Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 02
21 câu hỏi
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có dạng \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)?
\[y = {x^2} \cdot \frac{{ - 1}}{2}\].
\[y = \frac{{{x^2}}}{0}\].
\[y = \frac{2}{{{x^2}}}\].
\[y = {2^2}x\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[y = {x^2} \cdot \frac{{ - 1}}{2}\] hay \[y = \frac{{ - 1}}{2}{x^2}\] có dạng \(y = a{x^2}\) với \(a = \frac{{ - 1}}{2} \ne 0.\)
\(\left( {0;\,\,1} \right).\)
\(\left( {1;\,\,0} \right).\)
\(\left( {0;\,\,0} \right).\)
\(\left( {1;\,\,1} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) luôn đi qua gốc tọa độ là điểm \(O\) có tọa độ \(\left( {0;\,\,0} \right).\)
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Với \(a > 0\) đồ thị nằm phía trên trục hoành và \[O\] là điểm cao nhất của đồ thị.
Với \(a < 0\) đồ thị nằm phía dưới trục hoành và \[O\] là điểm cao nhất của đồ thị.
Nếu điểm \(\left( {x;y} \right)\) thuộc đồ thị hàm số thì điểm \(\left( { - x;y} \right)\) cũng thuộc đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với \(a > 0\) đồ thị nằm phía trên trục hoành và \[O\] là điểm thấp nhất của đồ thị.
\(2\left( {2m + 1} \right)\).
\(2m + 1\).
\(2m\).
\( - 2\left( {2m + 1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\)\(\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó, phương trình bậc hai \({x^2} - 2\left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0,\) hệ số \(b\) của phương trình là \( - 2\left( {2m + 1} \right).\)
\[m \ne 0\].
\[m \ne 1\].
\[m \ne - 1\].
\[m \ne 0,\] \[m \ne 1\] và \(m \ne - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\)\(\left( {a \ne 0} \right)\).
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn \(x\) khi \(m \ne 0.\)
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình có nghiệm.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc hai ẩn \(x\) có \(\Delta ' \ge 0\) hay \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép, tức là phương trình có nghiệm.
\(\frac{{ - 17}}{2}\) và \(\frac{1}{2}.\)
\(17\) và 2.
\(\frac{{17}}{2}\) và \(\frac{1}{2}\).
\( - 17\) và 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(2{x^2} - 17x + 1 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 17} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 281 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{17}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}.\)
Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: B
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và có hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Như vậy, chỉ có hình 2 thỏa mãn.
ba đường trung trực.
ba đường phân giác.
ba đường trung tuyến.
ba đường cao.
Đáp án đúng là: A
Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường thẳng là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác có 3 đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trong một đường tròn là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp.
Có 6 cạnh bằng nhau.
Các góc ở đỉnh bằng nhau.
Các cạnh bằng nhau.
Mỗi góc ở đỉnh bằng \(108^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ngũ giác đều có 5 cạnh bằng nhau, các góc ở đỉnh bằng nhau và mỗi góc bằng \(108^\circ .\)
\(A\).
\(B.\)
\(C.\)
\(D.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\) do đó \(OA = OC\) và \(\widehat {AOC} = 180^\circ .\)
Như vậy, phép quay ngược chiều \[180^\circ \] tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(C.\)Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Diện tích của đường tròn bán kính \(R{\rm{\;(cm)}}\) được cho bởi công thức \(S = \pi {R^2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Khi bán kính đường tròn \(R = 1{\rm{\;cm}}\) thì diện tích của đường tròn bằng \(\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Nếu diện tích của đường tròn bằng \(S = \frac{\pi }{2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) thì bán kính của đường tròn là \(R = 0,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Công thức \(S = \pi {R^2}\) là một hàm số có biến \(R\) và đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;0} \right).\)
Diện tích của đường tròn không có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng.d) Đúng.
