Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = {\left( {C_{10}^3} \right)^2}\).

Hưng và Nga chọn 1 số ngẫu nhiên giống nhau: 10 cách

Hưng và Nga mỗi bạn chọn tiếp 2 số khác nhau: \(C_9^2.C_7^2.\)

Xác suất để trong hai bộ số của Hưng và Nga chọn ra có đúng một số giống nhau:

\(\frac{{10 \cdot C_9^2 \cdot C_7^2}}{{{{\left( {C_{10}^3} \right)}^2}}} = \frac{{21}}{{40}}.\) Chọn A.

Ta có bảng sau:

Số trung bình \(\overline x = \frac{{6,5 \cdot 2 + 7,5 \cdot 8 + 8,5 \cdot 18 + 9,5 \cdot 12}}{{40}} = 8,5.\)

Phương sai \({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {6,{5^2} \cdot 2 + 7,{5^2} \cdot 8 + 8,{5^2} \cdot 18 + 9,{5^2} \cdot 12} \right) - 8,{5^2} = 0,7\). Chọn C.

Ta có: \(53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240\).

Như vậy nhóm \(\left[ {15,5;20,5} \right]\) chứa trung vị.

Trung vị của mẫu số liệu là \(15,5 + \frac{{\frac{{240}}{2} - 53}}{{82}} \cdot \left( {20,5 - 15,5} \right) \approx 19,59\). Chọn B.

a) Sai. Vì có \[5\] quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số \[15\] quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\].

b) Đúng. Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu.

Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega \right) = 15 \cdot 14 = 210\].

Gọi biến cố \[A\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, \[B\]: “Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

Ta suy ra xác suất cần tìm là \[P\left( {B|A} \right)\].

Khi đó biến cố \[A \cap B\]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”.

\[n\left( {A \cap B} \right) = 5 \cdot 4 = 20\] nên \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{210}} = \frac{2}{{21}}\].

\[n\left( A \right) = 5 \cdot 14 = 70\] nên \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].

c) Đúng. Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là \[P\left( {A \cap B} \right) = \frac{2}{{21}}\].

d) Đúng. Xác suất cần tìm là \[P\left( {A|B} \right)\].

Ta có \[n\left( B \right) = 5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 70\] nên \[P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{70}}{{210}} = \frac{1}{3}\].

Vậy \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{{21}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{7}\].

Gọi \(A\) là biến cố “số điện thoại lừa đảo”, \(B\) là biến cố “chặn một số điện thoại bất kỳ”.

Theo đề bài, ta có: \(P\left( A \right) = 0,05;P\left( {\overline A } \right) = 0,95;P\left( {B|A} \right) = 0,94;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\).

Suy ra \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,03 = 0,97\).

a) Đúng. Biết rằng số điện thoại đó là số lừa đảo, xác suất để số điện thoại đó bị chặn là

\(P\left( {B|A} \right) = 0,94\).

b) Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = 0,05 \cdot 0,94 + 0,95 \cdot 0,03 = \frac{{151}}{{2000}}\).

c) Sai. Công thức Bayes: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05 \cdot 0,94}}{{\frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{94}}{{151}}\).

d) Sai. Ta có \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,95 \cdot 0,97}}{{1 - \frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{1843}}{{1849}}\).

a) Đúng. Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là \(P_1^3 = 0,003375 \Rightarrow {P_1} = \sqrt[3]{{0,003375}} = 0,15\).

b) Sai. \({P_2} = 1 - 0,25 - 0,4 - 0,15 = 0,2\).

c) Sai. Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9.

Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là \(3 \cdot 0,2 \cdot 0,{15^2} = 0,0135\).

d) Đúng. Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135.

Tính xác suất đạt 28 điểm:

TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là \(3 \cdot 0,25 \cdot 0,{15^2}\).

TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là \(3 \cdot 0,15 \cdot 0,{2^2}\).

Suy ra xác suất đạt 28 điểm là: \(3 \cdot 0,25 \cdot 0,{15^2} + 3 \cdot 0,15 \cdot 0,{2^2} = 0,034875\).

Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là \(0,003375 + 0,0135 + 0,034875 = 0,05175\).

a) Đúng. Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{35}}{{40}} = 0,875\).

b) Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{30}}{{40}} = 0,75\).

c) Sai. \(A \cup B\): “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất hoặc chủ đề Thống kê”.

\(n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 4 = 36 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{36}}{{40}} = 0,9\).

d) Đúng. Ta có \(AB\) là biến cố: “Học sinh làm tốt cả hai chủ đề Xác suất và Thống kê”.

Từ công thức cộng xác suất, ta suy ra

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0,875 + 0,75 - 0,9 = 0,725\).

Một số đường đi có thể từ A đến D và thời gian tương ứng là:

\(1:A \to F \to E \to D:\,2 + 13 + 11 = 26\).

\(2:A \to F \to G \to D:\,2 + 6 + 18 = 26\).

\(3:A \to F \to G \to C \to D:\,2 + 6 + 9 + 10 = 27\).

\(4:A \to F \to G \to E \to D:\,2 + 6 + 6 + 11 = 25\).

\(5:A \to G \to D:\,13 + 18 = 31\).

\(6:A \to G \to C \to D:\,13 + 9 + 10 = 32\).

\(7:A \to B \to C \to D:\,4 + 18 + 10 = 32\).

\(8:A \to B \to G \to D:\,4 + 7 + 18 = 29\).

Như vậy, tiếp tục tính thì ta thấy tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình là 25 phút với con đường \(A \to F \to G \to E \to D\).

Đáp án: 25.

Gọi \[A\] là biến cố: “Chọn nhân viên có trình độ đại học”.

Gọi \[B\] là biến cố: “Chọn nhân viên bị tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn”.

Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: đại học, cao đẳng lần lượt là \[65\% \] và \[35\% \] nên \[P\left( A \right) = 0,65 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,35\].

Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là \[10\% \], nhóm cao đẳng là \[15\% \] nên \[P\left( {B|A} \right) = 0,1\] và \[P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\].

Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì xác suất để người này có trình độ đại học là \[P\left( {A|B} \right)\].

Theo công thức Bayes, ta có:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,65 \cdot 0,1}}{{0,65 \cdot 0,1 + 0,35 \cdot 0,15}} = 0,55\].

Đáp án: 0,55.

Từ giả thiết của đề bài, ta có đồ thị sau:

Ta thấy đây là một đơn đồ thị có 4 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 3 không nhỏ hơn \(\frac{4}{2} = 2\) nên theo định lí Dirac thì đồ thị này có một chu trình Hamilton.

Ta xét tất cả các trường hợp sau:

ABCDA: \(9 + 7 + 5 + 14 = 35\).

ABDCA: \(9 + 8 + 5 + 11 = 33\).

ACBDA: \(11 + 7 + 8 + 14 = 40\).

ACDBA: \(11 + 5 + 8 + 9 = 33\).

ADCBA: \(14 + 5 + 7 + 9 = 35\).

ADBCA: \(14 + 8 + 7 + 11 = 40\).

Vậy con đường ngắn nhất đi từ A qua các kho B, C, D và trở về A ngắn nhất là ABDCA hoặc ACDBA, với quãng đường dài \(33\,\,{\rm{km}}\).

Vậy thời gian tối thiểu là: \(\frac{{33}}{{40}} \cdot 60 + 3 \cdot 30 = 139,5\) (phút).

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là \(140\).

Đáp án: 140.

Gọi biến cố \[A\]: “Kinh tế suy thoái”; biến cố \[B\]: “Trái phiếu có lợi nhuận cao”.

Khi đó, biến cố \[\overline A \]: “Kinh tế tăng trưởng”.

Theo bài ra, ta có \[P\left( A \right) = 0,4\] (Kinh tế suy thoái);

\[P\left( {B|A} \right) = 0,7\] (Trong khi kinh tế suy thoái, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao);

\[P\left( {\overline A } \right) = 0,6\] (Kinh tế tăng trưởng);

\[P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\] (Trong khi kinh tế tăng trưởng, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao).

Khi đó \[P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,3 = 0,46\].

Áp dụng định lý Bayes: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,7 \cdot 0,4}}{{0,46}} \approx 0,61\].

Đáp án: 0,61.

Ta có không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 10!\).

Gọi A là biến cố: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\(\overline A \) là biến cố “Có ít nhất 2 học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”;

\({A_1}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”;

\({A_2}\) là biến cố: “Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”.

Khi đó \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

- Đếm \(n\left( {{A_1}} \right)\): Trước hết cặp ghế cho 2 học sinh 12A ngồi có 5 cách, đổi chỗ 2 bạn này có \(2!\) cách xếp; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_1}} \right) = 5 \cdot 2!\, \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_2}} \right)\): Chọn cặp ghế chứa 2 học sinh lớp 12B có 5 cách, chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế này có \(A_3^2\) cách; xếp 8 học sinh còn lại có \(8!\) cách. Do đó \(n\left( {{A_2}} \right) = 5 \cdot A_3^2 \cdot 8!\).

- Đếm \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\): Chọn 2 cặp ghế trong 5 cặp ghế có \(C_5^2\) cách; trong 2 cặp này chọn 1 cặp cho 2 học sinh lớp 12A có 2 cách, đổi chỗ 2 học sinh này có \(2!\) cách; chọn 2 học sinh lớp 12B xếp vào cặp ghế còn lại có \(A_3^2\) cách; xếp 6 học sinh còn lại có \(6!\) cách.

Do đó \(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = C_5^2 \cdot 2 \cdot 2! \cdot A_3^2 \cdot 6!\).

Suy ra \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1\,440\,000\).

Từ đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{63}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{38}}{{63}} \approx 0,6\).

Đáp án: 0,6.

Ta có \(x + 120 + y + 70 + 60 = 400\)\( \Leftrightarrow x + y = 150\).

Trường hợp 1: \[x > 100 \Rightarrow 0 < y < 50\].

Ta có \[{Q_1} \in \left[ {0;20} \right)\] nên \[{Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{400}}{4}}}{x}.\left( {20 - 0} \right) = \frac{{2000}}{x}\].

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\) nên \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \frac{{2000}}{x} = \frac{{845}}{{21}} \Leftrightarrow x = \frac{{1200}}{{17}} < 100\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(0 < x \le 100 \Rightarrow 50 \le y < 150\).

Khi đó, \({Q_1}\)\( \in \left[ {20;\,40} \right)\). Suy ra \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{400}}{4} - x}}{{120}} \cdot \left( {40 - 20} \right) = 20 + \frac{{100 - x}}{6}\).

Ta có \({Q_3}\)\( \in \left[ {60;\,80} \right)\). Suy ra \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3 \cdot 400}}{4} - \left( {x + y + 120} \right)}}{{70}} \cdot \left( {80 - 60} \right)\)\( = \frac{{480}}{7}\).

\({\Delta _Q} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow {Q_3} - {Q_1} = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{480}}{7} - \left( {20 + \frac{{100 - x}}{6}} \right) = \frac{{845}}{{21}}\)\( \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn).

Suy ra \(y = 100\).

Vậy ta có mẫu số liệu hoàn thiện như sau:

Thời gian tự học trung bình của 400 học sinh là

\(\frac{{10 \cdot 50 + 30 \cdot 120 + 50 \cdot 100 + 70 \cdot 70 + 90 \cdot 60}}{{400}} = 48,5\).

Đáp án: 48,5.