Đề thi Toán ĐGNL Đại học Sư phạm Hà Nội 2025 có đáp án
25 câu hỏi
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + m}}{{x - 1}}\] tiệm cận đứng. Khi đó tập hợp S bằng
R\{1}.
R\{0}.
R\{-1}.
R.
A. R\{1}.
\[\frac{{{a^3}}}{{12}}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{3}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{4}.\]
\[\frac{{2{a^3}}}{3}.\]
\[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
\[AD \bot \left( {SAB} \right)\]
\[SA \bot AC\]
\[SA \bot BC\]
1.
2.
0.
3.
D. 3.
4π cm3.
6π cm3.
8π cm3.
16π cm3.
\[\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 0.\]
\[\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 0.\]
\[\frac{x}{1} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1.\]
\[\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = - 1.\]
D. \[\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = - 1.\]
{1}.
\[\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]
{0}.
\[\left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\]
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2025, công bội q. Đặt \[S = 4{u_2} + 5{u_3}\]. Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của q là
- 2025.
\[\frac{4}{5}\]
\[\frac{2}{5}\]
\[\frac{{ - 2}}{5}\]
D. \[\frac{{ - 2}}{5}\]
\[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right).\]
\[\left( {1; + \infty } \right).\]
\[\left( {1;\frac{3}{2}} \right).\]
\[\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right).\]
Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là S1 = 10 và S2 = 3. Giá trị của \[\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx\] bằng
![Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là S1 = 10 và S2 = 3. Giá trị của \[\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx\] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid0-1750473837.png)
7.
– 7.
5.
13.
\[\left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
0,14.
0,44.
0,76.
0,9.
Chọn ngẫu nhiên một công ty trong các công ty đó. Xác suất để công ty được chọn ra có chi phí trung bình của ba hạng mục lớn hơn 154 tỉ đồng là
\[\frac{1}{4}\]
\[\frac{1}{2}\]
\[\frac{2}{3}\]
\[\frac{3}{4}\]
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
(1:2).
\[\left( { - \infty ;1} \right)\]
(0:1).
(-1;0).
- 1.
1.
- 4.
4.
Hàm số \[f\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\] có một nguyên hàm là
\[{F_1}\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}.\]
\[{F_3}\left( x \right) = x + \frac{2}{{{x^3}}}.\]
\[{F_4}\left( x \right) = \frac{2}{x}.\]
\[{F_2}\left( x \right) = x + \frac{1}{x}.\]
D. \[{F_2}\left( x \right) = x + \frac{1}{x}.\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai trạm phát sóng wifi với ranh giới vùng phủ sông của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu
\[\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 22725;\left( {{S_2}} \right):{\left( {x - 1005} \right)^2} + {\left( {y - 219} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 22725.\]
Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ (Oxy), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.
a) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ nhất là hình tròn (C1) có bán kính bằng 150 m.
b) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ hai là hình tròn (C2) có bản kính bằng 150 m. c) Khoảng cách giữa tâm của hình tròn (C1) và tâm của hình tròn (C2) bằng 1020 m.
d) Giả sử có một thiết bị (coi như một điểm) di chuyển trên mặt đất với tốc độ 1,5 m/giây. Thời gian ít nhất cần phải có để thiết bị đó di chuyển trên mặt đất từ một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ nhất đến một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ hai là 480 giây.
Câu hỏi | Ý a) | Ý b) | Ý c) | Ý d) |
1 | Đúng | Đúng | Sai | Sai |
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = 6 cm và một dây cung CD song song với AB. Quay hình thang ABDC quanh đường thẳng AB để tạo thành chi tiết máy. có dạng khối tròn xoay.
![Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = 6 cm và một dây cung CD song song với AB. Quay hình thang ABDC quanh đường thẳng AB để tạo thành chi tiết máy. có dạng khối tròn xoay. Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử D(a;b) với 0 < a < 3. a) Ta có \[{a^2} + {b^2} = 36\]. b) Phương trình đường thẳng BD là \[y = \frac{b}{{a - 3}}\left( {x - 3} \right).\] c) Thể tích chi tiết máy là \[V = \pi \left( {\int\limits_0^a {{b^2}dx + \int\limits_a^3 {\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} } } \right)\left( {c{m^3}} \right).\] d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm3. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid1-1750474242.png)
Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử D(a;b) với 0 < a < 3.
a) Ta có \[{a^2} + {b^2} = 36\].
b) Phương trình đường thẳng BD là \[y = \frac{b}{{a - 3}}\left( {x - 3} \right).\]
c) Thể tích chi tiết máy là \[V = \pi \left( {\int\limits_0^a {{b^2}dx + \int\limits_a^3 {\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} } } \right)\left( {c{m^3}} \right).\]
d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm3.
Câu hỏi | Ý a) | Ý b) | Ý c) | Ý d) |
2 | Sai | Đúng | Sai | Sai |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0\]. Xét hai điểm M,N thuộc (S) sao cho MN = 8 và ON2 – OM2 = 112. Hỏi khoảng cách từ điểm 0 đến đường thẳng MN bằng bao nhiêu?
Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng 40 cm3. Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích của tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
77
Bác Dũng gửi tiết kiệm vào một tài khoản ngân hàng theo kì hạn 1 tháng. Biết rằng số tiền trong tài khoản sau x tháng (\[x \in N*\]) được tính bằng công thức \[f\left( x \right) = 50.{\left( {1,004} \right)^x}\] (triệu đồng) và bác Dũng không rút tiền khỏi ngân hàng trong suốt quá trình gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, số tiền trong tài khoản đó của bác Dũng vượt quá 52 triệu đồng?
10
Từ giả thiết ta được
\[P\left( A \right) = 0,4;P\left( {\overline A } \right) = 0,6;P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0,45;P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,4.\]Ta có:
\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 0,4.0,4 + 0,6.0,45 = 0,43.\]Do đó: \[P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,4}}{{0,43}} = \frac{{16}}{{43}} \approx 0,37\]
Ghi chú: Nếu học sinh sử dụng công thức
\[P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {\overline A } \right)}}\] và tính được kết quả đúng thì cho 0,5 điểm.![Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, \[\widehat {BAD} = 120^\circ \], cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid2-1750474584.png)
Vẽ hình bình hành ACBE,ta có AC//(SBE) nên
d(AC,SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE)).Từ giả thiết và cách vẽ ta có:
Tam giác ABE là tam giác đều \[ \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
Tam giác ABC là tam giác đều \[ \Rightarrow AC = AB = a.\]
Tam giác SAC vuông cân tại A \[ \Rightarrow SA = AC = a.\]Xét tam giác SAF vuông ở A, đường cao AH, ta có
\[AH = \frac{{SA.AF}}{{SF}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{3}{4}{a^2}} }} = a\sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\]Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên.
![Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên. Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)\]. Xét hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x + 2} \right)^2},x \in \left[ { - 2;3} \right]\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1750474753.png)
Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)\].
Xét hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x + 2} \right)^2},x \in \left[ { - 2;3} \right]\].
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1.
![Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên. Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)\]. Xét hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x + 2} \right)^2},x \in \left[ { - 2;3} \right]\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid3-1750474635.png)
Ta có \[g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2(x + 2),x \in \left[ { - 2;3} \right].\]
Vẽ đường thẳng y = x + 2 và dựa vào đồ thị, ta có:
\[g'\left( x \right) = 0\] trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\] tại \[x \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}.\]
Từ giả thiết ta có \[g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right);g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right).\]
Ta có bảng biến thiên:
Ta có: \[\int_{ - 2}^0 {\left( {f'\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right)} dx > \int_0^3 {\left( {x + 2 - f'\left( x \right)} \right)} dx\]
\[ \Rightarrow \int_{ - 2}^0 {g'\left( x \right)} dx > \int_0^3 {\left( { - g'\left( x \right)} \right)} dx \Rightarrow g\left( 0 \right) - g\left( { - 2} \right) > g\left( 0 \right) - g\left( 3 \right)\]