Đề ôn luyện Toán Chương 2. Nguyên hàm và tích phân (đề số 2)
22 câu hỏi
Hàm số \(F\left( x \right) = {e^{{x^3}}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(f\left( x \right) = 3{x^2} \cdot {e^{{x^3}}}\).
\(f\left( x \right) = {x^2} \cdot {e^{{x^3}}}\).
\(f\left( x \right) = {e^{3{x^2}}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3}}}}}{{3{x^2}}}\).
Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right)\) suy ra \(f\left( x \right) = 3{x^2} \cdot {e^{{x^3}}}\). Chọn A.
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 2x - 5\) là
\(\frac{{2{x^3}}}{3} + {x^2} - 5x + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 5x + C\).
\[\frac{{{x^3}}}{6} + {x^2} - 5x + C\].
\[\frac{{{x^3}}}{6} + {x^2} - 5x\].
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - 5} \right)\,} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} - 5x + C = \frac{{{x^3}}}{6} + {x^2} - 5x + C\). Chọn C.
Họ tất cả các nguyên hàm của \[f\left( x \right) = {x^2} + \sin 2x\] là
\(2x + 2\cos 2x + C\).
\(2x - 2\cos 2x + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\left( {{x^2} + \sin 2x} \right){\rm{d}}} x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{2}\cos 2x + C\]. Chọn C.
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\). Biết \(F\left( 1 \right) = 1\), tính \(F\left( 4 \right)\)ta được kết quả là
\(7\).
\(2\).
\(5\).
\(3\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = } 2\sqrt x + C\). Mà \(F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow C = - 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = 2\sqrt x - 1\).
Suy ra \(F\left( 4 \right) = 4 - 1 = 3\). Chọn D.
Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {{2^x} \cdot {{\rm{3}}^x}} \right){\rm{d}}x} \) ta được kết quả là
\(\frac{5}{{\ln 6}}\).
\(\frac{6}{{\ln 6}}\).
\(\frac{7}{{\ln 6}}\).
\(\frac{8}{{\ln 18}}\).
Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {{2^x} \cdot {{\rm{3}}^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{6^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{6^1}}}{{\ln 6}} - \frac{{{6^0}}}{{\ln 6}} = \frac{5}{{\ln 6}}\). Chọn A.
Kết quả phép tính \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{x}{\rm{d}}x} \) bằng
\(I = 6 + 3\ln 2\).
\(I = \frac{5}{2} - 3\ln 2\).
\(I = \frac{3}{2} - 3\ln 2\).
\(I = \frac{7}{2} + 3\ln 2\).
Ta có \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{x}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left( {x + 2 + \frac{3}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x + 3\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{2} + 3\ln 2\). Chọn D.
Kết quả của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x} \right){\rm{d}}x} \) là
\( - 1\).
\(1\).
\(0\).
\(5\).
Theo tính chất của tích phân, ta có:
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x{\rm{d}}x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos x} {\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - 2\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5.\end{array}\]
Chọn D.
Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - 7\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {\left[ {3f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
\[ - 29\].
\[ - 31\].
\[1\].
\[29\].
Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {3f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x - 2} \int\limits_1^3 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 \cdot 5 - 2 \cdot \left( { - 7} \right) = 29\). Chọn D.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\)bằng
\(8\).
\(12\).
\(10\).
\(9\).
Diện tích hình phẳng cần tính là \[S = \int\limits_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2 = 10\]. Chọn C.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số\(f\left( x \right) = {2^x}\), \(g\left( x \right) = - x + 6\)và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) (xem hình bên) bằng
\[10 + \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{3}{{\ln 2}}\].
\[10 - \frac{4}{{\ln 2}}\].
\[10 + \frac{4}{{\ln 2}}\].
Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int\limits_0^2 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( { - x + 6 - {2^x}} \right){\rm{d}}x} \)
\[ = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 6x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^2 = - 2 + 12 - \frac{4}{{\ln 2}} + \frac{1}{{\ln 2}} = 10 - \frac{3}{{\ln 2}}\]. Chọn B.
Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\]\[\left( { - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 } \right)\], mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là \[\sqrt {3 - {x^2}} \]. Thể tích của vật thể đã cho bằng
\(\sqrt 3 \).
\(4\sqrt 3 \).
\(4\pi \sqrt 3 \).
\(\pi \sqrt 3 \).
Diện tích của mặt cắt hình vuông là \[S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} \,} \right)^2} = 3 - {x^2}\].
Thể tích của vật thể đã cho là:
\[V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \]. Chọn B.
