ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Hàm số bậc hai

Ta có a = −1 < 0 nên hàm số y tăng trên $\left(-\infty ;2\right)$và y giảm trên $\left(2;+\infty \right)$nên chọn phương án A.

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án A: $a=\sqrt{2}>0$và $-\frac{b}{2a}=0$nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

Đáp án B: $a=-\sqrt{2}<0$và $-\frac{b}{2a}=0$nên hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

Đáp án C: $y=\sqrt{2}\left(x^2+2x+1\right)=\sqrt{2}{x}^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}$có $a=\sqrt{2}>0$ và $-\frac{b}{2a}=-1$nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$nhưng $\left(-\infty ;0\right)\not\subset \left(-\infty ;-1\right)$ nên hàm số không nghịch biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

Đáp án D:  $y=-\sqrt{2}\left(x^2+2x+1\right)=-\sqrt{2}{x}^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{2}$có $a=-\sqrt{2}<0$và $-\frac{b}{2a}=-1$nên hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

Vậy chỉ có đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) nên loại A và C.

- Bề lõm hướng xuống dưới nên a < 0.

Đáp án cần chọn là: B

- Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+5x+4=0$

- Phương trình có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-4$nên các giao điểm là (−1;0),(−4;0).

Đáp án cần chọn là: A

Tịnh tiến đồ thị hàm số $y=2x^2$sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số $y=2.{\left(x+3\right)}^2$.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m}{2m}=1$suy ra $y=-4m-2$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −10

$\iff \left\{\begin{array}{c}m>0\\ -4m-2=-10\end{array}\right.\iff m=2$

Đáp án cần chọn là: B

+ a < 0  nên loại đáp án A, B.

+ c >0  nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.

Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì b >0, a < 0 nên hoành độ đỉnh $-\frac{b}{2a}>0$và đáp án D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

- Ta có a = − 3< 0 và $x=-\frac{b}{2a}=1\Rightarrow I(1,2)$

- Đường thẳng x = 1 là trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy ⇒ x = 0 ⇒ y = −1

Đáp án cần chọn là: D

- Parabol (P)cắt Ox tại A(1;0), B(2;0).

- Khi đó

$\left\{\begin{array}{c}A\in \left(P\right)\\ B\in \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a+b+2=0\\ 4a+2b+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a+b=-2\\ 2a+b=-1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=-3\end{array}\right.\right.$

Vậy $\left(P\right):y=x^2-3x+2$

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c(a<0)$đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành nên C sai.

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$là hàm số bậc 2 nên có đỉnh $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\text{Δ}}{4a}\right)$Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên bằng 4 khi x = −1 nên đồ thị hàm số có đỉnh I(−1;4) và a < 0.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\frac{-b}{2a}=-1\\ f\left(-1\right)=4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ a-b+c=4\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ a-2a+c=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ c=4+a\end{array}\right.$

Xét phương trình: $y=0\iff a{x}^2+bx+c=0$có hai nghiệm $x_1;x_2\iff \text{Δ}>0\iff b^2-4ac>0.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có:  $x_1^2+x_2^2=10\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=10$

$\iff {\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-\frac{2c}{a}=10$

$\iff {\left(-\frac{2a}{a}\right)}^2-\frac{2c}{a}=10$

$\iff 4a-2c=10a$

$\iff 6a+2c=0$

$\iff 6a+2(4+a)=0$

$\iff 6a+2a+8=0$

$\iff a=-1\left(tm\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=-x^2-2x+3$

Đáp án cần chọn là: D

Vì vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của parabol nên ta có hàm số $v=f\left(t\right)=a{t}^2+bt+c\left(a\ne 0\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: tại thời điểm t = 0, v = 4 $\Rightarrow a{.0}^2+b.0+c=4\Rightarrow c=4$

Đồ thị hàm số có đỉnh I(2;9)⇒

$\left\{\begin{array}{c}\frac{-b}{2a}=2\\ f\left(1\right)=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=-4a\\ a{.2}^2+b.2+4=9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}4a+b=0\\ 4a+2b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{-5}{4}\\ b=5\end{array}\right.$

$\Rightarrow v=-\frac{5}{4}{t}^2+5t+4$

Tại lúc 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ vận tốc đạt được là:

$v\left(2,5\right)=\frac{-5}{4}.2,5^2+5.2,5+4=8,6875\left(km/h\right)\approx 8,7\left(km/h\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $h\left(t\right)=3+10t-2t^2$có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại $t=\frac{-10}{2.\left(-2\right)}=\frac{5}{2}$

Vậy $\max h\left(t\right)=h\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{31}{2}\left(m\right)$

Hàm số $y=2x^2-mx+m$đồng biến trên $\left(\frac{m}{4};+\infty \right)$nên để hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$ thì  $\left(1;+\infty \right)\subset \left(\frac{m}{4};+\infty \right)$

$\Rightarrow \frac{m}{4}\le 1\iff m\le 4$

Vậy  $m\in \left(-\infty ;4\right]$

Đáp án cần chọn là: A

Đồ thị hàm số $y=-x^2+4x-1$ có đỉnh I(2;3) và có hệ số a < 0 ⇒ Hàm số đạt GTLN bằng 3 khi x = 2.

Bước 1: Xác định hệ số a

Ta có a = −1 < 0

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{b}{2a}=1$

Bước 2: Tìm giá trị của hàm số tại $x=-\frac{b}{2a}$tìm m.

Khi đó $Maxy=f\left(1\right)=m-4$

Để Maxy = 6 thì m – 4 = 6 ⇔ m = 10

Bước 1:

Xét hàm số $y=x^2-2x+5$trên $\left[2;7\right]$ta có BBT:

Đỉnh của đồ thị hàm số $y=x^2-2x+5$là I(1;4)

Ta thấy $1\notin [2;7]$Ta lập bảng biến thiên:

Bước 2:

Dựa vào BBT ta có: $M=\underset{\left[2;7\right]}{Max}y=40$ khi x = 7 và $m=\underset{\left[2;7\right]}{Min}y=5$ khi x = 2.

⇒M = 8m