22 câu hỏi
\[{\vec n_1} = \left( {0\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_2} = \left( {0\,;0\,;0} \right)\].
\[{\vec n_3} = \left( {1\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_4} = \left( {1\,;0\,;0} \right)\].
\({\vec u_1} = \left( {1;\,3;\,2} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( {2;\,1;\,2} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( { - 2;\,1;\,2} \right)\).
\(I\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,0\,;\,2} \right)\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là:
\(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\). Chọn D.
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}\].
\[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
Ta có \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \({\vec u_d} = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,; - 2\,;3} \right)\).
Do đó, phương trình đường thẳng \[d\] là: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\]. Chọn B.
\(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;1; - 1} \right)\).
\(P\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
\(Q\left( {1; - 2;2} \right)\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 12 = 0\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\).
Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình \(x = 0\). Ta có \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1\), mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1\).
Phương trình mặt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 13 = 0\).
Chọn D.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 1\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = - 1\).
\(2x - 3y + 5z - 30 = 0\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 0\).
\(2x - 2y + z - 11 = 0\).
\(2x - 2y + z + 1 = 0\).
\(2x - 2y - z - 11 = 0\).
\( - 2x - 2y + z - 11 = 0\).
Gọi \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\,\left( {m \ne 3} \right)\).
Thay \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) vào \(\left( Q \right)\) ta được: \(m = - 11\) (nhận) \( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 11 = 0.\) Chọn A.
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
\( - \frac{1}{3}\).
Ta có \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,m} \right)\).
\({d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\)\( \Leftrightarrow {d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) có vectơ chỉ phương là \({\vec u_2} = \left( { - 2\,;\,1\,;\,3} \right)\).
\({d_1} \bot {d_2}\)\( \Leftrightarrow {\vec u_1} \bot {\vec u_2}\)\( \Leftrightarrow {\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 0\)\( \Leftrightarrow 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + m \cdot 3 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1\). Chọn A.
\( - \frac{5}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
\(5\).
\(\frac{5}{3}\).
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Ta có hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\,{\vec u_2} = \left( { - 4;1;5} \right)\).
Khi đó, \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Vậy \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ \]. Chọn B.
a) Đúng. Vì \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) nên khi \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).
b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].
c) Sai. Xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\end{array}\\{t = \frac{7}{2}\,\,}\end{array}} \right.\) (Vô lý). Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).
d) Đúng. Gọi đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d\) tại \(N\). Suy ra \(N\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).
Ta có \({\vec u_\Delta } = \overrightarrow {MN} = \left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} \right)\) và \[{\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\].
Vì đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \({\vec u_\Delta } \bot {\vec n_{\left( \alpha \right)}}\).
Suy ra \(1 \cdot \left( {t - 3} \right) + 1 \cdot \left( { - t - 2} \right) - 1 \cdot \left( {2t - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\( - 2t + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(t = 1\).
Do đó, \({\vec u_\Delta } = \left( { - 2; - 3; - 5} \right)\) và \(N\left( {1; - 2;4} \right)\).
Vậy phương trình \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).
Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí A và B cách mặt đất lần lượt là 20 m và 19,9 m (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh; bàn đạp đặt tại vị trí C.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài trong không gian \(Oxyz\) tương ứng với 1m trên thực tế); tọa độ các điểm \(A,B,C\) lần lượt là \(\left( {7;5;20} \right)\;\), \(\left( {7;5,5;19,9} \right),\left( {7;5;19} \right)\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec u = \left( {0;5;1} \right)\).
b) Khi người thợ điện di chuyển đến vị trí điểm \(D\) cách mặt đất 18 m thì tọa độ điểm \(D\) là \(D\left( {7; - 5;18} \right)\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x = 7\).
d) Khoảng cách từ Puly tại \(A\;\) đến bàn đạp tại \(C\) là \(1,03\) m.
a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0,5; - 0,1} \right)\) nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec u = \left( {0;5; - 1} \right).\)
b) Sai. Ta có đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {7;5;20} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {0;5; - 1} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7}\\{y = 5 + 5t}\\{z = 20 - t}\end{array}} \right.\).
Mặt đất là \(\left( {Oxy} \right):z = 0\), điểm \(D\left( {7;5 + 5t;20 - t} \right) \in AB\) cách mặt đất 18 m hay
\(d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = 18 \Leftrightarrow \left| {20 - t} \right| = 18 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 38}\end{array}} \right.\).
