Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2)
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + {{\rm{e}}^{2x}}\) là
\(\frac{{{x^2} + {{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\).
\(\frac{{{x^2} + {{\rm{e}}^x}}}{2} + C\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{{\rm{e}}^{2x + 1}}}}{{2x + 1}} + C\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} + 2{{\rm{e}}^{2x}} + C\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x + {{\rm{e}}^{2x}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\). Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 1 + 2x + 3{x^2}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành có giá trị bằng
\( - \frac{{16}}{{27}}\).
\(\frac{{16}}{{27}}\).
\( - \frac{{32}}{{27}}\).
\(\frac{{32}}{{27}}\).
Phương trình hoành độ giao điểm là \(3{x^2} + 2x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{3}} {\left| {3{x^2} + 2x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{3}} {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right){\rm{d}}x} } \right| = \frac{{32}}{{27}}\). Chọn D.
Cho \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \,} 3\). Khi đó \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
\(8\).
\(6\).
\(2\).
\(4\).
Ta có \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]{\rm{d}}x} = 4\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {3{\rm{d}}x} = 12 - 6 = 6\). Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;c} \right]\) và \(b\) là số thực tùy ý thuộc đoạn \(\left[ {a;c} \right]\). Nếu biết \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 5\) và \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 10\), thì giá trị của \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\) là
\(5\).
\( - 5\).
\(15\).
\( - 15\).
Vì \(b \in \left[ {a;c} \right]\) nên \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 5 + 10 = 5\). Chọn A.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2026\sin x\).
\(\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = - 2026\cos x + C\).
\(\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = \sin 1013x + C\).
\(\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = 1013{\sin ^2}x + C\).
\(\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = 2026\cos x + C\).
Ta có \(\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = 2026\int {\sin x\,{\rm{d}}x} = - 2026\cos x + C\). Chọn A.
Cho ∫02fx−3x2dx=4. Tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(8\).
\( - 4\).
\(12\).
\(4\).
Ta có
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \left. {{x^3}} \right|_0^2 = 4\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 8 = 4\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 12\). Chọn C.
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^{x - 1}} \cdot {5^{x + 1}}\) là
\(\frac{{{3^{x - 1}} \cdot {5^{x + 1}}}}{{\ln 3 \cdot \ln 5}} + C\).
\({3^{x - 1}} \cdot {5^{x + 1}} + C\).
\(\frac{{5 \cdot {{15}^x}}}{3} + C\).
\(\frac{{5 \cdot {{15}^x}}}{{3\ln 15}} + C\).
Ta có \(\int {\left( {{3^{x - 1}} \cdot {5^{x + 1}}} \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {\frac{{{3^x}}}{3} \cdot 5 \cdot {5^x}} \right){\rm{d}}x = \frac{5}{3}} \int {{{15}^x}{\rm{d}}x = } \frac{{5 \cdot {{15}^x}}}{{3\ln 15}} + C\). Chọn D.
Biết rằng \[\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7\] trong đó \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\] là
\[\frac{4}{3}\].
\[\frac{3}{2}\].
\[\frac{5}{3}\].
\[\frac{7}{6}\].
Ta có \[\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x - 1}}{\rm{d}}x} + \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} \]
\( = \left. {\frac{4}{3}\ln \left| {x - 1} \right|} \right|_2^3 + \left. {\frac{1}{6}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_2^3 = \frac{4}{3}\ln 2 + \frac{1}{6}\ln 7 - \frac{1}{6}\ln 5\).
Vậy \[P = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}\]. Chọn A.
Cho \[y = F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x + 2\] và \[F\left( 1 \right) = 2\] . Tính \[F\left( { - 1} \right)\].
\[F\left( { - 1} \right) = 0\].
\[F\left( { - 1} \right) = 4\].
\[F\left( { - 1} \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 2x - 1\].
\[F\left( { - 1} \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 2x + C\].
Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - 3{x^2} + 4x + 2} \right){\rm{d}}x} = - {x^3} + 2{x^2} + 2x + C\].
\[F\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow C + 3 = 2 \Leftrightarrow C = - 1\].
Suy ra \(F\left( x \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 2x - 1\).
Vậy \[F\left( { - 1} \right) = 1 + 2 - 2 - 1 = 0\]. Chọn A.
Cho \[\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = F\left( x \right) + C\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{\ln x}}\].
\[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{\ln x}} + C\].
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}\].
\[F'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}\].
Ta có \[{\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}\]. Chọn C.
Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ bên bằng 
\[\,\int\limits_{ - 3}^1 {\left| { - {x^2} - 2x - 3} \right|} \,{\rm{d}}x\].
\[\,\int\limits_{ - 3}^1 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)} \,{\rm{d}}x\].
\[\,\int\limits_{ - 3}^1 {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)} \,{\rm{d}}x\].
\[\,\int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \,{\rm{d}}x\].