⦁ Khi \(R = 1{\rm{\;cm}},\) thay vào công thức \(S = \pi {R^2},\) ta được \(S = \pi \cdot {1^2} = \pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\) Do đó ý a) là đúng.
⦁ Nếu \(S = \frac{\pi }{2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{,}}\) thay vào công thức \(S = \pi {R^2},\) ta được \(\frac{\pi }{2} = \pi {R^2},\) suy ra \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{\rm{\;(cm)}}\) (do \(R > 0).\)
Do đó ý b) là sai.
⦁ Công thức \(S = \pi {R^2}\) là một hàm số có biến \(R\) và đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;0} \right).\) Do đó ý c) là đúng.
⦁ Do hàm số \(S = \pi {R^2}\) có hệ số \(a = \pi > 0\) nên đồ thị của hàm số có điểm thấp nhất là \(\left( {0;\,\,0} \right)\) và không có điểm cao nhất, như vậy diện tích của đường tròn không có giá trị lớn nhất. Do đó ý d) là đúng.
\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {AEC}.\)
Tâm \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\)
Có 4 tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {O;OA} \right).\)
Đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) lớn hơn \(AD.\)
a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Đúng.
⦁ Ta có \(\widehat {ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AC,\) \(\widehat {ADC}\) là hai góc nội tiếp chắn cung lớn \(AC.\) Nên số đo \(\widehat {ABC}\) khác \(\widehat {ADC}.\) Do đó ý a) là sai.
⦁ Ngũ giác đều \(ABCDE\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC,\) hay \(O\)là giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\) Do đó ý b) là đúng.⦁ Có 4 tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( {O;OA} \right)\) là: \(ABCD,\,\,ABCE,\,\,ACDE,\,\,BCDE.\) Do đó ý c) là đúng.
⦁ Đường tròn \(\left( {O;\,\,OA} \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D\) nên ngoại tiếp tam giác \(ABD.\) Như vậy đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) bằng \(2OA = OA + OD.\)
Xét \(\Delta OAD\) có \(OA + OD > AD\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Như vậy, đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) lớn hơn \(AD.\) Do đó ý d) là đúng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \[{x^2} - 4x + 3m - 11 = 0\] có hai nghiệm trái dấu?
__
Hướng dẫn giải
Đáp số: 3.
Phương trình \[{x^2} - 4x + 3m - 11 = 0\] có \(a = 1 \ne 0\) và \(c = 3m - 11.\)
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi tích hai nghiệm là số âm, hay \(\frac{c}{a} < 0\)
Tức là \(\frac{{3m - 11}}{1} < 0,\) suy ra \(m < \frac{{11}}{3}.\)
Các giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn là \(m \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\)
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của \(m\) cần tìm.
Với giá trị nào của \(m\) để parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 5x - m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,{x_2}\) là số nguyên tố?
__
Hướng dẫn giải
Đáp số: 6.
Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] có dạng \[{x^2} - 5x + m = 0\] (1)
Ta có: \[\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot m = 25 - 4m.\]
Để parabol \[\left( P \right)\] cắt đường thẳng \[\left( d \right)\] tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta > 0\) hay \[25 - 4m > 0\] nên \[m < \frac{{25}}{4}.\]
Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_{\rm{2}}} = 5\\{x_1}{x_{\rm{2}}} = m\end{array} \right.\)
Vì \({x_1},\,{x_2}\) có giá trị là số nguyên tố nên \({x_1}, = 2;\,\,{x_2} = 3,\) suy ra \(m = 6.\)
Vậy \(m = 6\) là giá trị cần tìm.
Cho hình vẽ bên. Số đo góc \(ADC\) bằng bao nhiêu độ?
___
Hướng dẫn giải
Đáp số: 80.
Xét đường tròn \(\left( O \right),\) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 60^\circ \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)
Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \)Suy ra \[\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {DBC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 40^\circ } \right) = 80^\circ .\]
Hướng dẫn giải
Đáp số: 8.
Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên
Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)
Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:
\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]
Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\)Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó
Ta cũng chứng minh được \(\widehat {HOI} = 45^\circ \) và \(OI = 2\sqrt 2 .\)
Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm
Tổng bình phương hoành độ và tung độ của điểm \(I\) là \({\left( { - 2} \right)^2} + {2^2} = 8.\)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Người chủ vườn đã thuê người trồng hoa ở khu trồng hoa với chi phí là 50 000 đồng/m2. Tính số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu vườn hoa đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là \(x{\rm{\;(m)}}\) và \(y{\rm{\;(m)}}\)\(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Vì mảnh vườn có chu vi là \(70{\rm{\;m}}\) nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 70\] hay \(x + y = 35\).
Vì mảnh vườn có diện tích là \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 250\).
Ta có: \(x + y = 35\) và \(xy = 250\) và \({35^2} - 4 \cdot 250 = 225 > 0\) nên \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} - 35t + 250 = 0.\)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} = 10\) (thỏa mãn); \({t_2} = 25\) (thỏa mãn).
Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(25{\rm{\;m}},\,\,10{\rm{\;m}}.\)
Khu trồng hoa \(BEDF\) có \(BE = DF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,DF\) nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: \(6 \cdot 10 = 60{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:
\(60 \cdot 50\,\,000 = 3\,\,000\,\,000\) (đồng).
Cho phương trình \({x^2} - 2x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {4x_1^2 - 8{x_1} + 4} - {x_1}{x_2} = 2m - 7.\)
Phương trình \({x^2} - 2x - m = 0\) có \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1 \cdot \left( { - m} \right) = 1 + m.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0\), tức là \(1 + m > 0\) hay \(m > - 1.\)
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - m.\end{array} \right.\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có \(x_1^2 - 2{x_1} - m = 0\) hay \(x_1^2 - 2{x_1} + 1 = m + 1\)
Theo bài, \(\sqrt {4x_1^2 - 8{x_1} + 4} - {x_1}{x_2} = 2m - 7\)
Suy ra \(\sqrt {4\left( {x_1^2 - 2{x_1} + 1} \right)} - {x_1}{x_2} = 2m - 7\)
Do đó \(2\sqrt {m + 1} + m = 2m - 7\)
\(2\sqrt {m + 1} = m - 7\)
\(m \ge 7\) và \(4\left( {m + 1} \right) = {\left( {m - 7} \right)^2}\) (*)
Giải phương trình (*):
\(4\left( {m + 1} \right) = {\left( {m - 7} \right)^2}\)
\({m^2} - 14m + 45 = 0\)
\(m = 5\) (không thỏa mãn điều kiện \(m \ge 7)\) hoặc \(m = 9\) (thỏa mãn điều kiện \(m \ge 7)\)
Vậy \(m = 9\) là giá trị cần tìm.
(1,5 điểm) Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Đường thẳng \(AO\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(C,\,\,E\) (khác điểm \(A).\) Đường thẳng \(AO'\) cắt hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại hai điểm \(D,\,\,F\) (khác điểm \(A).\) Chứng minh:
1.\(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.
2. Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn.
3.\(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)
1. Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(AF\) là đường kính nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\)
Suy ra ba điểm \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.
2. Chứng minh tương tự câu 1, ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) và \(\widehat {AEF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)
Do đó \(\widehat {CDF} = \widehat {CEF} = 90^\circ \) nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông \(CDF,\,\,CEF\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(CF\) hay các điểm \(C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(CF.\)
Vậy tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF.\)
3. Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)
Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)
Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {AFE}\).
Từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABE}\) hay \(BA\) là tia phân giác của góc \(DBE.\)
Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {CED} = \widehat {BEC}\left( { = \widehat {CFD}} \right)\) hay \(EC\) là tia phân giác của góc \(BED.\)
Xét tam giác \(BDE\) có \(BA\) và \(EC\) là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại \(A\) nên \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)
