Đề ôn luyện Toán Chương 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
32 câu hỏi
Phương trình \({4^{2x - 4}} = 16\) có nghiệm là
\(x = 2\).
\(x = 3\).
\(x = 4\).
\(x = 1\).
Ta có \({4^{2x - 4}} = 16\)\( \Leftrightarrow {4^{2x - 4}} = {4^2}\)\( \Leftrightarrow 2x - 4 = 2\)\( \Leftrightarrow x = 3\). Chọn B.
Số nghiệm của phương trình \({2^{\sqrt x }} = {2^{2 - x}}\) là
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Ta có 2x = 22-x⇔x=2 -x ⇔2 -x ≥ 0x = (2-x)2⇔x ≥ 2x2-5x+4=0⇔x≤2 ⇔x=1x = 1 hoặc x = 4
Chọn B.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,5}}\left( {2x + 6} \right) \ge - 5\) là
16.
13.
15.
8.
Điều kiện: \(2x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > - 3\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{0,5}}\left( {2x + 6} \right) \ge - 5 \Leftrightarrow 2x + 6 \le 32 \Leftrightarrow 2x \le 26 \Leftrightarrow x \le 13\).
Kết hợp với điều kiện ta được \( - 3 < x \le 13\).Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1; \ldots ;13} \right\}\).Chọn A.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) \le 1\) là
\(\left[ {1;3} \right]\).
\(\left[ {3;5} \right]\).
\(\left( {1;5} \right)\).
\(\left( {1;3} \right]\).
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow x - 1 \le 2 \Leftrightarrow x \le 3\).
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1;3} \right]\).Chọn D.
Nghiệm của bất phương trình \({\left( {0,5} \right)^x} > 3\) là
\(x > {\log _{0,5}}3\).
\(x < {\log _{0,5}}3\).
\(x < {\log _3}0,5\).
\(x > {\log _3}0,5\).
Ta có \({\left( {0,5} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < {\log _{0,5}}3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,0 < 0,5 < 1} \right)\). Chọn B.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - 1}} \ge 128\) là
\(\left( { - \infty ;\frac{8}{3}} \right]\).
\(\left[ {\frac{1}{8}; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{{10}}{3}} \right]\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - 1}} \ge 128\)\( \Leftrightarrow {8^{1 - x}} \ge 128\)\( \Leftrightarrow 1 - x \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}128\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{ - 4}}{3}\).Chọn C.
Phương trình\({\log _3}\left( {{2^x} - 1} \right) = 4\) có nghiệm là
\[x = {\log _2}82\].
\[x = {\log _2}65\].
\[x = {\log _2}81\].
\[x = {\log _2}66\].
Ta có \({\log _3}\left( {{2^x} - 1} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow {2^x} - 1 = 81\)\( \Leftrightarrow x = {\log _2}82\).Chọn A.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 1} \right) \le 3\) là
А. 7.
6.
9.
8.
Điều kiện: \(x > - 1\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 1} \right) \le 3 \Leftrightarrow x + 1 \le 8 \Leftrightarrow x \le 7\).
Kết hợp với điều kiện ta được \( - 1 < x \le 7\). Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1; \ldots ;7} \right\}\).
Vậy có 8 nghiệm nguyên thỏa mãn.Chọn D.
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{3x + 1}} < \frac{1}{9}\) là
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Ta có \({3^{3x + 1}} < \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^{3x + 1}} < {3^{ - 2}} \Leftrightarrow 3x + 1 < - 2 \Leftrightarrow x < - 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\). Chọn D.
Nghiệm của phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) = 2\) là
8.
9.
7.
10.
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Rightarrow x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn). Chọn D.
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({2^{{x^2} + 7x + 10}} = 1\) là
\(S = \left\{ {2;5} \right\}\).
\(S = \left\{ { - 5; - 2} \right\}\).
\(S = \left\{ { - 5;2} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{{ - 7 - \sqrt {13} }}{2};\frac{{ - 7 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}\).
Có \({2^{{x^2} + 7x + 10}} = 1 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 7x + 10}} = {2^0} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 5\) hoặc \(x = - 2\). Chọn B.
Bất phương trình \({3^{{x^2} - 2x}} \le 27\) có số nghiệm nguyên là
4.
3.
5.
Vô số.
Ta có \({3^{{x^2} - 2x}} \le 27 \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 5 nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} \le \frac{1}{{27}}\) là
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left[ {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} \le \frac{1}{{27}} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \Rightarrow x + 1 \ge 3 \Rightarrow x \ge 2\). Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right) - 1 > 0\) là
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left( {6; + \infty } \right)\).
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right) - 1 > 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right) > 1\)\( \Leftrightarrow x - 2 > 3\)\( \Leftrightarrow x > 5\).
Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {5; + \infty } \right)\). Chọn C.
Nghiệm của phương trình \({3^{x - 1}} = 27\) là
\(x = 5\).
\(x = 3\).
\[x = 4\].
\[x = 2\].
Ta có \({3^{x - 1}} = 27 \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1\] là
\[\left( { - \infty ;1} \right)\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( {0;3} \right)\].
Ta có \[{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) > - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x + 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 1\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left( { - 1;1} \right)\]. Chọn B.
Nghiệm của phương trình \[{3^x} = 12\] là
\[x = 4\].
\[x = 9\].
\[x = {\log _3}12\].
\[x = {\log _{12}}3\].
Ta có \[{3^x} = 12 \Leftrightarrow x = {\log _3}12\]. Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log \left( {x + 1} \right) < 2\) là
\(\left( { - 1;1023} \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 1;99} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1023} \right)\).
Điều kiện \(x > - 1\). Ta có \(\log \left( {x + 1} \right) < 2 \Leftrightarrow x + 1 < {10^2} \Leftrightarrow x < 99\).
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 1;99} \right)\). Chọn C.
Giải phương trình \({3^{x - 2}} = 5\) ta được nghiệm là
\(x = 2 + {\log _3}5\).
\(x = - 2 + {\log _5}3\).
\(x = 2 + {\log _5}3\).
\(x = - 2 + {\log _3}5\).
Ta có \({3^{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow x - 2 = {\log _3}5 \Leftrightarrow x = 2 + {\log _3}5\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2 + {\log _3}5\). Chọn A.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^{ - 3}}\) là
\(\left( { - \infty \,;\,3} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\,3} \right]\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( {\frac{1}{3}\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^{ - 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow x < 3\).
Suy ra tập nghiệm bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \infty \,;\,3} \right)\). Chọn A.
Số nghiệm của phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 1\) là
\(1\).
\(3\).
\(0\).
\(2\).
Ta có
log 5(x2 -3x + 5) =1 ⇔x2 -3x +5=5x2 -3x +5 > 0⇔x2 -3x =0x ∈ R⇔x = 0 hoặc x =3
Vậy số nghiệm của phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 1\) là 2. Chọn D.
Cho bất phương trình \[{\log _3}\left( {\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}} \right) > 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].
a)\[x = 3\] là một nghiệm của bất phương trình \[\left( 1 \right)\].
b)Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là \(D = \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
c)Tập nghiệm của bất phương trình \[\left( 1 \right)\]là \(S = \left( {1;2} \right)\).
d) Bất phương trình \[\left( 1 \right)\] có 2 nghiệm nguyên.
a) Sai. Vì \[{\log _3}\left( {\frac{{2 \cdot 3 - 1}}{{3 - 1}}} \right) \approx 0,83 < 1\,\] nên \[x = 3\] không là một nghiệm của bất phương trình \[\left( 1 \right)\].
b) Sai. Điều kiện: \[\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right.\] hay \(D = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
c) Đúng. Với điều kiện \(x \in D = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có
\[{\log _3}\left( {\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}} \right) > 1 \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} > 3 \Leftrightarrow \frac{{2x - 1 - 3x + 3}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - x}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2\].
Kết hợp điều kiện ta được, tập nghiệm của bất phương trình \[\left( 1 \right)\]là \(S = \left( {1;2} \right)\).
d) Sai. Không có giá trị nguyên nào thuộc khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nên bất phương trình \[\left( 1 \right)\] không có nghiệm nguyên.
Cho phương trình \({\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}x + 2\).
a) Phương trình xác định khi \[0 < x < 3\].
b) Ta luôn có \({\log _3}x + 2 = {\log _3}\left( {x + 9} \right)\) (với x thỏa mãn điều kiện xác định).
c)Phương trình \({\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}x + 2\) được biến đổi về dạng \({\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}\left( {9x} \right)\).
d) Phương trình \({\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}x + 2\) có nghiệm là \(x = \frac{1}{{12}}\).
a) Sai. Phương trình xác định khi\[\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{3}\].
b) Sai. Với\(x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right)\), ta có \({\log _3}x + 2 = {\log _3}x + {\log _3}9 = {\log _3}\left( {9x} \right)\).
c) Đúng.Phương trình \({\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}x + 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}\left( {9x} \right)\).
d) Đúng.\[{\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}x + 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - 3x} \right) = {\log _3}\left( {9x} \right) \Leftrightarrow 1 - 3x = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{{12}}\](TMĐK).
Cho phương trình \[{2^{{x^2} + x - 2}} = {4^{2 + x}}{\rm{ }}\left( * \right)\].
a) Phương trình \[\left( * \right)\] được biến đổi thành \({x^2} + x - 2 = 2 + x\).
b)Phương trình \[\left( * \right)\] có một nghiệm nguyên dương.
c) Phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\) và phương trình \[\left( * \right)\] là hai phương trình tương đương.
d) Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\]bằng \(1\).
