Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Xuân La_Quận Tây Hồ_TP. Hà Nội

1) Tần số ghép nhóm $\left[9;10\right)$ của nhóm là 6 .

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[9;10\right)$ là $\frac{6}{50}\cdot 100\mathrm{\%}=12\mathrm{\%}.$

Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...;\,\,19;\,\,20} \right\}.\]

Không gian mẫu có 20 phần tử.

Có \[6\] kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là \[3;\,\,6;\,\,9;\,\,12;\,\,15;\,\,18.\]

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}.\]

Thay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{2\sqrt 1 + 7}}{{\sqrt 1 + 2}} = \frac{{2 + 7}}{{1 + 2}} = \frac{9}{3} = 3.\)

Vậy \(A = 3\) khi \(x = 1.\)

Với \(x \ge 0,\,x \ne 4,\) ta có:

\(B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 6}}{{x - 4}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

 \( = \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt x + 2}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x + 2}}.\)

Với \(x \ge 0,\,x \ne 4,\) ta có:

\(A + B = \frac{{2\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right) + 5}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.\)

⦁ Do \(x \ge 0\)nên \(\sqrt x \ge 0.\)

Khi đó \(\sqrt x + 2 > 0\) nên \[\frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\]. Suy ra \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 2\) hay \(A + B > 2\,\,(1)\)

⦁ Vì\(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 2.\) Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}.\) Do đó \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{9}{2}\) hay \(A + B \le \frac{9}{2}\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 < A + B \le \frac{9}{2}.\)

Để \(A + B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất thì \(A + B = 3.\)

Suy ra \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 3\)

                \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\)

                 \(\sqrt x + 2 = 5\)

                 \(\sqrt x = 3\)

                  \(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 9\,\)thì biểu thức \(A + B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất bằng 3.

Gọi số sản phẩm công ty thứ nhất bán được năm ngoái là \(x\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)(sản phẩm).

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được năm ngoái là \(7200 - x\) (sản phẩm).

Số sản phẩm công ty thứ nhất bán được năm nay là \(115\% x = 1,15x\) (sản phẩm).                                                                                                  

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được năm nay là \(112\% \left( {7200 - x} \right) = 1,12\left( {7200 - x} \right)\)(sản phẩm).

Vì năm nay cả hai công ty bán được \(8190\) sản phẩm nên ta có phương trình:

\(1,15x + 1,12\left( {7200 - x} \right) = 8190.\)

Giải phương trình:

\[1,15x + 1,12\left( {7200 - x} \right) = 8190\]

\(1,15x + 8064 - 1,12x = 8190\)

\(0,03x = 126\)

       \(x = 4200\)(thỏa mãn).

Số sản phẩm công ty thứ hai bán được trong năm ngoái là \(7200 - 4200 = 3000\) (sản phẩm).

Vậy số sản phẩm công ty thứ nhất, công ty thứ hai bán được trong năm ngoái lần lượt là \(4200;\,\,3000\) sản phẩm.

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của ô tô là \(x + 10\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).\)

Thời gian xe máy đi từ \[A\] đến \[B\] là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi từ \[A\] đến \[B\] là \(\frac{{120}}{{x + 10}}\) (giờ).

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy \(36\) phút \( = \frac{3}{5}\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = \frac{3}{5}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = \frac{3}{5}\)

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 10}} = \frac{1}{{200}}\)

\(\frac{{x + 10 - x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{1}{{200}}\)

\(\frac{{10}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{1}{{200}}\)

\(x\left( {x + 10} \right) = 10 \cdot 200\)

\({x^2} + 10x - 2000 = 0\)

\({x^2} - 40x + 50x - 2000 = 0\)

\(x\left( {x - 40} \right) + 50\left( {x - 40} \right) = 0\)

\[\left( {x - 40} \right)\left( {x + 50} \right) = 2000\]

\(x - 40 = 0\) hoặc \(x + 50 = 0\)

\(x = 40\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 50\) (loại).

Vậy vận tốc của xe máy là \(40\) km/h và vận tốc của ô tô là \(40 + 10 = 50\) km/h.

