Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)
22 câu hỏi
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] có một vectơ pháp tuyến là
\[{\vec n_1} = \left( {0\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_2} = \left( {0\,;0\,;0} \right)\].
\[{\vec n_3} = \left( {1\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_4} = \left( {1\,;0\,;0} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\) cómột vectơ chỉ phương là
\({\vec u_1} = \left( {1;\,3;\,2} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( {2;\,1;\,2} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( { - 2;\,1;\,2} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\)?
\(I\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,0\,;\,2} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\)?
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\]đi qua điểm \[M\left( {1;\, - 2;\,3} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0\] là
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}\].
\[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y + z - 2 = 0\). Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
\(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;1; - 1} \right)\).
\(P\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
\(Q\left( {1; - 2;2} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 12 = 0\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(E\left( {2;0;0} \right)\), \(F\left( {0; - 3;0} \right)\) và \(K\left( {0;0;5} \right)\) là
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 1\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = - 1\).
\(2x - 3y + 5z - 30 = 0\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 0\).
Trong không gian \[Oxyz,\]cho điểm \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 3 = 0\). Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:
\(2x - 2y + z - 11 = 0\).
\(2x - 2y + z + 1 = 0\).
\(2x - 2y - z - 11 = 0\).
\( - 2x - 2y + z - 11 = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) là hai đường thẳng vuông góc nhau. Khi đó, giá trị của \(m\) bằng
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
\( - \frac{1}{3}\).
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách từ điểm \[M\left( { - 1;\,2;\,0} \right)\] đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[2x - 2y + z + 1 = 0\] bằng
\( - \frac{5}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
\(5\).
\(\frac{5}{3}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3t\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.,\,\,\,{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}.\]
Góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) bằng bao nhiêu độ?
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng\(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\).
a) Điểm \(A\) có tọa độ dạng \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) với \(t \in \mathbb{R}\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].
c) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), cắt đường thẳng \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).
Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí A và B cách mặt đất lần lượt là 20 m và 19,9 m (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh; bàn đạp đặt tại vị trí C.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)sao cho mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài trong không gian \(Oxyz\)tương ứng với 1m trên thực tế); tọa độ các điểm \(A,B,C\)lần lượt là \(\left( {7;5;20} \right)\;\), \(\left( {7;5,5;19,9} \right),\left( {7;5;19} \right)\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\)là \(\vec u = \left( {0;5;1} \right)\).
b) Khi người thợ điện di chuyển đến vị trí điểm \(D\) cách mặt đất 18 m thì tọa độ điểm \(D\) là \(D\left( {7; - 5;18} \right)\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(x = 7\).
d) Khoảng cách từ Puly tại \(A\;\)đến bàn đạp tại \(C\) là \(1,03\)m.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một ngọn hải đăng cao \[60{\rm{ m}}\] so với mực nước biển được đặt ở vị trí \[I\left( {30;55;60} \right)\]có bán kính phủ sáng là \(5\) km.
a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\) .
b) Nếu người đi biển ở vị trí \(A\left( {7500;6500;0} \right)\) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.
c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá \[80\] triệu mét vuông.
d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá \[10\] km.
Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất \(4{\rm{ m}}\). Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm \(A\left( {11; - 15;0} \right)\) đến điểm \(B\left( {0; - 6;13} \right)\), sau đó từ điểm \(B\) flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\) để tìm một vị trí điểm \(M\) phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.
a) Đường bay\(AB\) của flycam có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 11;9;13} \right)\).
b) Đường bay \(BM\) của flycam có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.\).
c) Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi đường bay \(BM\) và mái của công trình. Khi đó \(\sin \varphi = - \frac{2}{{\sqrt 6 }}.\)
d) Để đảm bảo an toàn cho công nhân làm việc trên mái công trình, điểm quan sát \(M\) của flycam phải ở phía trên mái công trình và cách mái công trình \(3{\rm{ m}}\). Biết rằng điểm \(M\left( {a;b;c} \right),\) khi đó \(a - b - c = - 7.\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \(d'\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\) và \(d'\) song song với \(\left( P \right)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {4\,;\,1\,;\, - 2} \right)\], \[B\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\] và \[C\left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)\]. Trên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 2\end{array} \right.\,,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho thể tích hai khối tứ diện \({M_1}ABC\) và \({M_2}ABC\) cùng bằng \(8\). Khoảng cách giữa hai điểm \({M_1}\), \({M_2}\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?
Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\,{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \(10\,{\rm{m}}\) của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và \(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\). Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).
Hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35 000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(R = 6,4\)(nghìn km). Với hệ tọa độ \(Oxyz\) đã chọn, \(O\) là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;30;0} \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\)thuộc bề mặt Trái Đất. Đặt \(T\)là tổng khoảng cách từ \(M\)đến hai vệ tinh \(A\)và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\)theo đơn vị nghìn km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[A\left( {5\,;7\,;10} \right)\] và \[B\left( {6\,;9\,;12} \right)\]. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\] và \[D\](điểm \[D\]ở độ cao \[26\,{\rm{m}}\] so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách \[A\]một khoảng bằng \[150\,{\rm{m}}\] (tham khảo hình vẽ).
Hỏi \[D\] cách \[C\] một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\)(đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0\]. Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm \[A\left( {40; - 40;12} \right)\], \[B\left( { - 40;50;38} \right)\]. Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng \[M\] di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi\(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