Ta có \[{2^{{x^2} + x - 2}} = {4^{2 + x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 2}} = {2^{2\left( {2 + x} \right)}}\]\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 4 + 2x \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 2\end{array} \right.\).
a) Sai.Phương trình \[\left( * \right)\] được biến đổi thành \({x^2} + x - 2 = 4 + 2x\).
b) Đúng. Phương trình \[\left( * \right)\] có một nghiệm nguyên dương là \(x = 3\).
c) Sai.Phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\)không tương đương với phương trình \[\left( * \right)\].
d) Đúng. Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\]bằng \(3 + \left( { - 2} \right) = 1\).
Cho bất phương trình \({\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 4x}} > {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{5 - 2x}}\).
a) Ta có \(3 + 2\sqrt 2 = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\).
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình \({x^2} - 4x > 2x - 5\).
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5.
d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9.
a) Đúng. Ta có \[\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 1 \Rightarrow 3 + 2\sqrt 2 = \frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }} = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\].
b) Sai.\({\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 4x}} > {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{5 - 2x}} \Leftrightarrow {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 4x}} > {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2x - 5}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x < 2x - 5\).
c) Sai. Ta có \({x^2} - 4x < 2x - 5 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 5\).
Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là 2; 3; 4.
d) Đúng. Tổng các nghiệm nguyên là \(2 + 3 + 4 = 9\).
Trong quá trình nghiên cứu một chất phóng xạ, người ta thấy rằng lượng chất phóng xạ còn lại \(N\left( t \right)\) (tính bằng gam) tại thời điểm \(t\) (tính bằng ngày) được tính theo công thức \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - kt}}\). Biết rằng ban đầu (tại \(t = 0\)), khối lượng của chất phóng xạ là \({N_0} = 120\,\,{\rm{gam}}\). Sau 10 ngày, khối lượng của chất phóng xạ giảm còn 60 gam.
a) Công thức biểu diễn lượng chất phóng xạ còn lại theo thời gian \(t\) là \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).
b) Hằng số phân rã \(k\) bằng \(\frac{1}{{10}}\ln \frac{1}{2}\).
c) Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(30\) gam.
d) Sau \(m\) ngày thì lượng chất phóng xạ còn 15 gam. Khi đó \(m\) là số tự nhiên chẵn và chia hết cho \(3\).
a) Đúng. Khi \(t = 0\): \({N_0} = 120\,\,{\rm{gam}}\) nên \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).
b) Sai. Sau 10 ngày: \(N\left( {10} \right) = 120 \cdot {e^{ - 10k}} \Leftrightarrow 60 = 120 \cdot {e^{ - 10k}}\)
\( \Leftrightarrow {e^{ - 10k}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 10k = \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow 10k = \ln 2 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{10}}\ln 2\).
c) Đúng. Từ ý a) và b) ta có \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}}\).
Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(N\left( {20} \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)\, \cdot \,20}} = 30\) (gam).
d) Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 15 \Leftrightarrow 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = 15 \Leftrightarrow {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln \frac{1}{8}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln 8 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\frac{1}{{10}}\ln 2}} \Leftrightarrow t = 10 \cdot \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}} = 30\).
Như vậy, sau \(30\) ngày thì lượng chất phóng xạ còn 15 gam.
Nếu một người gửi số tiền \(A\) với lãi suất kép \(r\) mỗi kì thì sau \(n\) kì, số tiền \(T\) người ấy thu được cả vốn lẫn lãi được cho bởi công thức \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).
Một người gửi tiết kiệm 10 tỉ đồng theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng với lãi suất \(7\% \) một năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng?
Theo công thức lãi kép: \({T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\), số tiền người đó nhận được sau \(n\) năm là:
\({T_n} = 10 \cdot {10^9}{\left( {1 + 7\% } \right)^n} = {10^{10}} \cdot 1,{07^n}\)(đồng).
Để nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng thì
\({T_n} = {10^{10}} \cdot 1,{07^n} > 12 \cdot {10^9} \Leftrightarrow 1,{07^n} > \frac{6}{5} \Leftrightarrow n > {\log _{1,07}}\left( {\frac{6}{5}} \right) \approx 2,695.\)
Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn nên sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng.
Đáp án: 3.
Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức mũ như sau \(Q\left( t \right) = {Q_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{3t}}{2}}}} \right)\), với \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giờ và \({Q_o}\) là dung lượng nạp tối đa. Hãy tính thời gian nạp pin của điện thoại tính từ lúc cạn pin cho đến khi điện thoại đạt được \(80\% \) dung lượng pin tối đa (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị giờ).