Giải bất phương trình:

\(\frac{{2x - 1}}{5} - \frac{x}{2} \ge x - 1\)

\(\frac{{2\left( {2x - 1} \right) - 5x}}{{10}} \ge \frac{{10\left( {x - 1} \right)}}{{10}}\)

\(4x - 2 - 5x \ge 10x - 10\)

\(10x + 5x - 4x \le - 2 + 10\)

\(11x \le 8\)

\(x \le \frac{8}{{11}}.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{8}{{11}}.\)

a) Vì mặt bàn là hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn có đường kính \(AB = 1,2{\rm{\;m}}\) nên bán kính của mặt bàn là: \(1,2:2 = 0,6{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

diện tích mặt bàn ban đầu là: \({S_1} = \pi \cdot 0,{6^2} = \frac{{9\pi }}{{25}} \approx 1,13{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

b) Vì diện tích mặt bàn tăng gấp ba lần sau khi nới, nên diện tích hình chữ nhật ghép thêm vào gấp 2 lần diện tích mặt bàn ban đầu là \({S_2} = 2{S_1} \approx 2 \cdot 1,13 = 2,26{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là: \(2,26:1,2 \approx 1,88{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AB\) và bán kính bằng \(\frac{{AB}}{2}.\) Như vậy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)

Tương tự, \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \(A,\,\,B,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AB.\)

Vậy bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,D,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AB\) hay tứ giác \(ABDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB.\)

Do $OM\mathrm{\perp }BC$ và $AD\mathrm{\perp }BC$ nên $AD//PM,$ suy ra $\widehat{APQ}=\widehat{BAD}$ (đồng vị).  

Do  (chứng minh ở câu b) nên \[\widehat {APQ} = \widehat {HCB}\] hay \[\widehat {APN} = \widehat {HCM}.\]

Từ câu b, có \(AP \cdot CM = PN \cdot HC\) suy ra \(\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PN}}{{CM}}.\)

Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta HCM\) có: \[\widehat {APN} = \widehat {HCM}\] và \(\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PN}}{{CM}}.\)

Do đó  (c.g.c). Suy ra \(\widehat {PAN} = \widehat {CHM}.\)

Mà \(\widehat {CHM} = \widehat {IHF}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {PAN} = \widehat {IHF}.\) (3)

Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và gọi \(F\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB.\)

Xét \(\Delta ABC\) có hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, suy ra \(CF \bot AB\) tại \(F.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABK} = \widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(KB \bot AB,\,\,KC \bot AC.\)
Do đó \(BH\,{\rm{//}}\,KC\) (cùng vuông góc với \(AC)\) và \(CH\,{\rm{//}}\,KB\) (cùng vuông góc với \(AB)\)

Suy ra tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(BC,\,\,HK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (do \(OB = OC)\) nên đường cao \(OM\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, hay \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(HK\) nên \(H,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.

Do đó \(I,\,\,H,\,\,K\) thằng hàng nên \(\widehat {AIH} = \widehat {AIK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)).\)

\(\Delta AIH\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \[A,\,\,I,\,\,H\] thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

\(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên ba điểm \(A,\,\,F,\,\,H\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Suy ra \(A,\,\,I,\,\,F,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat {IAF} = \widehat {IHF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IF).\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {PAN} = \widehat {IAF}.\)

Lại có \(\widehat {PAN} + \widehat {NAF} = 180^\circ \) nên \(\widehat {NAF} + \widehat {IAF} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NAI} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(N,\,\,A,\,\,I\) thẳng hàng.

Gọi \[x\] (m) là chiều rộng của đáy bể \[\left( {x > 0} \right).\]

Chiều dài của đáy bể là \[2x\] (m).

Chiều cao của bể là \[h\] (m).

Ta có \[V = 1 = 2x \cdot x \cdot h\] nên \[h = \frac{1}{{2{x^2}}}\] (m).

Diện tích xung quanh của bể là: \[{S_{xq}} = 2 \cdot \left( {2x + x} \right) \cdot \frac{1}{{2{x^2}}} = \frac{3}{x}\] (m²).

Diện tích đáy bể là: \({S_d} = x \cdot 2x = 2{x^2}\) (m²).

Chi phí tiền để làm bể cá là: \[T = \frac{{500}}{2} \cdot \frac{3}{x} + 500 \cdot 2{x^2} = \frac{{750}}{x} + 1\,\,000{x^2}\] (nghìn đồng).

Để chi phí làm bể cá là tối thiểu thì ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(T.\)

Ta có \[T = \frac{{750}}{x} + 1\,\,000{x^2} = 1\,\,000{x^2} + \frac{{375}}{x} + \frac{{375}}{x}\]

\[ \ge 3\sqrt[3]{{1\,\,000{x^2} \cdot \frac{{375}}{x} \cdot \frac{{375}}{x}}}\] (BĐT Cauchy)

\[ = 750\sqrt[3]{9}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[1\,\,000{x^2} = \frac{{375}}{x},\] hay \[x = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}.\]

Vậy chi phí tối thiểu để làm bể cá là \[750\sqrt[3]{9} \approx 1\,\,560\] nghìn đồng \( = 1\,\,560\,\,000\) đồng, khi chiều rộng của đáy bể là \[\frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}\] (m).