ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Giới hạn của hàm số
16 câu hỏi
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giới hạn L khi \[x \to {x_0}\;\] kí hiệu là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to L} f\left( x \right) = {x_0}\]
Hàm số\[y = f\left( x \right)\] có giới hạn là số L khi x dần tới x0 kí hiệu là\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]
Đáp án cần chọn là: C
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \] là:
\[\frac{1}{5}.\]
\[\sqrt 5 .\]
\[\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\]
5
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{9{x^2} - x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \]
\[ = \sqrt {\frac{{{{9.3}^2} - 3}}{{\left( {2.3 - 1} \right)\left( {{3^4} - 3} \right)}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
Giả sử \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\] khi đó:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L - M\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = M + L\]
Giả sử\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\] Khi đó:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\]
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\] là:
0.
1.
2.
3.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 4} \right| = 1\]
Đáp án cần chọn là: B
Số L là giới hạn phải của hàm số y=f(x) kí hiệu là:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\]
Số L là: + giới hạn bên phải của hàm số\[y = f\left( x \right)\] kí hiệu là\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\]
+ giới hạn bên trái của hàm số \[y = f\left( x \right)\] kí hiệu là\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\]
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\] là:
1.
\[ - \infty .\]
0.
\[ + \infty .\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty }\\{\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } (\frac{1}{{{x^2}}} - 1 + {{\frac{1}{{x3}}}^{}}) = - 1 < 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=f(x) có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]. Chọn đáp án đúng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - L\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\]
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\]
Đáp án cần chọn là: A
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}}\] là:
\[ - \infty .\]
\[ + \infty .\]
\[ - \frac{{15}}{2}.\]
1
Vì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 15) = - 13 < 0}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0}\\{x - 2 >0,\forall x >2}\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \)
Đáp án cần chọn là: A
Chọn đáp án đúng: Với c,k là các hằng số và k nguyên dương thì:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\] nên đáp án A đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Chọn mệnh đề đúng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty \]
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\] là:
0.
\[ + \infty .\]
\[\sqrt 2 - 1.\]
\[ - \infty .\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = + \infty \]
vì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 = 2 >0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[n = 2k + 1,k \in N\]. Khi đó:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = + \infty \]
Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \] nếu k chẵn và\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \] nếu k lẻ.
Do đó, vì \[n = 2k + 1,k \in N\] là số nguyên dương lẻ nên\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x}}{{\sqrt {1 - x} }}khi\,x < 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 1} \,khi\,x \ge 1}\end{array}} \right.\). Khi đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\] là:
\[ + \infty .\]
2.
4.
\[ - \infty .\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {3{x^2} + 1} = \sqrt {{{3.1}^2} + 1} = 2\]
Đáp án cần chọn là: B
Khẳng định nào sau đây Sai?
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right) = - \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 3}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty }\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho đa thức f(x) thỏa mãn \[\frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} = 12\]. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}\]
Bước 1:
Đặt\[g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2\]
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\]
Bước 2:
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x - 1}}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}}\\{ = 12.\frac{1}{{2.\left( {2 + 1} \right)}} = 2}\end{array}\]
Cho f(x) là đa thức thỏa mãn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}\]. Tính \[\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\]
\[T = \frac{{12}}{{25}}.\]
\[T = \frac{4}{{25}}.\]
\[T = \frac{4}{{15}}.\]
\[T = \frac{6}{{25}}.\]
Bước 1:
Đặt \[g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}}\] ta có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 10\] và\[f\left( x \right) - 20 = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {g\left( x \right)\left( {x - 2} \right) + 20} \right] = 10.\left( {2 - 2} \right) + 20 = 20\]
Bước 2:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{6f(x) + 5 - 125}}{{(x - 2)(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{6[f(x) - 20]}}{{(x - 2)(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 20}}{{x - 2}}.\frac{6}{{(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f(x) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f(x) + 5}} + 25} \right]}}\\ = 10.\frac{6}{{(x + 3)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6.20 + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6.20 + 5}} + 25} \right]}} = \frac{4}{{25}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