Theo giả thiết, ta có phương trình:
\(\frac{{80}}{{100}}{Q_o} = {Q_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{3t}}{2}}}} \right) \Rightarrow {e^{ - \frac{{3t}}{2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow - \frac{{3t}}{2} = - \ln 5 \Rightarrow t \approx 1,07{\rm{ }}\)giờ.
Vậy thời gian nạp pin của điện thoại là khoảng 1,07 giờ.
Đáp án: 1,07.
Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: \(kt = \ln \frac{{T - S}}{{{T_0} - S}}\) trong đó \(t\) là số giờ trôi qua, \({T_0}\) là nhiệt độ lúc đầu, \(T\) là nhiệt độ sau \(t\) giờ, \(S\) là nhiệt độ môi trường (\({T_0}\,,\,T\,,\,S\) theo cùng một đơn vị đo), \(k\) là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ \(96^\circ {\rm{C}}\), sau 2 phút nhiệt độ giảm còn \(90^\circ {\rm{C}}\). Biết nhiệt độ phòng là \(24^\circ {\rm{C}}\). Nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút bằng bao nhiêu độ C (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Thay \(t = 2\) phút \( = \frac{1}{{30}}\) giờ, \({T_0} = 96\,,\,T = 90\,,\,S = 24\) ta có \(\frac{1}{{30}}k = \ln \frac{{90 - 24}}{{96 - 24}}\). Do đó \(k = 30\ln \frac{{11}}{{12}}\).
Sau 10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ, ta có \(\frac{1}{6}k = \ln \frac{{T - 24}}{{96 - 24}}\) hay \(5\ln \frac{{11}}{{12}} = \ln \frac{{T - 24}}{{72}}\). Do đó \(\frac{{T - 24}}{{72}} = {\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)^5}\).
Suy ra \(T = 72.{\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)^5} + 24 \approx 70,6^\circ {\rm{C}}\).
Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút khoảng \(70,6\,^\circ {\rm{C}}\).
Đáp án: 70,6.
Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của một chiếc ô tô giảm đi\(6\% \)so với năm trước đó. Giả sử một chiếc ô tô lúc mới mua là \(800\) triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị còn lại của chiếc ô tô đó nhỏ hơn \[600\]triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(S\)là giá trị còn lại của một chiếc ô tô sau t năm sử dụng và được tính bởi công thức:\(S = {S_0}{\left( {0,94} \right)^t}\), trong đó \({S_0}\) là giá trị ban đầu của ô tô.
Xét phương trình: \(800.{\left( {0,94} \right)^t} < 600 \Leftrightarrow {\left( {0,94} \right)^t} < 0,75 \Leftrightarrow t > {\log _{0,94}}\left( {0,75} \right) \approx 4,65\).
Vậy sau khoảng \(5\) năm sử dụng thì giá trị còn lại của một chiếc ô tô đó nhỏ hơn \[600\] triệu đồng.
Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của \({}_6^{14}C\)là \[5730\] năm, tức là sau \[5730\] năm thì số nguyên tử \({}_6^{14}C\) giảm đi một nửa. Một cây còn sống có lượng \({}_6^{14}C\) trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng \({}_6^{14}C\) trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ và đo được tỉ lệ phần trăm lượng \({}_6^{14}C\) còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trương là \(75\% \). Hỏi mẫu gỗ cổ đó đã chết cách đây bao nhiêu năm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \({m_0}\) là khối lượng của \({}_6^{14}C\) trong cây tại thời điểm cây còn sống \(\left( {t = 0} \right)\).
Khi đó, khối lượng \(m\left( t \right)\) của \({}_6^{14}C\) trong cây sau khi chết \(t\) (năm) được tính bởi công thức:\(m\left( t \right) = {m_o}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}}\).
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{{m\left( t \right)}}{{{m_o}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}} = 0,75\).
Do đó\(\frac{t}{{5730}} = {\log _{0,5}}\left( {0,75} \right) \Leftrightarrow t \approx 2378\).
Vậy mẫu gỗ cổ đó đã chết cách đây bao nhiêu \[2378\]năm.
Đáp án: 2378.
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A \cdot {e^{rt}}\), với \[A\] là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng \[\left( {r > 0} \right)\], \[t\] là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Sau bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 1296 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
Theo bài ra, ta có \(1500 = 250 \cdot {e^{r \cdot 12}} \Rightarrow r = \frac{{\ln 6}}{{12}}\).
Gọi t (giờ) là thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp 1296 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.
Khi đó, ta có \(1296{A_0} = {A_0}.{e^{rt}} \Rightarrow r.t = \ln 1296\)\( \Rightarrow t = \frac{{\ln 1296}}{r} = 48\).
Đáp án: 48.