ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hàm số bậc hai
27 câu hỏi
Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây là trục đối xứng của parabol y=−2x2+5x+3.
x=52
x=−52
x=54
x=−54
Ta có:
−b2a=−52.(−2)=54
Trục đối xứng là đường thẳng: x=54.Đáp án cần chọn là: C
Đỉnh I của parabol (P): y=-3x2+6x−1 là:
I(1;2)
I(3;0)
I(2;−1)
I(0;−1)
Ta có:
−b2a=−62.(−3)=−6−6=1−Δ4a=−(b2−4ac)4a=−62+4.(−3).(−1)4.(−3)=−36+12−12=−24−12=2.
Suy ra đỉnh của Parabol là: I(1;2)
Đáp án cần chọn là: A
Biết parabol (P):y=ax2+2x+5 đi qua điểm A(2;1). Giá trị của aa là:
a = -5
a = -2
a = 2
Một đáp số khác
Parabol đi qua điểm A(2;1) nên ta có:4a + 4 + 5 = 1 ⇔ 4a = −8 ⇔ a = −2
Đáp án cần chọn là: B
Đỉnh của parabol y=x2+x+mnằm trên đường thẳng y=34nếu m bằng:
Một số tùy ý
3
5
1
Yêu cầu bài toán
⇔−b2+4ac4a=34⇔−1+4m4=34⇔4m=4⇔m=1
Đáp án cần chọn là: D
Bảng biến thiên của hàm số y=–x2+2x–1là:
Ta có:
a=−1<0;−b2a=−22.(−1)=−2−2=1
y(1)=−12+2.1−1=0
Suy ra bảng biến thiên:
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số y=f(x)=ax2+bx+c. Rút gọn biểu thức f(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)ta được:
ax2–bx–c
ax2+bx–c
ax2–bx+c
ax2+bx+c
Ta có:
f(x+3)=a(x+3)2+b(x+3)+cf(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+cf(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
⇒f(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)
=a(x+3)2+b(x+3)+c−3a(x+2)2−3b(x+2)−3c+3a(x+1)2+3b(x+1)+3c
=x2(a−3a+3a)+x(6a+b−12a−3b+6a+3b)+(9a+3b+c−12a−6b−3c+3a+3b+3c)
=ax2+bx+c
Đáp án cần chọn là: D
Tìm tọa độ giao điểm của hai parabol: y=12x2−xvà y=−2x2+x+12là:
13;−1
2;0;−2;0
1;−12,−15;1150
−4;0;1;1
Trả lời:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol :
12x2−x=−2x2+x+12⇔5x2−4x−1=0
⇔(x−1)(5x+1)=0⇔x=1x=−15
⇔x=1y=12.12−1=−12x=−15y=12.−152−−15=1150
Tọa độ giao điểm 1;−12;−15;1150
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số y=−x2+2x+1.. Gọi M và m là giá trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0;2]. Tính giá trị của biểu thức T=M2+m2.
5
5
1
3
Hàm số y=−x2+2x+1có a=−1<0 ; −b2a=1⇒Hàm số đồng biến trên −∞;1và nghịch biến trên 1;+∞
BBT:
![Cho hàm số . Gọi M và m là giá trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0;2]. Tính giá trị của biểu thức . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1652760013/1652760196-image50.png)
Dựa vào BBT ta thấy M = 2 vàm=1⇒T=M2+m2=22+12=5.
Đáp án cần chọn là: A
Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất tại x=34?
y=4x2−3x+1
y=−x2+32x+1
y=−2x2+3x+1
y=x2−32x+1
Trả lời:
Hàm số đạt GTNN nếu a >0 nên loại phương án B và C.
Phương án A: Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x=−b2a=38nên loại.
Còn lại chọn phương án D.
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=fx=−x2+4x+2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
y giảm trên 2;+∞
y giảm trên −∞;2
y tăng trên 2;+∞
y tăng trên −∞;2.
Ta có a = −1 < 0 nên hàm số y tăng trên −∞; 2và y giảm trên 2; +∞nên chọn phương án A.
