Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)
22 câu hỏi
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] có một vectơ pháp tuyến là
\[{\vec n_1} = \left( {0\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_2} = \left( {0\,;0\,;0} \right)\].
\[{\vec n_3} = \left( {1\,;1\,;1} \right)\].
\[{\vec n_4} = \left( {1\,;0\,;0} \right)\].
Do mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right) \bot Ox\] nên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \[{\vec n_4} = \overrightarrow i = \left( {1\,;0\,;0} \right)\]. Chọn D.
Trong không gian \[Oxyz\], đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\) cómột vectơ chỉ phương là
\({\vec u_1} = \left( {1;\,3;\,2} \right)\).
\({\vec u_2} = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).
\({\vec u_3} = \left( {2;\,1;\,2} \right)\).
\({\vec u_4} = \left( { - 2;\,1;\,2} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\)?
\(I\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,1\,;\,2} \right)\).
\(I\left( { - 1\,;\,0\,;\,2} \right)\).
Tâm của mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) là điểm \(I\left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)\). Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\)?
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là:
\(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\). Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\]đi qua điểm \[M\left( {1;\, - 2;\,3} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0\] là
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}\].
\[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\].
Ta có \[d\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \({\vec u_d} = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,; - 2\,;3} \right)\).
Do đó, phương trình đường thẳng \[d\]là: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\]. Chọn B.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y + z - 2 = 0\). Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
\(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;1; - 1} \right)\).
\(P\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
\(Q\left( {1; - 2;2} \right)\).
Ta có \(2 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) - 2 = 0\) nên \(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\)thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Chọn A.
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 12 = 0\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\).
Mặt phẳng\(\left( {Oyz} \right)\)cóphương trình \(x = 0\). Ta có \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1\), mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1\).
Phương trình mặt cầu là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 13 = 0\).
Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(E\left( {2;0;0} \right)\), \(F\left( {0; - 3;0} \right)\) và \(K\left( {0;0;5} \right)\) là
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 1\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = - 1\).
\(2x - 3y + 5z - 30 = 0\).
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(E\left( {2;0;0} \right)\), \(F\left( {0; - 3;0} \right)\) và \(K\left( {0;0;5} \right)\) nên có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 15x - 10y + 6z - 30 = 0\). Chọn A.
Trong không gian \[Oxyz,\]cho điểm \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 3 = 0\). Mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là:
\(2x - 2y + z - 11 = 0\).
\(2x - 2y + z + 1 = 0\).
\(2x - 2y - z - 11 = 0\).
\( - 2x - 2y + z - 11 = 0\).
Gọi \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\,\left( {m \ne 3} \right)\).
Thay \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) vào \(\left( Q \right)\) ta được: \(m = - 11\) (nhận) \( \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 11 = 0.\)Chọn A.
Trong không gian \[Oxyz\] cho \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) là hai đường thẳng vuông góc nhau. Khi đó, giá trị của \(m\) bằng
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
\( - \frac{1}{3}\).
Ta có \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,m} \right)\).
\({d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\)\( \Leftrightarrow {d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) có vectơ chỉ phương là \({\vec u_2} = \left( { - 2\,;\,1\,;\,3} \right)\).
\({d_1} \bot {d_2}\)\( \Leftrightarrow {\vec u_1} \bot {\vec u_2}\)\( \Leftrightarrow {\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 0\)\( \Leftrightarrow 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + m \cdot 3 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1\). Chọn A.
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách từ điểm \[M\left( { - 1;\,2;\,0} \right)\] đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[2x - 2y + z + 1 = 0\] bằng
\( - \frac{5}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
\(5\).
\(\frac{5}{3}\).
Ta có \[d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}\]. Chọn D.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3t\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.,\,\,\,{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}.\]
Góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) bằng bao nhiêu độ?
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Ta có hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\,{\vec u_2} = \left( { - 4;1;5} \right)\).
Khi đó, \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Vậy \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ \]. Chọn B.
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng\(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\).
a) Điểm \(A\) có tọa độ dạng \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) với \(t \in \mathbb{R}\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].
c) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), cắt đường thẳng \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).
a) Đúng. Vì \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) nên khi \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).
b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].
c) Sai. Xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\end{array}\\{t = \frac{7}{2}\,\,}\end{array}} \right.\) (Vô lý). Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).
d) Đúng. Gọi đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d\) tại \(N\). Suy ra \(N\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).
Ta có \({\vec u_\Delta } = \overrightarrow {MN} = \left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} \right)\) và \[{\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\].
Vì đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \({\vec u_\Delta } \bot {\vec n_{\left( \alpha \right)}}\).
Suy ra \(1 \cdot \left( {t - 3} \right) + 1 \cdot \left( { - t - 2} \right) - 1 \cdot \left( {2t - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\( - 2t + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(t = 1\).