Khi đó \(D\left( {7;15;18} \right)\) (điểm \(D\left( {7;195; - 18} \right)\) loại do cao độ của dây không âm).
c) Đúng. Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {7;5;20} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 0,5;0;0} \right)\) hay \(\vec n = \left( {1;0;0} \right)\). Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\;x = 7\).
d) Sai. Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {7 - 7} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {19 - 20} \right)}^2}} = 1\) (m).
a) Đúng. Đổi \(5\,{\rm{km}} = 5000\,{\rm{m}}\), vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\).
b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {7470;6445; - 60} \right) \Rightarrow IA = 9866,23155\,{\rm{m}} > 5000\,{\rm{m}}\) nên người đó không nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng.
c) Đúng. Diện tích phủ sáng của hải đăng lên mặt biển là diện tích hình tròn có tâm là chân ngọn hải đăng, bán kính \(r = \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} = 4999,639987\,{\rm{(m)}}\), khi đó diện tích phủ sáng là
\(S = \pi {R^2} \approx 78\,528\,506,61\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 80\,000\,000\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
d) Đúng. Khoảng cách \(d\) của hai người trong vùng phủ sáng sẽ không vượt quá đường kính đường tròn phủ sáng trên mặt biển (câu c) , khi đó \(d \le 2r \Leftrightarrow d \le 2 \cdot \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} < 10\,000\,\,{\rm{(m)}}\), hay \(d < 10\,{\rm{km}}\).
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - 11; - 6 - \left( { - 15} \right);13 - 0} \right) = \left( { - 11;9;13} \right)\).
b) Đúng. Đường bay \(BM\) của flycam là đường thẳng BM đi qua B nhận \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.\).
c) Sai. Vì mái song song với mặt đất và cách mặt đất 4 m nên mái là mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(z - 4 = 0\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường bay \(BM\) nhận \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên góc tạo bởi BM và mái của công trình được tính bởi \(\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\left| {0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
d) Sai. Gọi \(M\left( {t; - 6 + t;13 - 2t} \right),d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| {13 - 2t - 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow M\left( {3; - 3;7} \right)\\t = 6 \Rightarrow M\left( {6;0;1} \right)\end{array} \right.\).
Vì \(M\) nằm phía trên mái công trình nên chọn \(M\left( {3; - 3;7} \right)\), nên \(a - b - c = - 1.\)
Ta có \[M\left( {0\,;\,0\,;\,m} \right) \in Oz\], \[N\left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t} \right) \in d\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t - m} \right)\].
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[\overrightarrow n = \left( {3\,;\, - 1\,;\,1} \right)\].
Vì \(d'\) song song với \(\left( P \right)\) nên \[\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow n = 0\]\[ \Leftrightarrow 3 + 3t - 2t - 2 + t - m = 0\]\[ \Leftrightarrow m = 2t + 1\].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - t - 3} \right)\]\[ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 4{t^2} + {{\left( { - t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 8t + 10} \].
Độ dài đoạn \(MN\) nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]\[t = - \frac{2}{3}\].
Đoạn dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng \[\sqrt {\frac{{22}}{3}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3} \approx 2,71\].
Đáp án: 2,71.
Ta có
Mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến là: , chọn .
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua B(0;1;2) có một vecto pháp tuyến là x+y+z-3 = 0
Gọi \(M \in d\)\( \Rightarrow M\left( {1 - t\,;\,1 + 2t\,;\,2} \right)\).
Ta có \(d\left( {M\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }}\).
Ta lại có \({V_{MABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = 8\) \( \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} \cdot 4\sqrt 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\, \Rightarrow {M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)\\t = - 7 \Rightarrow {M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)\end{array} \right.\).
Vậy \({M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)\) và \({M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {12\,;\, - 24\,;\,0} \right) \Rightarrow {M_1}{M_2} = 12\sqrt 5 \approx 26,8\).
Đáp án: 26,8.
Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\,{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \(10\,{\rm{m}}\) của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và \(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\). Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).
Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và\(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\).
Đường thẳng \(AB\)đi qua \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {18;\,25; - \,5} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2,5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.\).
Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì \(z = 12 \Rightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}\). Do đó \(x = 13,8;\,\,y = 17,5\).
Vậy tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {13,8;\,17,5;\,12} \right) \Rightarrow a + b + c = 43,3\).
Đáp án: 43,3.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 6,4\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 40,96\).
Ta có \(OA = 30;OB = 30;AB = 30\sqrt 2 \). Suy ra \(\Delta OAB\) cân tại \(O\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó \(H\left( {15;15;0} \right)\), ta có \(OH \bot AB\).
Đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {OH} = \left( {15;15;0} \right) = 15\left( {1;1;0} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
Để \(M \in \left( {OAB} \right)\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất thì \(M,A,B\) phải đồng phẳng và \(MA = MB\).