Đáp án cần chọn là: A
Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng −∞;0?
y=2x2+1
y=−2x2+1
y=2x+12
y=−2x+12
Đáp án A: a=2>0và −b2a=0nên hàm số nghịch biến trên −∞;0
Đáp án B: a=−2<0và −b2a=0nên hàm số đồng biến trên −∞;0
Đáp án C: y=2x2+2x+1=2x2+22x+2có a=2>0 và −b2a=−1nên hàm số nghịch biến trên −∞;−1nhưng −∞;0⊄−∞;−1 nên hàm số không nghịch biến trên −∞;0
Đáp án D: y=−2x2+2x+1=−2x2−22x−2có a=−2<0và −b2a=−1nên hàm số nghịch biến trên −1;+∞
Vậy chỉ có đáp án A đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
y=−x+12
y=−x−12
y=x+12
y=x−12
- Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) nên loại A và C.
- Bề lõm hướng xuống dưới nên a < 0.
Đáp án cần chọn là: B
Giao điểm của parabol P:y=x2+5x+4 với trục hoành:
(−1;0) ; (−4;0).
(0;−1);(0;−4).
(−1;0) ;(0;−4).
(0;−1);(−4;0).
- Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2+5x+4=0
- Phương trình có hai nghiệm x1=−1;x2=−4nên các giao điểm là (−1;0),(−4;0).
Đáp án cần chọn là: A
Khi tịnh tiến parabol y=2x2sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số:
y=2x+32
y=2x2+3
y=2x2−3
y=2x−32
Tịnh tiến đồ thị hàm số y=2x2sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y=2.x+32.
Đáp án cần chọn là: A
Tìm giá trị thực của tham số m≠0 để hàm số y=2.x+32có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên R.
m=1
m=2
m=−2
m=−1
Ta có x=−b2a=2m2m=1suy ra y=−4m−2
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10
⇔m>0−4m−2=−10⇔m=2
Đáp án cần chọn là: B
Nếu hàm số y=ax2+bx+ccó a < 0,b >0 và c >0 thì đồ thị của nó có dạng:
+ a < 0 nên loại đáp án A, B.
+ c >0 nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.
Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì b >0, a < 0 nên hoành độ đỉnh −b2a>0và đáp án D thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Cho parabol (P): y=−3x2+6x−1. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là:
(P) có đỉnh I(1;2)
(P) có trục đối xứng x = 1
(P) cắt trục tung tại điểm A(0;−1)
Cả a,b,c, đều đúng.
- Ta có a = − 3< 0 và x=−b2a=1⇒I(1,2)
- Đường thẳng x = 1 là trục đối xứng.
- Đồ thị hàm số cắt trục Oy ⇒ x = 0 ⇒ y = −1
Đáp án cần chọn là: D
Cho parabol (P):y=ax2+bx+2 biết rằng parabol đó cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ x1=1và x2=2. Parabol đó là:
y=12x2+x+2
y=−x2+2x+2
y=2x2+x+2
y=x2−3x+2
- Parabol (P)cắt Ox tại A(1;0), B(2;0).
- Khi đó
A∈(P)B∈(P)⇒a+b+2=04a+2b+2=0⇔a+b=−22a+b=−1⇔a=1b=−3
Vậy P:y=x2−3x+2
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=ax2+bx+c(a<0) có đồ thị (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng −b2a;+∞
Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;−b2a
Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng x=−b2a
Hàm số y=ax2+bx+c(a<0)đồng biến trên khoảng −∞;−b2a và nghịch biến trên khoảng −b2a;+∞Nên A, B sai.
Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành nên C sai.
Đồ thị hàm số y=ax2+bx+ca≠0có trục đối xứng là đường thẳng x=−b2anên D đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=ax2+bx+c, a≠0,biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên ℝ bằng 4 khi x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?
y=x2+2x−3
y=−2x2−4x+2
y=−x2−2x+1
y=−x2−2x+3
Hàm số y=ax2+bx+c, a≠0là hàm số bậc 2 nên có đỉnh I−b2a;−Δ4aVì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 
bằng 4 khi x = −1 nên đồ thị hàm số có đỉnh I(−1;4) và a < 0.
