Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TH&THCS Hồ Tùng Mậu_Phòng GD&ĐT Quỳnh Lưu_Tỉnh Nghệ An

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 25,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 5}} - \frac{1}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{5}{{x - 10\sqrt x + 25}}\)

 \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}} \right]:\frac{5}{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}\)

 \( = \frac{{\sqrt x + 5 - \sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{5}\)

 \( = \frac{{10 \cdot {{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right) \cdot 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\sqrt x + 5}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 25\) thì \(P = \frac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\sqrt x + 5}}.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x - y = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 5}\\{6x - 2y = 2}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được: \(7x = 7,\) suy ra \[x = 1.\]

Thay \(x = 1\) vào phương trình (1), ta được: \(1 + 2y = 5,\) suy ra \(2y = 4\) nên \(y = 2.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {1;2} \right).\)

Giải bất phương trình:

\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) < 2{x^2} - 4\left( {2 - x} \right)\)

\(2{x^2} + 3x - 2x - 3 < 2{x^2} - 8 + 4x\)

\(2{x^2} + 3x - 2x - 2{x^2} - 4x < - 8 + 3\)

\( - 3x < - 5\)

    \(x > \frac{5}{3}.\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > \frac{5}{3}.\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 3,\,\,x \ne - 3.\)

\(\frac{x}{{x - 3}} - \frac{2}{{x + 3}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x - 3} \right) = {x^2}\)

\({x^2} + 3x - 2x + 6 = {x^2}\)

\(x = - 6.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - 6.\)

Gọi giá tiền mua một quyển vở là \(x\) (đồng), giá tiền mua một chiếc bút bi là \[y\] (đồng) \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Bạn An mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả 39 000 đồng nên ta có phương trình \(5x + 3y = 39\,\,000\) (1)

Bạn Bảo mua 6 quyển vở và 2 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả là 42 000 đồng, ta có phương trình \(6x + 2y = 42\,\,000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + 3y = 39\,\,000}\\{6x + 2y = 42\,\,000}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6\,\,000}\\{y = 3\,\,000}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy giá mỗi quyển vở là 6 000 đồng, giá mỗi cái bút bi là 3 000 đồng.

Gọi chiều cao của hải đăng là \(h,\) khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là \(a.\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

\(h = a \cdot \tan \alpha \) suy ra \(a = \frac{h}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{65}}{{\tan 30^\circ }} = 65\sqrt 3 \approx 113{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vì \[MA,{\rm{ }}MB\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Do \(A,\,\,B \in \left( O \right)\) nên \(OA = OB,\) do đó điểm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Xét \(\Delta OEF\) cân tại \(O\) (do \(OE = OF)\) nên đường trung tuyến \(OG\) đồng thời là đường cao của tam giác, suy ra \(OG \bot FE\) tại \[G.\]

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta KOH\) có: \(\widehat {OGM} = \widehat {OKH} = 90^\circ \) và \(\widehat {O\,}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OG}}{{KO}} = \frac{{OM}}{{OH}}\) hay \(OG \cdot OH = OM \cdot OK.\)

Xét \(\Delta OKA\) và \(\Delta OAM\) có: \(\widehat {OKA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\) hay \(O{A^2} = OK \cdot OM.\)

Mà \(OA = OE\) và \(OG \cdot OH = OM \cdot OK\) nên\(O{E^2} = OG \cdot OH.\) Suy ra \(\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}.\)

Xét \(\Delta OGE\) và \(\Delta OEH\) có: \(\widehat {O\,}\) là góc chung và \(\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}\)

Do đó  (c.g.c). Suy ra\(\widehat {OEH} = \widehat {OGE} = 90^\circ .\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABE} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AEH\) có: \(\widehat {ABE} = \widehat {AEH} = 90^\circ \) và \(\widehat {A\,}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{BE}}{{EH}}\) nên \(BE = \frac{{AE \cdot EH}}{{AH}}.\)

Ta có: \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{A{E^2} \cdot E{H^2}}}\) mà \(A{H^2} = A{E^2} + H{E^2}\) (định lý Pythagore trong \(\Delta AHE\) vuông tại \(E)\)

Suy ra \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{E^2} + H{E^2}}}{{A{E^2} \cdot H{E^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)

\( = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}}\) (do \(AE = 2R\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)).\)

Do đó \(\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.\)

Gọi \(x,\,\,h\) (m) tương ứng là độ dài cạnh đáy và đường cao của hình hộp chữ nhật \(\left( {x > 0,\,\,h > 0} \right).\)

Ta có \(V = h \cdot h \cdot x = h{x^2} = 108,\) suy ra \(h = \frac{{108}}{{{x^2}}}\) (m).

Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: \[S = 4x \cdot \frac{{108}}{{{x^2}}} + {x^2} = \frac{{432}}{x} + {x^2}\] (m²).

Để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất thì ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S.\)

Ta có: \[S = \frac{{432}}{x} + {x^2} = \frac{{216}}{x} + \frac{{216}}{x} + {x^2}\]

\( \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{216}}{x} \cdot \frac{{216}}{x} \cdot {x^2}}}\) (Bất đẳng thức Cauchy)

\( = 3 \cdot 36 = 108.\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{{216}}{x} = {x^2},\) hay \(x = 6.\) Khi đó, \(h = \frac{{108}}{{{6^2}}} = 3.\)

Vậy chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể tương ứng bằng 6 m và 3 m thì số viên gạch dùng xây bể là ít nhất.