Do đó, \({\vec u_\Delta } = \left( { - 2; - 3; - 5} \right)\) và \(N\left( {1; - 2;4} \right)\).
Vậy phương trình \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).
Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí A và B cách mặt đất lần lượt là 20 m và 19,9 m (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh; bàn đạp đặt tại vị trí C.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)sao cho mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài trong không gian \(Oxyz\)tương ứng với 1m trên thực tế); tọa độ các điểm \(A,B,C\)lần lượt là \(\left( {7;5;20} \right)\;\), \(\left( {7;5,5;19,9} \right),\left( {7;5;19} \right)\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\)là \(\vec u = \left( {0;5;1} \right)\).
b) Khi người thợ điện di chuyển đến vị trí điểm \(D\) cách mặt đất 18 m thì tọa độ điểm \(D\) là \(D\left( {7; - 5;18} \right)\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(x = 7\).
d) Khoảng cách từ Puly tại \(A\;\)đến bàn đạp tại \(C\) là \(1,03\)m.
a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0,5; - 0,1} \right)\) nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là\(\vec u = \left( {0;5; - 1} \right).\)
b) Sai. Ta có đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {7;5;20} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {0;5; - 1} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7}\\{y = 5 + 5t}\\{z = 20 - t}\end{array}} \right.\).
Mặt đất là \(\left( {Oxy} \right):z = 0\), điểm \(D\left( {7;5 + 5t;20 - t} \right) \in AB\) cách mặt đất 18 m hay
\(d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = 18 \Leftrightarrow \left| {20 - t} \right| = 18 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 38}\end{array}} \right.\).
Khi đó \(D\left( {7;15;18} \right)\) (điểm \(D\left( {7;195; - 18} \right)\) loại do cao độ của dây không âm).
c) Đúng. Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {7;5;20} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 0,5;0;0} \right)\) hay \(\vec n = \left( {1;0;0} \right)\). Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\;x = 7\).
d) Sai. Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {7 - 7} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {19 - 20} \right)}^2}} = 1\) (m).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một ngọn hải đăng cao \[60{\rm{ m}}\] so với mực nước biển được đặt ở vị trí \[I\left( {30;55;60} \right)\]có bán kính phủ sáng là \(5\) km.
a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\) .
b) Nếu người đi biển ở vị trí \(A\left( {7500;6500;0} \right)\) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.
c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá \[80\] triệu mét vuông.
d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá \[10\] km.
a) Đúng. Đổi \(5\,{\rm{km}} = 5000\,{\rm{m}}\), vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\).
b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {7470;6445; - 60} \right) \Rightarrow IA = 9866,23155\,{\rm{m}} > 5000\,{\rm{m}}\)nên người đó không nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng.
c) Đúng. Diện tích phủ sáng của hải đăng lên mặt biển là diện tích hình tròn có tâm là chân ngọn hải đăng, bán kính \(r = \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} = 4999,639987\,{\rm{(m)}}\), khi đó diện tích phủ sáng là
\(S = \pi {R^2} \approx 78\,528\,506,61\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 80\,000\,000\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
d) Đúng. Khoảng cách \(d\) của hai người trong vùng phủ sáng sẽ không vượt quá đường kính đường tròn phủ sáng trên mặt biển (câu c) , khi đó \(d \le 2r \Leftrightarrow d \le 2 \cdot \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} < 10\,000\,\,{\rm{(m)}}\), hay \(d < 10\,{\rm{km}}\).
Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất \(4{\rm{ m}}\). Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm \(A\left( {11; - 15;0} \right)\) đến điểm \(B\left( {0; - 6;13} \right)\), sau đó từ điểm \(B\) flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\) để tìm một vị trí điểm \(M\) phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.
a) Đường bay\(AB\) của flycam có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 11;9;13} \right)\).
b) Đường bay \(BM\) của flycam có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.\).
c) Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi đường bay \(BM\) và mái của công trình. Khi đó \(\sin \varphi = - \frac{2}{{\sqrt 6 }}.\)
d) Để đảm bảo an toàn cho công nhân làm việc trên mái công trình, điểm quan sát \(M\) của flycam phải ở phía trên mái công trình và cách mái công trình \(3{\rm{ m}}\). Biết rằng điểm \(M\left( {a;b;c} \right),\) khi đó \(a - b - c = - 7.\)
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - 11; - 6 - \left( { - 15} \right);13 - 0} \right) = \left( { - 11;9;13} \right)\).
b) Đúng. Đường bay \(BM\) của flycam là đường thẳng BM đi qua B nhận \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.\).
c) Sai. Vì mái song song với mặt đất và cách mặt đất 4 m nên mái là mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(z - 4 = 0\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường bay \(BM\)nhận \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương nên góc tạo bởi BM và mái của công trình được tính bởi \(\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\left| {0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\).
d) Sai. Gọi \(M\left( {t; - 6 + t;13 - 2t} \right),d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| {13 - 2t - 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow M\left( {3; - 3;7} \right)\\t = 6 \Rightarrow M\left( {6;0;1} \right)\end{array} \right.\).
