Đề ôn luyện Toán Chương 3. Cấp số cộng và cấp số nhân
22 câu hỏi
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 2\) và công sai \(d = 3\). Tìm số hạng \({u_{10}}\).
\({u_{10}} = - 2 \cdot {3^9}\).
\({u_{10}} = 25\).
\({u_{10}} = - 29\).
\({u_{10}} = 28\).
Ta có \({u_{10}} = {u_1} + 9d = - 2 + 3 \cdot 9 = 25\).Chọn B.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 2\]và công bội \[q = 3\]. Số hạng \[{u_3}\]của cấp số nhân đã cho là
\[5\].
\[6\].
\[18\].
\[8\].
Ta có \[{u_3} = {u_1} \cdot {q^2} = 2 \cdot {3^2} = 18\]. Chọn C.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 2,{\rm{ }}{u_2} = 5\]. Tính \[{u_4}\].
\[{u_4} = 17\].
\[{u_4} = 14\].
\[{u_4} = 11\].
\[{u_4} = 8\].
Ta có \[d = {u_2} - {u_1} = 5 - 2 = 3 \Rightarrow {u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3 \cdot 3 = 11\]. Chọn C.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} = 2\) và \({u_6} = - 64\). Số hạng \({u_5}\) của cấp số nhân đã cho là
\(32\).
\(16\).
\( - 8\).
\(8\).
Ta có \({u_6} = - 64 \Leftrightarrow {u_1}{q^5} = - 64 \Leftrightarrow q = - 2 \Rightarrow {u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^4} = 32\). Chọn A.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = 12\) và công bội \(q = 2\). Số hạng \({u_1}\) của cấp số nhân là
9.
3.
7.
6.
Ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\).
\( \Rightarrow {u_3} = {u_1} \cdot {q^2} \Leftrightarrow 12 = 4 \cdot {u_1} \Leftrightarrow {u_1} = 3\). Chọn B.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26\). Công sai \(d\) của cấp số cộng đó là
\(\frac{{11}}{3}\).
\(\frac{{10}}{3}\).
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{3}{{11}}\).
Có \({u_8} = {u_1} + \left( {8 - 1} \right) \cdot d \Rightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7d \Rightarrow d = \frac{{11}}{3}\). Chọn A.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 2\) và công sai \(d = 3\). Số hạng tổng quát \({u_n}\) là
\({u_n} = 3n - 5\).
\({u_n} = - 2n + 3\).
\({u_n} = - 3n + 2\).
\({u_n} = 3n - 2\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 2 + 3\left( {n - 1} \right) = 3n - 5\). Chọn A.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 4;\,\,{u_2} = 8\]. Tìm công bội \[q\] của cấp số nhân.
\[q = 12\].
\[q = 4\].
\[q = 2\].
\[q = \frac{1}{2}\].
Ta có \[{u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\]. Chọn C.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 5\), \(d = 2\). Số \(81\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
\(75\).
\(44\).
\(100\).
\(50\).
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 \Leftrightarrow n = 44\). Chọn B.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \({u_1} = 4\) và \(d = - 5\). Tổng \(100\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
\({S_{100}} = - 24600.\)
\({S_{100}} = 24350.\)
\({S_{100}} = 24600.\)
\({S_{100}} = - 24350.\)
Ta có \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} = 50 \cdot \left[ {2 \cdot 4 + 99 \cdot \left( { - 5} \right)} \right] = - 24350\). Chọn D.
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân?
\(1,\,2,\,3,\,4.\)
\(1,\,2,\,4,\,8.\)
\(1,\,3,\,5,\,7.\)
\(1,\,2,\,4,\,6.\)
Dãy số \(1,\,2,\,4,\,8\) có \[\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2\] nên dãy số \(1,\,2,\,4,\,8\) là cấp số nhân. Chọn B.
Biết ba số \({x^2}\,;\,8\,;\,x\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của \(x\) là
\(x = 4\).
\(x = 5\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
Do \({x^2}\,;\,8\,;\,x\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên nếu giả sử cấp số nhân này có công bội \(q\) thì ta có: \(8 = {x^2} \cdot q\) (1) và \(x = 8 \cdot q\) (2).