Ta có \[S = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right){\rm{d}}x} \]. Chọn D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( 5 \right) = 2 + F\left( 1 \right)\). Giá trị của \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(8\).
\(2\).
\( - 2\).
\( - 8\).
Ta có \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^5 = F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right)\).
Mà \(F\left( 5 \right) = 2 + F\left( 1 \right)\) nên \(F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right) = 2\). Vậy \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Chọn B.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].
b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).
c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).
d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\) là \[D = \mathbb{R}\].
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{4}} + \sin x} + C\).
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|_0^2 = 1 + \sin 2\).
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì
\(F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{x}{2} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \sin x} \right)} \right|} _0^1 = \frac{1}{4} + \sin 1\).
Suy ra \(F\left( 1 \right) = \left( {\frac{1}{4} + \sin 1} \right) + F\left( 0 \right) = \frac{5}{4} + \sin 1\).
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\].
a) \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\].
b) Hàm số \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\].
c) \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n\], với \[m,n \in {\mathbb{N}^ * }\], \[\frac{m}{n}\] là phân số tối giản. Tổng \[m + 2025n = 4057\].
d) Gọi \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[G\left( 1 \right) = 4\] và \[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20\]. Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\], với \[a,b,c\] là các số hữu tỉ. Tổng \[a + b + c = \frac{2}{3}\].
Ta có \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {x + 5 - \frac{7}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\].
Ta thấy \[f'\left( x \right) = 1 + \frac{7}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g\left( x \right)\]. Do đó, \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right)\].
Ta có \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = \left( {\frac{1}{2} - 5} \right) - \left( {2 - 10 - 7\ln 2} \right) = \frac{7}{2} + 7\ln 2\].
Khi đó \[m = 7,\,\,n = 2\] nên \[m + 2025n = 4057\].
Ta có hàm số \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thì
\[G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + {C_1},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left( { - x} \right) + {C_2},\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\end{array} \right.\]
Ta có \[G\left( 1 \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}\].
\[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20 \Leftrightarrow \frac{{{3^2}}}{2} + 5 \cdot 3 - 7\ln 3 - \frac{3}{2} + \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2}}}{2} + 5 \cdot \left( { - 9} \right) - 7\ln 9 + {C_2} = 20\]
\[ \Leftrightarrow {C_2} = \frac{{13}}{2} + 21\ln 3\].
Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = \frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 6} \right) - 7\ln 6 + \frac{{13}}{2} + 21\ln 3 = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}\].
Suy ra \[a = - 7,\,\,b = 14,\,\,c = - \frac{{11}}{2}\] nên \[a + b + c = \frac{3}{2}\].
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).
b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).
d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.
Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} \).
Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Vậy \(P\left( x \right) = - 0,0004{x^2} + 10,4x\).
Ta có \(P\left( {50} \right) = - 0,0004 \cdot {50^2} + 10,4 \cdot 50 = 519\) (triệu đồng).
Vậy lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là:
\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).
Theo đề ta có \( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)
\( \Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là:
\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) (triệu đồng).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).
a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.
b) Nếu \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2\).
c) Hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đồ thị \(\left( d \right)\) và các đường \(x = 1,x = 4\) có diện tích là \({S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).
d) Nếu \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) và \({H_2}\)(hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và các đường \(x = 1,x = 4\)) thì \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = x + \ln \left| x \right| + C} } \) với \(C\) là hằng số.
Vì \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\) nên ta có \(F\left( x \right) = x + \ln \left| x \right| + C\).
Theo giả thiết \(F\left( 1 \right) = 0\), ta có \(1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 1\) nên \(F\left( x \right) = x + \ln \left| x \right| - 1\).
Vậy \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2 - 1 = \ln 2 + 1\).
Ta có diện tích phần hình phẳng \({H_1}\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right]{\rm{d}}x = } \int\limits_1^4 {\left( { - \frac{1}{4}x - \frac{1}{x} + \frac{5}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( { - \frac{1}{4}.\frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + \frac{5}{4}x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).
Ta có diện tích hình phẳng \({H_2}\) là: \[{S_2} = \int\limits_1^4 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^4} \]\( = 3 + \ln 4\).
Khi đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{15}}{8} - \ln 4}}{{3 + \ln 4}}\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?
Ta đặt \(m = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt = \int\limits_1^2 {\left( {16{t^3} - 15{t^2} + 2mt - 21} \right){\rm{d}}t} \left. { = \left( {4{t^4} - 5{t^3} + m{t^2} - 21t} \right)} \right|_1^2 = 4 + 3m} \).