⇒−b2a=−1f−1=4⇔b=2aa−b+c=4⇔b=2aa−2a+c=4⇔b=2ac=4+a
Xét phương trình: y=0⇔ax2+bx+c=0có hai nghiệm x1; x2⇔Δ>0⇔b2−4ac>0.
Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=−bax1x2=ca
Theo đề bài ta có: x12+x22=10⇔x1+x22−2x1x2=10
⇔−ba2−2ca=10
⇔−2aa2−2ca=10
⇔4a−2c=10a
⇔6a+2c=0
⇔6a+2(4+a)=0
⇔6a+2a+8=0
⇔a=−1(tm)
⇒b=−2c=3
⇒y=−x2−2x+3
Đáp án cần chọn là: D
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Vận tốc của vật tại thời điểm 2 giờ 30 phút sau khi vật bắt đầu chuyển động gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
8,7(km/h).
8,8(km/h).
8,6(km/h).
8,5(km/h).
Vì vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của parabol nên ta có hàm số v=f(t)=at2+bt+c a≠0
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: tại thời điểm t = 0, v = 4 ⇒a.02+b.0+c=4⇒c=4
Đồ thị hàm số có đỉnh I(2;9)⇒
−b2a=2f1=9⇔b=−4aa.22+b.2+4=9
⇔4a+b=04a+2b=5⇔a=−54b=5
⇒v=−54t2+5t+4
Tại lúc 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ vận tốc đạt được là:
v2,5=−54.2,52+5.2,5+4=8,6875 km/h≈8,7 km/h
Đáp án cần chọn là: A
Một vật được ném lên trên cao và độ cao của nó so với mặt đất được cho bởi công thức h(t)=3+10t−2t2(m), với t là thời gian tính bằng giây (s) kể từ lúc bắt đầu ném. Độ cao cực đại mà vật đó có thể đạt được so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?
Ta có ht=3+10t−2t2có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại t=−102.−2=52
Vậy maxht=h52=312 m
Parabol y=ax2+bx+c đạt cực tiểu bằng 4 tại x = −2 và đi qua A(0;6) có phương trình là:
y = … x2+ … x + ….
Parabol y=ax2+bx+cđạt cực đại bằng 4 khi x = −2 ⇒ parabol có đỉnh I(−2;4)
Lại có parabol đi qua điểm A(0;6) nên ta có: 4a−2b+c=4c=6−b2a=−2⇔a=12b=2c=6
Vậy parabol đã cho có hàm số y=12x2+2x+6.
Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y=2x2−mx+m đồng biến trên khoảng 1;+∞ là
(−∞;4]
(−∞;2]
[2;+∞)
[4;+∞)
Hàm số y=2x2−mx+mđồng biến trên m4;+∞nên để hàm số đồng biến trên 1;+∞ thì 1;+∞⊂m4;+∞
⇒m4≤1⇔m≤4
Vậy m∈−∞;4
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−1 là:
Đồ thị hàm số y=−x2+4x−1 có đỉnh I(2;3) và có hệ số a < 0 ⇒Hàm số đạt GTLN bằng 3 khi x = 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+2x+m−5 là:
Bước 1: Xác định hệ số a
Ta có a = −1 < 0
Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=−b2a=1
Bước 2: Tìm giá trị của hàm số tại x=−b2atìm m.
Khi đó Maxy=f1=m−4
Để Maxy = 6 thì m – 4 = 6 ⇔ m = 10
Ký hiệu M và m tương ứng là GTLN và GTNN của hàm số y=x2−2x+5 trên miền 2;7. Biết rằng M = km. Tìm k?
Bước 1:
Xét hàm số y=x2−2x+5trên 2; 7ta có BBT:
Đỉnh của đồ thị hàm số y=x2−2x+5là I(1;4)
Ta thấy 1∉[2;7]Ta lập bảng biến thiên:
Bước 2:
Dựa vào BBT ta có: M=Max2; 7y=40 khi x = 7 và m=Min2; 7y=5 khi x = 2.
⇒M = 8m
