 2018y - 2017z = 2017\left( {x - z} \right) = 2017\]Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Có:\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0\] ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số, giải x theo y ta được\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3y - 9}\\{x = y + 1}\end{array}} \right.\)

Với x = −3y – 9 thì (∗)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3y - 9 \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le - \frac{2}{3}}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

Với \[x = y + 1 \Leftrightarrow y = x - 1\] thì

\[\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3x - 2} + 14 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right)^2} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt {3x - 2} }\\{\sqrt {x + 7} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\)  (thỏa mãn) ⇒y = 1 (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là \[\left( {2;\,1} \right) \Rightarrow a = 2,b = 1 \Rightarrow T = 24\]

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện\[y \ne 0\]

Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{x}{y} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x\left( {\frac{x}{y} + 1} \right) = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và x, y là số nguyên nên y là ước của x.

Từ (2) ta có x là ước của 12.

+ \[x = \pm 1\] thì \[\frac{{ \pm 1}}{y} + 1 = \pm 12\] (loại).

+ \[x = \pm 2\] thì \[\frac{{ \pm 2}}{y} + 1 = \pm 6\] (loại).

+ x = 3 thì\[\frac{3}{y} + 1 = 4 \Leftrightarrow y = 1\] (thỏa mãn) ⇒xy = 3.

+ x = −3 thì\[ - \frac{3}{y} + 1 = - 4\] (loại)

+ x = 4 thì\[\frac{4}{y} + 1 = 3 \Leftrightarrow y = 2\]( loại vì không thỏa mãn (1).

+ x = −4 thì \[ - \frac{4}{y} + 1 = - 3 \Leftrightarrow y = 1\] (loại vì không thỏa mãn (1).

+ x = 6 thì \[\frac{6}{y} + 1 = 2 \Leftrightarrow y = 6\]  (loại vì không thỏa mãn (1)).

+ x = −6 thì \[ - \frac{6}{y} + 1 = - 2 \Leftrightarrow y = 2\] (loại vì không thỏa mãn (1)).

+ x = 12 thì\[\frac{{12}}{y} + 1 = 1\] vô nghiệm.

+ x = −12  thì \[ - \frac{{12}}{y} + 1 = - 1 \Leftrightarrow y = 6\] (loại vì không thỏa mãn (1)).

Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên x = 3; y = 1 nên xy = 3.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

\({x^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| = 0}\\{\left| x \right| = - 2\,\,\,(loai)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Thế vào phương trình thứ hai ta được\[{y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1\]

Vậy \[{x^2} + {y^2} = 0 + 1 = 1\]

Đáp án cần chọn là: A