Từ (2) suy ra \(q = \frac{x}{8}\), thay vào (1) ta được \(8 = {x^2} \cdot \frac{x}{8} \Leftrightarrow {x^3} = 64 \Leftrightarrow x = 4\). Chọn A.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu được tính bởi công thức \({S_n} = {n^2} - \frac{3}{2}n\).
a) Ta có \({S_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = 1\).
b) Số hạng thứ hai của dãy số là \({u_2} = 1\).
c) Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\).
d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \(2\).
a) Đúng. Ta có: \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).
b) Sai. Vì \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số nên ta có \({S_1} = {u_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1\).
Do đó, \({u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}\).
c) Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n\).
Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
d) Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left[ { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right] = 2\) với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \(2\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết rằng \({u_4} = \frac{2}{{27}}\) và \({u_3} = 243{u_8}\)
a)Số hạng \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3}\).
b)\({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).
c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
d) Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là số lớn hơn 3.
a) Đúng.Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Theo giả thiết, ta có: \({u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\) và \({u_3} = {u_1}{q^2}\); \({u_8} = {u_1}{q^7}\).
Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.\).
Vậy \({u_1} = 2\); \({u_2} = {u_1}q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
b)Đúng.Ta có \({u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\); \({u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{2}{{81}}\).
Do đó \({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).
c)Sai.Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).
Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)
Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
d)Sai. Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là:
\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có u5= -15, \[{u_{20}} = 60\].
a)Cấp số cộng có công sai \(d = 5\).
b) Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 35\).
c) Cấp số cộng có số hạng thứ \(15\) là \({u_{15}} = 25\).
d) Cấp số cộng có \(28\) số hạng nhỏ hơn \(100\).
Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là \({u_1},d\).
Theo bài ra, ta có u5 = -15u20 = 60⇔u1 + 4d = -15u1 + 19d = 60 ⇔u1= -35d = 5
a) Đúng. Cấp số cộng có công sai \(d = 5\).
b) Đúng. Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 35\).
c) Sai. Số hạng thứ \(15\) của cấp số cộng là \({u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 \cdot 5 = 35\).
d) Sai.Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5n - 40\].
Ta có \({u_n} < 100\) nên \(5n - 40 < 100 \Leftrightarrow n < 28\).
Do đó có \(27\) số hạng là \({u_1},{u_2},...,{u_{27}}\) nhỏ hơn \(100\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}\).
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \sqrt 3 \).
b) Số 19683 là số hạng thứ 17 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
c) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\)là \(\frac{{\left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\).
d) Tổng \(S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\).
a) Đúng. Ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{{n - 1}}{2} + 1}}}} = {3^{\frac{n}{2} + 1 - \frac{{n - 1}}{2} - 1}} = {3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 ,\,\,\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \sqrt 3 \) và số hạng đầu \({u_1} = {3^{\frac{1}{2} + 1}} = {3^{\frac{3}{2}}} = 3\sqrt 3 \).
b) Sai. Ta có \({u_n} = 19683 \Leftrightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9} \Leftrightarrow \frac{n}{2} + 1 = 9 \Leftrightarrow n = 16.\)
Khi đó, số 19683 là số hạng thứ 16 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
c) Sai. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) chính là tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)và bằng \({S_{100}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{100}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {1 - {{\sqrt 3 }^{100}}} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\).
d) Đúng.Ta có \({u_2} = {u_1}q = 3\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 9\), \({u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1}q \cdot {q^2}\), …, \({u_{20}} = {u_1}{q^{19}} = {u_1}q \cdot {\left( {{q^2}} \right)^9}\).
Như vậy, dãy số \({u_2},{u_4},{u_6},....,{u_{20}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \({u_2} = 9\), công bội \({q^2} = 3\) và có 10 số hạng nên \(S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\).
Một cấp số cộng có \(7\) số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng \(30\), còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng \(35\). Tính số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó.
Giả sử cấp số cộng đã cho là \(\left( {{u_n}} \right)\)\(\left( {1 \le n \le 7} \right)\) có công sai \(d\).
Theo bài ra, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_7} = 30}\\{{u_3} + {u_6} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{u_1} + 6d = 30}\\{2{u_1} + 7d = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 0}\\{d = 5.}\end{array}} \right.\)
Vậy \({u_7} = {u_1} + 6d = 0 + 6 \cdot 5 = 30\).
Đáp án: 30.