Vì \(MH\) nhỏ nhất. Khi đó \(M\) là giao điểm của \(OH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tọa độ \(M\) thỏa mãn phương trình: \({t^2} + {t^2} + {0^2} = 40,96 \Leftrightarrow 2{t^2} = 40,96 \Leftrightarrow t = \pm \frac{{16\sqrt 2 }}{5}\).
Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_1}H \approx 14,81\\{M_2}\left( {\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_2}H \approx 27,61.\end{array} \right.\]
Vậy điểm cần tìm là: \[M\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right)\] .
Khi đó, \(T = MA + MB = 2MA = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 30} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 0} \right)}^2} + {0^2}} \approx 51,7\).
Đáp án: 51,7.
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ \[Oxyz\] (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[A\left( {5\,;7\,;10} \right)\] và \[B\left( {6\,;9\,;12} \right)\]. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\] và \[D\](điểm \[D\] ở độ cao \[26\,{\rm{m}}\] so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách \[A\] một khoảng bằng \[150\,{\rm{m}}\] (tham khảo hình vẽ).
Hỏi \[D\] cách \[C\] một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi \[M = AB \cap CD\] (là điểm hai viên đạn va chạm nhau) khi đó \[AM = 150\,{\rm{m}}\;(1)\].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;2\,;2} \right)\] là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\].
Phương trình tham số đường thẳng \[AB\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = 7 + 2t}\\{z = 10 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\].
Do \[M \in AB \Rightarrow M\left( {5 + t;7 + 2t;10 + 2t} \right)\]. Từ (1) ta có \[\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150 \Leftrightarrow \left| t \right| = 50\].
Với \[t = 50 \Rightarrow M\left( {55;107;110} \right)\] và với \[t = - 50 \Rightarrow M\left( { - 45; - 93; - 90} \right)\].
Vì cao độ điểm \[D\] dương nên cao độ của điểm \[M\] dương\[ \Rightarrow M\left( {55\,;107\,;110} \right)\].
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \[CD\] là \[\overrightarrow {CM} = \left( {40;90;105} \right)\].
Khi đó, phương trình tham số đường thẳng \[CD\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 + 40t'}\\{y = 17 + 90t'}\\{z = 5 + 105t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R})\].
Mà điểm \[D\] cách mặt đất \[26\,{\rm{m}}\] nên điểm \[D\] có cao độ bằng \[26\]
\[ \Rightarrow \]\[5 + 105t' = 26 \Leftrightarrow t' = \frac{1}{5} \Rightarrow D\left( {23\,;35\,;26} \right)\]. \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\]
Khi đó độ dài \[CD = \sqrt {{{\left( {15 - 23} \right)}^2} + {{\left( {17 - 35} \right)}^2} + {{\left( {5 - 26} \right)}^2}} \approx 28,8\,\,{\rm{(m)}}.\]
Đáp án: 28,8.
Gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Góc tạo bởi \(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau.
Nên ta có \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}}\).
Mà \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 40 + 2 \cdot \left( { - 40} \right) - 12 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\); \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 40} \right) + 2 \cdot 50 - 38 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 10\].
\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5MA = 4MB\). Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó, ta được:
\(25 \cdot \left[ {{{\left( {x - 40} \right)}^2} + {{\left( {y + 40} \right)}^2} + {{\left( {z - 12} \right)}^2}} \right] = 16 \cdot \left[ {{{\left( {x + 40} \right)}^2} + {{\left( {y - 50} \right)}^2} + {{\left( {z - 38} \right)}^2}} \right]\).
Rút gọn ta được phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) chứa các điểm \(M\) thoả mãn yêu cầu kĩ thuật:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{3280}}{9}x + 400y + \frac{{616}}{9}z - \frac{{5104}}{9} = 0\).
Đồng thời, vì điểm \(M\) nằm trên mặt vườn nên \(M \in \left( P \right):\;{\mkern 1mu} 2x + 2y - z - 12 = 0\).
Như vậy, tập hợp điểm \(M\) cần tìm là giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), tức là một đường tròn \(\left( C \right)\).
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), ta được: \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\).
Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\):
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{{1640}}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - 200} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 308}}{9}} \right)}^2} + \frac{{5104}}{9}} = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d = \frac{{\left| {2 \cdot \frac{{1640}}{9} + 2 \cdot \left( { - 200} \right) + \frac{{308}}{9} - 12} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{40}}{9}\).
Bán kính đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\): \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {\frac{{6068800}}{{81}}} \).
Vậy độ dài đường ray là chu vi đường tròn \(\left( C \right)\): \(l = 2\pi r \approx 1720\;{\rm{(m)}}\).
Đáp án: 1720.
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
