Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 2)
22 câu hỏi
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
\(2\).
\( - 2\).
\( - 1\).
\(1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? 
\(\left( { - 2;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\], có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \[ - 1\].
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\] có đúng hai điểm cực trị.
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \[0\].
Đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\] có đúng một điểm cực tiểu.
Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0\,;\,ad - bc \ne 0} \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 
\[y = - 1\].
\[y = 2\].
\[x = - 1\].
\[x = 2\].
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? 
\(y = - {x^3} - 3{x^2} - 2.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 2.\)
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2.\)
\(y = {x^3} - 3{x^2} - 2.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) .
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 5\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 4\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 7\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = \frac{{15}}{2}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới.
Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\[\left( {1;4} \right)\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\].
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}}\) có đường tiệm cận xiên là
Đường thẳng \(y = - 1\).
Đường thẳng \(y = - x + 6\).
Đường thẳng \(x = - 2\).
Đường thẳng \(y = - x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^4}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\] trên đoạn \[\left[ { - 2\,;\,2} \right]\] là
\[17\].
\[10\].
\[15\].
\[ - 12\].
Đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\] có toạ độ điểm cực đại là
\(\left( {3\,;0} \right)\).
\(\left( {3\,;1} \right)\).
\(\left( {1\,;4} \right)\).
\(\left( {1\,;3} \right)\).
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\).
b) \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = 0\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0;1} \right\}\).
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) là \(0\).
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3}\) với \(t \ge 0\). Nếu coi \(y = f\left( t \right)\) là hàm số xác định trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) thì \(f'\left( t \right)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\).
a) Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm \(t\) là \(f'\left( t \right) = 90t - 3{t^2}\).
b) Số người bị nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là 4 752.
c) Đến ngày thứ 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
d) Trong 35 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).
a) Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là điểm \(I\left( {2;1} \right)\).
c) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành.
d) Gọi \(M\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục tung. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + x\sqrt 2 \).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2\sin x + \sqrt 2 \).
b) \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( \pi \right) = - 2 + \pi \sqrt 2 \).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).
d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(\pi \sqrt 2 \).
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 1\) có hai điểm cực trị \(A\) và \(B\). Phương trình đường thẳng \(AB\)là \(y = ax + b\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính tổng \(a + b\).
Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính \(AB = 150\,{\rm{m}}\). Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 1,5 \[{\rm{km/h}}\] từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) bất kỳ trên cung . Tại vị trí \(C\) người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục đi bộ dọc theo cung nhỏ đến \(B,\) sau đó đi bộ theo đường thẳng \(BA\) để quay về \(A\) với vận tốc 3 \[{\rm{km/h}}\] (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến \(A\) là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là \[30\] nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\], bán ra là \[35\]nghìn đồng/\[1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là \[12\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \[1\] nghìn đồng/\[{\rm{1}}\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{kg}}\] thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm \[4\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}\]. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\). Tính giá trị của biểu thức \(T = M + m\).
Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng \(k\) lần \(\left( {1 \le k \le 2} \right)\) là \({t_k} = \frac{{{N_k}}}{N}\) (trong đó \({N_k}\) là số công nhân vi phạm đúng \(k\) lần, \(N\) là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:
Nếu mỗi công nhân nộp phạt \(x\) nghìn đồng \(\left( {60 \le x \le 300} \right)\) khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt \(x - 20\) nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì \({t_1} = \frac{{36}}{{x + 10}}\) và \({t_2} = \frac{4}{{x - 30}}\) (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).
Biết rằng \(N\) không đổi và bằng \(2\,400\). Tổng số tiền nộp phạt của các công nhân vi phạm trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) và đường đi khi đó ứng với đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 4\). Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