Cho hàm số\(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên. Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng \(x = 2\) và \(x = 3\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng
\(3,56\pi \).
\(\frac{{53}}{4}\pi \).
\(\frac{{53}}{4}\).
\(3,56\).
Ta xác định được hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) và hai đường \(x = 2\) và \(x = 3\)tại hình vẽ.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có:
\(V = \pi \int\limits_2^3 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\sqrt {{x^3} - 3} } \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 3x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{53}}{4}\pi \). Chọn B.
Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm \(t\) là \(h\left( t \right)\), trong đó \(t\) tính bằng phút, \(h\left( t \right)\) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\) với \(v\left( t \right)\) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát \(\left( {t = 0} \right)\) khinh khí cầu ở độ cao \(520\)m.
a)\(h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2}\,\,\,\left( {0 \le t \le 29} \right)\).
b) Tại thời điểm \(t = 3\) phút, độ cao của khinh khí cầu là 524,32 m.
c) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là 540 m.
d) Sau 15 phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
a) Sai. Ta có \[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{dt}} = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + C} \].
Tại thời điểm xuất phát \(\left( {t = 0} \right)\), độ cao của khinh khí cầu là 520 m nên
\[h\left( 0 \right) = 520 \Rightarrow C = 520\].
Vậy \[h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520\].
b) Đúng. Tại thời điểm \(t = 3\) phút, độ cao của khinh khí cầu là \(h\left( 3 \right) = 524,32\)m.
c) Đúng. Ta có \(h'\left( t \right) = v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\), suy ra \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.
d) Đúng. Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì
\(h\left( t \right) = 520 \Leftrightarrow - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520 = 520 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 15\end{array} \right.\).
Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.
Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trong thành phố thì các xe khi dừng lại phải cách nhau một khoảng tối thiểu là 1 m. Một xe máy di chuyển trên đường thì gặp đèn đỏ từ xa, người điều khiển xe máy đạp phanh và xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 10 - 5t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Gia tốc tức thời của chuyển động này là \(5\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe máy dừng hẳn là 2 giây.
c) Quãng đường xe máy đi được sau 0,5 giây kể từ lúc đạp phanh là 6 m.
d) Để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng 11 m (giả sử ngay lúc đạp phanh thì xe phía trước đang đứng yên).
a) Sai. Ta có \(v\left( t \right) = 10 - 5t\, \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 5\).
b) Đúng. Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 10 - 5t\, = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
c) Sai. Khoảng thời gian xe đi được sau 0,5 giây từ khi đạp phanh là
\(\int\limits_0^{0,5} {\left( {10 - 5t} \right)\,} {\rm{d}}t = \frac{{35}}{8} = 4,375\) (m).
d) Đúng.Để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng \(1 + \int\limits_0^2 {\left( {10 - 5t} \right)} \,{\rm{d}}t = 11\) (m).
Giả sử rằng khi tăng \(t\) năm tuổi, một máy công nghiệp \(A\) tạo ra doanh thu với tốc độ \(R'\left( t \right) = 650 - 3{t^2}\)(triệu đồng/năm), thời điểm \(t = 0\) tính từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là \(C'\left( t \right) = 48 + 12{t^2}\)(triệu đồng/năm), ở đây \(C\left( t \right)\) là chi phí vận hành và bảo trì của máy\(A\)khi nó được \(t\) năm tuổi.
a) Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\)là \(\int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{dt}}} \) (triệu đồng).
b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).
c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy \(A\) này là 8 năm.
d) Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2532 triệu đồng.
a)Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\)là
\(R\left( {12} \right) = \int\limits_0^{12} {R'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} \) (triệu đồng).
b)Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) là \(C\left( t \right) = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 48t + 4{t^3} + c\).
Chi phí ban đầu là 0, tức là \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\). Do đó, \(C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).
Tổng chi phí trong 6 năm là \(C\left( 6 \right) = 48 \cdot 6 + 4 \cdot {6^3} = 1152\)(triệu đồng).
c)Sai. Ta có \[R\left( t \right) = \int {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 650t - {t^3} + b\].
Từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động \(\left( {t = 0} \right)\) thì \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow b = 0\). Do đó, \(R\left( t \right) = 650t - {t^3}\).
Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra là \(P\left( t \right) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = \left( {650t - {t^3}} \right) - \left( {48t + 4{t^3}} \right) = 602t - 5{t^3}\).
Ta có \(P'\left( t \right) = 602 - 15{t^2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \,\,\,\left( {{\rm{do}}\,t \ge 0} \right)\).