Vì \(M\) nằm phía trên mái công trình nên chọn \(M\left( {3; - 3;7} \right)\), nên \(a - b - c = - 1.\)
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \(d'\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\) và \(d'\) song song với \(\left( P \right)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Ta có \[M\left( {0\,;\,0\,;\,m} \right) \in Oz\], \[N\left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t} \right) \in d\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t - m} \right)\].
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \[\overrightarrow n = \left( {3\,;\, - 1\,;\,1} \right)\].
Vì \(d'\) song song với \(\left( P \right)\) nên \[\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow n = 0\]\[ \Leftrightarrow 3 + 3t - 2t - 2 + t - m = 0\]\[ \Leftrightarrow m = 2t + 1\].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - t - 3} \right)\]\[ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 4{t^2} + {{\left( { - t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 8t + 10} \].
Độ dài đoạn \(MN\) nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]\[t = - \frac{2}{3}\].
Đoạn dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\)bằng \[\sqrt {\frac{{22}}{3}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3} \approx 2,71\].
Đáp án: 2,71.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {4\,;\,1\,;\, - 2} \right)\], \[B\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\] và \[C\left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)\]. Trên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 2\end{array} \right.\,,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho thể tích hai khối tứ diện \({M_1}ABC\) và \({M_2}ABC\) cùng bằng \(8\). Khoảng cách giữa hai điểm \({M_1}\), \({M_2}\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?
Ta có AB→=(-4;0;4) , AC→=(-5;2;3) ⇒AB,→AC→=(-8;-8;-8) ⇒AB,→AC→= (-8)2+(-8)2+(-8)2=83 ⇒ S△ABC = 12AB,→AC→ = 43
Mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến là: n→=AB,→AC→ = (-8;-8;-8), chọn n→=(1;1;1).
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua B(0;1;2) có một vecto pháp tuyến n→=(1;1;1) là x+y+z-3 = 0
Gọi \(M \in d\)\( \Rightarrow M\left( {1 - t\,;\,1 + 2t\,;\,2} \right)\).
Ta có \(d\left( {M\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }}\).
Ta lại có \({V_{MABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = 8\)\( \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} \cdot 4\sqrt 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\, \Rightarrow {M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)\\t = - 7 \Rightarrow {M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)\end{array} \right.\).
Vậy \({M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)\) và \({M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {12\,;\, - 24\,;\,0} \right) \Rightarrow {M_1}{M_2} = 12\sqrt 5 \approx 26,8\).
Đáp án: 26,8.
Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\,{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \(10\,{\rm{m}}\) của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và \(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\). Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).
Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và\(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\).
Đường thẳng \(AB\)đi qua \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {18;\,25; - \,5} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2,5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.\).
Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì \(z = 12 \Rightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}\). Do đó \(x = 13,8;\,\,y = 17,5\).
Vậy tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {13,8;\,17,5;\,12} \right) \Rightarrow a + b + c = 43,3\).
Đáp án: 43,3.
Hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35 000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(R = 6,4\)(nghìn km). Với hệ tọa độ \(Oxyz\) đã chọn, \(O\) là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;30;0} \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\)thuộc bề mặt Trái Đất. Đặt \(T\)là tổng khoảng cách từ \(M\)đến hai vệ tinh \(A\)và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\)theo đơn vị nghìn km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 6,4\)có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 40,96\).
Ta có \(OA = 30;OB = 30;AB = 30\sqrt 2 \). Suy ra \(\Delta OAB\) cân tại \(O\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó \(H\left( {15;15;0} \right)\), ta có \(OH \bot AB\).
Đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {OH} = \left( {15;15;0} \right) = 15\left( {1;1;0} \right)\)là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
Để \(M \in \left( {OAB} \right)\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất thì \(M,A,B\) phải đồng phẳng và \(MA = MB\).
Vì \(MH\) nhỏ nhất. Khi đó \(M\) là giao điểm của \(OH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tọa độ \(M\) thỏa mãn phương trình: \({t^2} + {t^2} + {0^2} = 40,96 \Leftrightarrow 2{t^2} = 40,96 \Leftrightarrow t = \pm \frac{{16\sqrt 2 }}{5}\).
Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_1}H \approx 14,81\\{M_2}\left( {\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_2}H \approx 27,61.\end{array} \right.\]
Vậy điểm cần tìm là: \[M\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right)\] .
