Do \({x^2}\,;\,8\,;\,x\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên nếu giả sử cấp số nhân này có công bội \(q\) thì ta có: \(8 = {x^2} \cdot q\) (1) và \(x = 8 \cdot q\) (2).

Từ (2) suy ra \(q = \frac{x}{8}\), thay vào (1) ta được \(8 = {x^2} \cdot \frac{x}{8} \Leftrightarrow {x^3} = 64 \Leftrightarrow x = 4\). Chọn A.

a) Đúng. Ta có: \({S_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).

b) Sai. Vì \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số nên ta có \({S_1} = {u_1} = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1\).

Do đó, \({u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2}\).

c) Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n\).

Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

d) Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left[ { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right] = 2\) với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là \(2\).

Theo giả thiết, ta có: \({u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\) và \({u_3} = {u_1}{q^2}\); \({u_8} = {u_1}{q^7}\).

Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \({u_1} = 2\); \({u_2} = {u_1}q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

b) Đúng. Ta có \({u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\); \({u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{2}{{81}}\).

Do đó \({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).

Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Sai. Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là:

\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).

Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là \({u_1},d\).

Theo bài ra, ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_{5 } = -15\\ u_{20 }= 60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1 + 4d = -15\\ u_1 + 19d = 60\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1= -35\\ d = 5\end{array}\right.$

a) Đúng. Cấp số cộng có công sai \(d = 5\).

b) Đúng. Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 35\).

c) Sai. Số hạng thứ \(15\) của cấp số cộng là \({u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 \cdot 5 = 35\).

d) Sai. Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5n - 40\].

Ta có \({u_n} < 100\) nên \(5n - 40 < 100 \Leftrightarrow n < 28\).

Do đó có \(27\) số hạng là \({u_1},{u_2},...,{u_{27}}\) nhỏ hơn \(100\).

a) Đúng. Ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{{n - 1}}{2} + 1}}}} = {3^{\frac{n}{2} + 1 - \frac{{n - 1}}{2} - 1}} = {3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 ,\,\,\forall n \ge 2\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \sqrt 3 \) và số hạng đầu \({u_1} = {3^{\frac{1}{2} + 1}} = {3^{\frac{3}{2}}} = 3\sqrt 3 \).

b) Sai. Ta có \({u_n} = 19683 \Leftrightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9} \Leftrightarrow \frac{n}{2} + 1 = 9 \Leftrightarrow n = 16.\)

Khi đó, số 19683 là số hạng thứ 16 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

c) Sai. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) chính là tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) và bằng \({S_{100}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{100}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {1 - {{\sqrt 3 }^{100}}} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\).

d) Đúng. Ta có \({u_2} = {u_1}q = 3\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 9\), \({u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1}q \cdot {q^2}\), …, \({u_{20}} = {u_1}{q^{19}} = {u_1}q \cdot {\left( {{q^2}} \right)^9}\).

Như vậy, dãy số \({u_2},{u_4},{u_6},....,{u_{20}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \({u_2} = 9\), công bội \({q^2} = 3\) và có 10 số hạng nên \(S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\).

Giả sử cấp số cộng đã cho là \(\left( {{u_n}} \right)\) \(\left( {1 \le n \le 7} \right)\) có công sai \(d\).

Theo bài ra, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_7} = 30}\\{{u_3} + {u_6} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{u_1} + 6d = 30}\\{2{u_1} + 7d = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 0}\\{d = 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy \({u_7} = {u_1} + 6d = 0 + 6 \cdot 5 = 30\).

Đáp án: 30.

Gọi \({u_n}\) là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau \(n\) năm.

Ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}} \cdot 0,04 = {u_{n - 1}} \cdot 1,04\,\,\,\left( {\forall n \ge 2} \right)\).

Ta có dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 40 + 40 \cdot 0,04 = 41,6\) (triệu đồng) và công bội \(q = 1,04\).

Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:

\({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = 41,6 \cdot 1,{04^3} = 46,8\) (triệu đồng).

Đáp án: 46,8.

Số chỗ ngồi của hàng đầu tiên (hàng thứ nhất) là 15 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế trước do đó số chỗ ngồi của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 15\) và công sai \(d = 6\).

Tổng số chỗ ngồi trên khán đài là \(S = 3456\).

Giả sử khán đài A có \(n\) hàng ghế \(\left( {n > 0} \right)\), ta có \({S_n} = S = 3456\).

Mà \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 15 + \left( {n - 1} \right) \cdot 6} \right] = n\left( {3n + 12} \right)\).

Khi đó,$n(3n + 12) = 3456 \iff n^2 + 4n - 1152 \iff n = 32 hoặc n = -36 (không thỏa mãn)$

Vậy khán đài A của sân vận động có \(32\) hàng ghế.

Đáp án: 32.

Gọi \({S_1}\) là diện tích của mặt đáy tháp thì \({S_1} = 16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

\({S_i}\) là diện tích mặt trên của tầng thứ \(i\,\,\left( {1 \le i \le 10} \right)\).

Theo bài ra, ta nhận thấy \(\left\{ {{S_i},1 \le i \le 10} \right\}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({S_1} = 16\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng \({T_{10}} = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{32}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích của mỗi viên gạch là \(30 \times 30 = 900\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 0,09\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Ta thấy \(\frac{{1023}}{{32}}:0,09 \approx 355,21\).

Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên.

Đáp án: 356.

Số tiền du khách đặt cược trong mỗi lần chơi là một cấp số nhân có \({u_1} = 100\,000\) và công bội \(q = 2\). Du khách thua trong \(5\) lần chơi đầu tiên nên tổng số tiền thua là

\({S_5} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 3100000\)đồng.

Số tiền mà du khách đã đặt cược trong lần thứ 6 là \({u_6} = {u_1} \cdot {q^5} = 3200000\) đồng.

Do số tiền đã nhận khi thắng bằng hai lần tiền đặt cược nên số tiền đã thắng ở lần chơi này là

\(2 \cdot 3200000 - 3200000 = 3200000\) đồng.

Ta có \(3200000 - 3100000 = 100000 > 0\) nên du khách thắng 100 nghìn đồng sau 6 lần chơi.

Đáp án: 100.

Gọi lương tháng thứ \(n\) của người đó là \({A_n}\). Ta có\({A_1} = 6\).

Lương tháng sau hơn tháng trước \(0,2\) triệu đồng nên ta có \(\left\{ {{A_n}} \right\}\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({A_1} = 6\) và công sai \(d = 0,2\).

Số hạng tổng quát của dãy số là \({A_n} = {A_1} + \left( {n - 1} \right)d\,\,\,\,\left( {n > 1} \right)\).

Vậy tới tháng thứ 7, người đó nhận được lương là \({A_7} = {A_1} + 6d = 6 + 6 \cdot 0,2 = 7,2\) (triệu đồng).

Đáp án: 7,2.