Khi đó ta có \(m = 4 + 3m\)\( \Leftrightarrow m = - 2\).
Thay \(m = - 2\) vào hàm số ta có \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} - 4x - 21\).
Suy ra \(f\left( 2 \right) = 39\).
Đáp án: \(39\).
Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng với thể tích của một vật thể \(\left( V \right)\) trong không gian. Biết rằng, điểm \(M\) thuộc \(\left( V \right)\) khi và chỉ khi \(MA \le \sqrt 2 \,{\rm{dm}}\) hoặc \(MB \le \sqrt 5 \,{\rm{dm}}\), trong đó \[A\] và \[B\] là hai điểm cố định, \[AB = 3\,\,{\rm{dm}}\]. Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Ta có hình vẽ:
\[MA \le \sqrt 2 \,{\rm{dm}}\], suy ra \(M\)thuộc khối cầu tâm \(A\) bán kính bằng \(\sqrt 2 \).
\(MB \le \sqrt 5 \,{\rm{dm}}\), suy ra \(M\) thuộc khối cầu tâm \(B\) bán kính bằng \(\sqrt 5 \).
\[AB = 3\,\,{\rm{dm}}\] nên hai khối cầu này giao nhau và mặt phẳng giao tuyến của hai mặt cầu của hai khối cầu này vuông góc với \(AB\) tại điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow {CB} = - 2\overrightarrow {CA} .\)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta tính được thể tích hồ lô là:
\(V = \pi \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {2 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^{3 + \sqrt 5 } {\left[ {5 - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x} \,\, \approx 57,6\) (dm3) \( = 57,6\) lít.
Đáp án:\(57,6\).
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2\,\,{\rm{m}}\) với vận tốc tại thời điểm \(t\) cho bởi công thức \(v\left( t \right) = 100 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) (\(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo \({\rm{km}}\)) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(h\left( t \right)\) là độ cao (tính bằng mét) của viên đạn tại thời điểm \(t\) (tính bằng giây).
Ta có: \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {100 - 9,8t} \right){\rm{d}}t = - 4,9{t^2} + 100t + C} } \).
Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(h\left( t \right) = 2 \Rightarrow C = 2\). Vậy \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 100t + 2\).
Ta có \(h'\left( t \right) = - 9,8t + 100;\) \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{500}}{{49}}\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t = \frac{{500}}{{49}}\).
Do đó độ cao của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h\left( {\frac{{500}}{{49}} + 1} \right) \approx 507,3\,\,{\rm{m}} \approx 0,51\,\,{\rm{km}}\).
Đáp án: \(0,51\).
Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ bên, biết \[OS = 8\,\,{\rm{m}}\], \[AB = 6\,\,{\rm{m}}\] với \[O\] là trung điểm của \[AB\]. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá \(100\,000\) đồng/m², phần giữa là hình quạt tâm \[O\] bán kính \(3\,\,{\rm{m}}\) được tô đậm giá \(200\,000\) đồng/m², phần còn lại giá \(150\,000\) đồng/m². Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Chọn hệ trục \[Oxy\] với tia \[Ox\] trùng với tia \[OB\], tia \[Oy\] trùng với tia \[OS\] như hình vẽ.
Khi đó ta có: \[A\left( { - 3;0} \right)\], \[B\left( {3;0} \right)\], \[S\left( {0;8} \right)\].
Suy ra parabol có phương trình là:
\[y = - \frac{8}{9}{x^2} + 8\] \[\left( P \right)\].
Rìa của hình quạt là cung tròn của đường tròn \[\left( C \right)\] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {9 - {x^2}} \].
Hoành độ điểm \[N\] là nghiệm phương trình \[ - \frac{8}{9}{x^2} + 8 = \sqrt {9 - {x^2}} ,\,0 < x < 3\]\[ \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt {55} }}{8}\].
Ta có \[{y_N} = - \frac{8}{9}{x_N}^2 + 8 = \frac{9}{8}\]. Suy ra \[N\left( {\frac{{3\sqrt {55} }}{8};\frac{9}{8}} \right)\].
Phương trình đường thẳng \[ON\]: \[y = \frac{3}{{\sqrt {55} }}x\].
Vì tấm pano đối xứng qua trục \[Oy\] nên ta có:
Diện tích phần kẻ sọc: \[{S_1} = 2 \cdot \int\limits_0^{\frac{{3\sqrt {55} }}{8}} {\left( { - \frac{8}{9}{x^2} + 8 - \sqrt {9 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} \approx 17,94\,\]m2.
Diện tích phần tô đậm: \[{S_2} = 2 \cdot \int\limits_0^{\frac{{3\sqrt {55} }}{8}} {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} - \frac{3}{{\sqrt {55} }}x} \right)} \,{\rm{d}}x \approx 10,68\,\]m2.