Lập bảng biến thiên ta kết luận được lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \approx 6,33\) (năm) và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8 năm.
Lưu ý: Ta có thể xác định ngay \(P'\left( t \right) = R'\left( t \right) - C'\left( t \right) = 602 - 15{t^2}\) mà không cần xác định \(R\left( t \right)\).
d)Sai. Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là
\(\int\limits_0^{\sqrt {\frac{{602}}{{15}}} } {\left( { - 15{t^2} + 602} \right){\rm{d}}t} \)\( \approx 2542,5\) (triệu đồng).
Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2{e^x}\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4.\)
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \pi \int\limits_0^4 {x\,{\rm{d}}x} \).
b) Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\) Khi đó, \(V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\).
c) Diện tích của hình H là \({S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}\).
d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là \(2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).
a) Sai. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x \,{\rm{d}}x.} \)
b) Đúng. Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)
Khi đó, \[V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {4{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {2\pi {e^{2x}}} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\].
c) Sai. Vì \[2{e^x} - \sqrt x > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]\] nên diện tích của hình H là
\[{S_H} = \int\limits_0^4 {\left| {2{e^x} - \sqrt x } \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {\left( {2{e^x} - \sqrt x } \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {2{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^4 = 2{e^4} - \frac{{22}}{3}\].
d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là
\(V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {4{e^{2x}} - x} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4{e^{2x}} - x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {2{e^{2x}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).
Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao \[3\,{\rm{m}}\] đang không chứa nước. Người ta cần thay nước mới cho hồ bơi nên dùng máy bơm để bơm nước vào hồ, giả sử \[h\left( t \right)\,\,({\rm{m)}}\] là chiều cao của mực nước đã được bơm vào tại thời điểm \[t\] giờ. Biết rằng tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại giờ thứ \[t\] kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào hồ là \[h'\left( t \right) = \frac{{\sqrt[3]{{t + 3}}}}{5}\]. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu bơm thì hồ đạt được độ sâu \[2,1\,{\rm{m}}\](kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].
\[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}\].
\[h\left( t \right) = 2,1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2,1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \approx 18,33 \Rightarrow t \approx 6\].
Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 m.
Đáp án: 6.
Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ nhung Nhật. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa và cỏ nhung Nhật tương ứng là 250 000 đồng/m2 và 150 000 đồng/m2. Hỏi chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Xét parabol có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm \(\left( {2;4} \right)\): Phương trình \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\).
Vì \(A\left( {2;4} \right) \in \left( P \right)\) nên \(4 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left( P \right):y = {x^2}\).
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\), theo định lý Pythagore ta có:
\(O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20 \Rightarrow R = OA = 2\sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) là:
\({x^2} + {y^2} = 20\)\( \Rightarrow \left| y \right| = \sqrt {20 - {x^2}} \).
Diện tích phần trồng hoa là: \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x\).
Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2} - {S_1} = 10\pi - {S_1}\).
Tổng chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó là:
\(250\,000{S_1} + 150\,000{S_2} = 250\,000{S_1} + 150\,000\left( {10\pi - {S_1}} \right) \approx 5\,906\,351\)(đồng) \( \approx 5,9\) (triệu đồng).
Vậy chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên nhà bạn Thùy Dương gần bằng 5,9 triệu đồng.
Đáp án: 5,9.
Trong cơ khí chế tạo, một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ, nhận \[AB\] và \[CD\] làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính \[5\,{\rm{dm}}\], các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng \[2\,{\rm{dm}}\], \[AB = CD = 4\,{\rm{dm}}\]và chi phí sơn là 82 000 đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Chọn hệ trục \[Oxy\] sao cho gốc toạ độ \[O\]trùng với giao điểm \[AB,CD\].
Đường tròn lớn có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}} \].
Ta có \[OA = OB = OC = OD = \frac{4}{2} = 2\].
Đường tròn nhỏ có tâm trên trục \[Ox\]là \[\left( {4;0} \right)\]nên có phương trình:
\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \].
Ta có: \[\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\].
Gọi \(H\) là phần hình phẳng gạch chéo.
Ta có hình phẳng \(H\)giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0\].
Đặt \({H_1} = \left\{ {y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0,x = 2,x = \frac{{37}}{8}} \right\}\); \({H_2} = \left\{ {y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = \frac{{37}}{8},x = 5} \right\}\).
Diện tích của hình \({H_1}\)là \[{S_{{H_1}}} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x\].