Bạn An là sinh viên của một trường đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi để trang trải kinh phí học tập. Đầu năm thứ nhất, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 40 triệu đồng với lãi suất là \(4\% \) một năm. Tính số tiền mà bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó bạn An chưa trả bất kì khoản nào và lãi suất ngân hàng không thay đổi (làm tròn kết quả đến hàng phần chục theo đơn vị triệu đồng)
Gọi \({u_n}\)là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau \(n\) năm.
Ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}} \cdot 0,04 = {u_{n - 1}} \cdot 1,04\,\,\,\left( {\forall n \ge 2} \right)\).
Ta có dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 40 + 40 \cdot 0,04 = 41,6\) (triệu đồng) và công bội \(q = 1,04\).
Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:
\({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = 41,6 \cdot 1,{04^3} = 46,8\)(triệu đồng).
Đáp án: 46,8.
Khán đài A của một sân vận động có \(3456\) chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiên có \(15\) chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế ngay trước nó. Hỏi khán đài A của sân vận động có bao nhiêu hàng ghế?
Số chỗ ngồi của hàng đầu tiên (hàng thứ nhất) là 15 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế trước do đó số chỗ ngồi của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 15\) và công sai \(d = 6\).
Tổng số chỗ ngồi trên khán đài là \(S = 3456\).
Giả sử khán đài A có \(n\) hàng ghế \(\left( {n > 0} \right)\), ta có \({S_n} = S = 3456\).
Mà \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 15 + \left( {n - 1} \right) \cdot 6} \right] = n\left( {3n + 12} \right)\).
Khi đó,n(3n + 12) = 3456 ⇔n2 + 4n - 1152 ⇔n = 32 hoặc n = -36 (không thỏa mãn)
Vậy khán đài A của sân vận động có \(32\) hàng ghế.
Đáp án: 32.
Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 10 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là \(16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà, biết rằng để cho đồng bộ nhà chùa yêu cầu nền nhà phải lót gạch hoa cỡ \(30 \times 30\,{\rm{cm}}\).
Gọi \({S_1}\) là diện tích của mặt đáy tháp thì \({S_1} = 16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
\({S_i}\)là diện tích mặt trên của tầng thứ \(i\,\,\left( {1 \le i \le 10} \right)\).
Theo bài ra, ta nhận thấy \(\left\{ {{S_i},1 \le i \le 10} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({S_1} = 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng \({T_{10}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{32}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của mỗi viên gạch là \(30 \times 30 = 900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 0,09\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Ta thấy \(\frac{{1023}}{{32}}:0,09 \approx 355,21\).
Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên.
Đáp án: 356.
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 100 000 đồng, mỗi lần sau, tiền đặt cược gấp đôi số tiền cược trước đó. Người đó thua 5 lần liên tiếp tính từ lần đặt cược đầu tiên và thắng ở lần thứ 6 (số tiền nhận được khi thắng bằng 2 lần số tiền đã đặt cược ở lần chơi đó). Hỏi số tiền (nghìn đồng) du khách trên đã thắng hay thua là bao nhiêu sau 6 lần chơi? 
Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có \({u_1} = 100\,000\) và công bội \(q = 2\).Du khách thua trong \(5\) lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là
\({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000\)đồng.
Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là \({u_6} = {u_1} \cdot {q^5} = 3200000\) đồng.
Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là
\(2 \cdot 3200000 - 3200000 = 3200000\) đồng.
Ta có \(3200000 - 3100000 = 100000 > 0\) nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.
Đáp án: 100.
Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 nghìn đồng. Hỏi theo hợp đồng, tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi lương tháng thứ \(n\) của người đó là \({A_n}\). Ta có\({A_1} = 6\).
Lương tháng sau hơn tháng trước \(0,2\) triệu đồng nên ta có \(\left\{ {{A_n}} \right\}\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({A_1} = 6\) và công sai \(d = 0,2\).
Số hạng tổng quát của dãy số là \({A_n} = {A_1} + \left( {n - 1} \right)d\,\,\,\,\left( {n > 1} \right)\).
Vậy tới tháng thứ 7, người đó nhận được lương là \({A_7} = {A_1} + 6d = 6 + 6 \cdot 0,2 = 7,2\) (triệu đồng).
Đáp án: 7,2.