Khi đó, \(T = MA + MB = 2MA = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 30} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 0} \right)}^2} + {0^2}} \approx 51,7\).
Đáp án: 51,7.
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[A\left( {5\,;7\,;10} \right)\] và \[B\left( {6\,;9\,;12} \right)\]. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\] và \[D\](điểm \[D\]ở độ cao \[26\,{\rm{m}}\] so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách \[A\]một khoảng bằng \[150\,{\rm{m}}\] (tham khảo hình vẽ).
Hỏi \[D\] cách \[C\] một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi \[M = AB \cap CD\] (là điểm hai viên đạn va chạm nhau) khi đó \[AM = 150\,{\rm{m}}\;(1)\].
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;2\,;2} \right)\]là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\].
Phương trình tham số đường thẳng \[AB\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = 7 + 2t}\\{z = 10 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\].
Do \[M \in AB \Rightarrow M\left( {5 + t;7 + 2t;10 + 2t} \right)\]. Từ (1) ta có \[\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150 \Leftrightarrow \left| t \right| = 50\].
Với \[t = 50 \Rightarrow M\left( {55;107;110} \right)\] và với \[t = - 50 \Rightarrow M\left( { - 45; - 93; - 90} \right)\].
Vì cao độ điểm \[D\]dương nên cao độ của điểm \[M\]dương\[ \Rightarrow M\left( {55\,;107\,;110} \right)\].
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \[CD\] là \[\overrightarrow {CM} = \left( {40;90;105} \right)\].
Khi đó, phương trình tham số đường thẳng \[CD\] là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 + 40t'}\\{y = 17 + 90t'}\\{z = 5 + 105t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R})\].
Mà điểm \[D\]cách mặt đất \[26\,{\rm{m}}\] nên điểm \[D\] có cao độ bằng \[26\]
\[ \Rightarrow \]\[5 + 105t' = 26 \Leftrightarrow t' = \frac{1}{5} \Rightarrow D\left( {23\,;35\,;26} \right)\]. \[C\left( {15\,;17\,;5} \right)\]
Khi đó độ dài \[CD = \sqrt {{{\left( {15 - 23} \right)}^2} + {{\left( {17 - 35} \right)}^2} + {{\left( {5 - 26} \right)}^2}} \approx 28,8\,\,{\rm{(m)}}.\]
Đáp án: 28,8.
Trong hệ toạ độ \(Oxyz\)(đơn vị độ dài trên mỗi trục tính là mét), một vườn hoa nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z - 12 = 0\]. Có hai bóng đèn chiếu sáng cố định được đặt tại các điểm \[A\left( {40; - 40;12} \right)\], \[B\left( { - 40;50;38} \right)\]. Để đảm bảo kĩ thuật chiếu sáng, các kỹ sư muốn thiết kế trên mặt vườn một đường ray để lắp đặt một đèn chiếu sáng \[M\] di động trên đường ray ấy. Yêu cầu kĩ thuật đặt ra là góc tạo bởi\(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau. Độ dài đường ray là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Góc tạo bởi \(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau.
Nên ta có \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}}\).
Mà \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 40 + 2 \cdot \left( { - 40} \right) - 12 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\); \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 40} \right) + 2 \cdot 50 - 38 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 10\].
\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5MA = 4MB\). Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó, ta được:
\(25 \cdot \left[ {{{\left( {x - 40} \right)}^2} + {{\left( {y + 40} \right)}^2} + {{\left( {z - 12} \right)}^2}} \right] = 16 \cdot \left[ {{{\left( {x + 40} \right)}^2} + {{\left( {y - 50} \right)}^2} + {{\left( {z - 38} \right)}^2}} \right]\).
Rút gọn ta được phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) chứa các điểm \(M\) thoả mãn yêu cầu kĩ thuật:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{3280}}{9}x + 400y + \frac{{616}}{9}z - \frac{{5104}}{9} = 0\).
Đồng thời, vì điểm \(M\) nằm trên mặt vườn nên \(M \in \left( P \right):\;{\mkern 1mu} 2x + 2y - z - 12 = 0\).
Như vậy, tập hợp điểm \(M\) cần tìm là giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), tức là một đường tròn \(\left( C \right)\).
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), ta được: \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\).
Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\):
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{{1640}}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - 200} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 308}}{9}} \right)}^2} + \frac{{5104}}{9}} = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d = \frac{{\left| {2 \cdot \frac{{1640}}{9} + 2 \cdot \left( { - 200} \right) + \frac{{308}}{9} - 12} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{40}}{9}\).
Bán kính đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\): \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {\frac{{6068800}}{{81}}} \).
Vậy độ dài đường ray là chu vi đường tròn \(\left( C \right)\): \(l = 2\pi r \approx 1720\;{\rm{(m)}}\).
Đáp án: 1720.