Diện tích của hình \({H_2}\)là \({S_{{H_2}}} = \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\).
Khi đó diện tích của hình \(H\) là: \[{S_H} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\].
Diện tích của đường tròn lớn là: \({S_1} = \pi \cdot {5^2} = 25\pi \).
Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy
\[S = 25\pi - 8{S_H} = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right) \approx 39,7\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = 0,397({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].
Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy: \[2 \cdot 0,397 \cdot 82 \approx 65\](nghìn đồng).
Đáp án:65.
Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục \(AB\).
Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đường tròn đường kính \(AB\) và cung tròn tâm \(A\). Biết \(AB = 8{\rm{ cm}}\) và điểm \(K\) trong hình vẽ thỏa mãn \(AK = 3{\rm{ cm}}\). Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0\,;0} \right)\), \(B\left( {8\,;0} \right)\), \(K\left( {3\,;0} \right)\).
Tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), \(MK\) là đường cao nên \(M{K^2} = AK \cdot KB = 3 \cdot 5 = 15\).
Tam giác \(AMK\) vuông tại \(K\) nên \(AM = \sqrt {M{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {15 + 9} = 2\sqrt 6 \).
Suy ra \(AD = 2\sqrt 6 \Rightarrow D\left( {2\sqrt 6 \,;0} \right)\).
Đường tròn đường kính \(AB\) có phương trình \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 16\)\( \Rightarrow y = \sqrt {8x - {x^2}} \).
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AM\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 24\)\( \Rightarrow {y^2} = 24 - {x^2}\).
Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_3^8 {\left( {8x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_3^{2\sqrt 6 } {\left( {24 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \approx 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Đáp án: 135.
Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên) có dạng hình tròn đường kính \(AB\) bằng \(12\,{\rm{m}}\). Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua \(AB\), nằm trong hình tròn, đi qua các điểm \(A,\,B\) và có đình cách mép hình tròn \(1\,{\rm{m}}\). Phần giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa với chi phí \(300\) nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gạch gốm sứ với chi phí \(900\) nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\). Suy ra điểm \(I\) thuộc trục \(Oy\).
Parabol \(\left( P \right)\) nằm trên trục hoành có đỉnh là \(I\) thuộc trục \(Oy\) nên phương trình có dạng: \(y = a{x^2} + c\).
Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {0;5} \right)\) nên \(c = 5\).
Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) nên \(0 = a \cdot {6^2} + 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{{36}}\).
Suy ra \(\left( P \right)\): \(y = - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:
\({S_1} = 2\int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} = 2\left. {\left( { - \frac{5}{{108}}{x^3} + 5x} \right)} \right|_{ - 6}^6 = 80\).
Diện tích phần lát gạch gốm sứ: \({S_2} = \pi \cdot {6^2} - {S_1} = 36\pi - 80\).
Tổng chi phí: \(T = {S_1} \cdot 0,3 + {S_2} \cdot 0,9\)\( = 80 \cdot 0,3 + \left( {36\pi - 80} \right) \cdot 0,9 \approx 54\) (triệu đồng).
Vậy tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là \(54\) triệu đồng.
Đáp án: 54.
Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật cùng phần mái phía trên được thiết kế dạng vòm cong. Chiều dài của nhà kho là 40 m, chiều rộng 10 m, chiều cao 5 m; đường cắt của mái vòm khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với chiều dài của kho là một cung tròn, điểm cao nhất của mái vòm có chiều cao là 6 m (hình vẽ minh họa).
Để tính toán công suất cho hệ thống làm lạnh nhà kho, người ta cần ước lượng thể tích phần không gian bên trong nhà kho. Hãy cho biết thể tích không gian bên trong nhà kho là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Phần mái của nhà kho là một phần của đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\).
Vì \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5;5} \right),H\left( {0;6} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}25 + 25 - 5a + 5b + c = 0\\25 + 25 + 5a + 5b + c = 0\\36 + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + 5b + c = - 50\\5a + 5b + c = - 50\\6b + c = - 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 14\\c = - 120\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} + 14y - 120 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 169 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt {169 - {x^2}} - 7\\y = - \sqrt {169 - {x^2}} - 7\end{array} \right.\).
Vậy thể tích không gian bên trong nhà kho là:
\[V = S \cdot h = \left[ {\int\limits_{ - 5}^5 {\left( {\sqrt {169 - {x^2}} - 7} \right){\rm{d}}x} } \right] \cdot 40 \approx 2269\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].
Đáp án:2269.