Diện tích phần còn lại: \[S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left( { - \frac{8}{9}{x^2} + 8} \right){\rm{d}}x} - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) \approx 3,38\,\]m2.
Tổng chi phí để trang trí tấm pano là:
\[100{S_1} + 200{S_2} + 150S \approx 4\,440\] (nghìn đồng) \[ \approx 4,44\] (triệu đồng).
Đáp án: \(4,44\).
Nhà bác Ba có tất cả \(8\) cánh cửa sắt hình chữ nhật với chiều dài \(2\,{\rm{m}}\) và chiều rộng \(1\,{\rm{m}}\). Hai mặt của mỗi cánh cửa được thiết kế như hình vẽ bên. Trong đó, phần được tô đậm được sơn màu xanh, phần còn lại được sơn màu trắng. Mỗi phần sơn màu trắng có đường biên cong là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng chi phí để sơn màu xanh là \(120\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) và chi phí sơn màu trắng là \(110\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác Ba phải tốn bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).
Xét đồ thị parabol trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình bên.
Gọi parabol có phương trình là: \(y = a{x^2} + bx + c\).
Parabol đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 0,5\,;\,1} \right),\,\,\left( {0,5\,;\,1} \right),\,\,\left( {0\,;\,0} \right)\), nên ta có hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a \cdot 0,{5^2} + b \cdot 0,5 = 1\\a \cdot {\left( { - 0,5} \right)^2} + b \cdot \left( { - 0,5} \right) = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{a = 4}\\{b = 0}\end{array}} \right.\). Vậy ta có phương trình parabol \(y = 4{x^2}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 4{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 0,5\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{0,5} {4{x^2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{6}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của phần tô đậm được sơn màu xanh của mỗi mặt cánh cửa là: \({S_2} = 4 \cdot {S_1} = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của một mặt cánh cửa là: \(S = 1 \cdot 2 = 2\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của phần không tô đậm tô đậm được sơn màu trắng của mỗi mặt cánh cửa là:
\({S_3} = S - {S_2} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Có tất cả \(8\)cánh cửa sắt hình chữ nhật, mỗi cánh có 2 mặt, vậy có tất cả 16 mặt như hình vẽ.
Vậy tổng diện tích phần tô đậm được sơn màu xanh là: \(16{S_2} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Tổng diện tích phần không tô đậm được sơn màu trắng là: \(16{S_3} = 16 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{64}}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Tổng chi phí để sơn màu xanh là: \(\frac{{32}}{3} \cdot 120 = 1\,280\) (nghìn đồng) \( = 1,28\) (triệu đồng).
Tổng chi phí để sơn màu trắng là: \(\frac{{64}}{3} \cdot 110 \approx 2\,347\)(nghìn đồng) \( \approx 2,35\) (triệu đồng).
Tổng chi phí sơn là: \(1,28 + 2,35 = 3,63\) (triệu đồng).
Đáp án: \(3,63\).
Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly \(6\,\,{\rm{cm}}\), đường kính miệng ly \({\rm{9}}\,\,{\rm{cm}}\), chiều cao\(13,4\,\,{\rm{cm}}\), ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính \(2\,{\rm{cm}}\) để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ bên). 
Thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là bao nhiêu centimét khối? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục \(Oxy\)(đơn vị trên trục là centimét) với trục \(Ox\)đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ \(O\)trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.
Khi đó toạ độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(A\left( { - 13,4;0} \right),B\left( { - 13,4;3} \right),C\left( {0;4,5} \right)\).
Gọi phương trình đường thẳng đi qua \(BC\) có dạng \(y = ax + b\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 13,4a + b = 3\\0a + b = 4,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{{134}}\\b = \frac{9}{2}\end{array} \right.\).
Phương trình đường thẳng BC là \(y = \frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}\).
Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là:
\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 13,4}^0 {{{\left( {\frac{{15}}{{134}}x + \frac{9}{2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{3819\pi }}{{20}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Điểm \(C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4,5\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} = \frac{{81}}{4}\).
Thay \(y = 1\), ta được: \(x = \sqrt {\frac{{81}}{4} - 1} = \frac{{\sqrt {77} }}{2} \Rightarrow D\left( {\frac{{\sqrt {77} }}{2};1} \right)\). Suy ra \(y = \sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} \).
Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^{\frac{{\sqrt {77} }}{2}} {{{\left( {\sqrt {\frac{{81}}{4} - {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \,\,\frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\].
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{3819\pi }}{{20}} + \frac{{83\pi \sqrt {77} }}{{12}} \approx 791\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Đáp án:\(791\).
