Dựa vào đồ thị, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_0^2 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( { - x + 6 - {2^x}} \right){\rm{d}}x} \)

\[ = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 6x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^2 = - 2 + 12 - \frac{4}{{\ln 2}} + \frac{1}{{\ln 2}} = 10 - \frac{3}{{\ln 2}}\]. Chọn B.

Diện tích của mặt cắt hình vuông là \[S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - {x^2}} \,} \right)^2} = 3 - {x^2}\].

Thể tích của vật thể đã cho là:

\[V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {3 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } = \left( {2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \]. Chọn B.

Ta xác định được hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 3} \) và hai đường \(x = 2\) và \(x = 3\) tại hình vẽ.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay, ta có:

\(V = \pi \int\limits_2^3 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int\limits_2^3 {{{\left( {\sqrt {{x^3} - 3} } \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 3x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{53}}{4}\pi \). Chọn B.

a) Sai. Ta có \[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{dt}} = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + C} \].

Tại thời điểm xuất phát \(\left( {t = 0} \right)\), độ cao của khinh khí cầu là 520 m nên

\[h\left( 0 \right) = 520 \Rightarrow C = 520\].

Vậy \[h\left( t \right) = - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520\].

b) Đúng. Tại thời điểm \(t = 3\) phút, độ cao của khinh khí cầu là \(h\left( 3 \right) = 524,32\) m.

c) Đúng. Ta có \(h'\left( t \right) = v\left( t \right) = - 0,12{t^2} + 1,2t\), suy ra \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.

d) Đúng. Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì

\(h\left( t \right) = 520 \Leftrightarrow - 0,04{t^3} + 0,6{t^2} + 520 = 520 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 15\end{array} \right.\).

Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.

a) Sai. Ta có \(v\left( t \right) = 10 - 5t\, \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 5\).

b) Đúng. Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 10 - 5t\, = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

c) Sai. Khoảng thời gian xe đi được sau 0,5 giây từ khi đạp phanh là

\(\int\limits_0^{0,5} {\left( {10 - 5t} \right)\,} {\rm{d}}t = \frac{{35}}{8} = 4,375\) (m).

d) Đúng. Để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng \(1 + \int\limits_0^2 {\left( {10 - 5t} \right)} \,{\rm{d}}t = 11\) (m).

a) Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\) là

\(R\left( {12} \right) = \int\limits_0^{12} {R'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} \) (triệu đồng).

b) Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) là \(C\left( t \right) = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 48t + 4{t^3} + c\).

Chi phí ban đầu là 0, tức là \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\). Do đó, \(C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).

Tổng chi phí trong 6 năm là \(C\left( 6 \right) = 48 \cdot 6 + 4 \cdot {6^3} = 1152\) (triệu đồng).

c) Sai. Ta có \[R\left( t \right) = \int {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 650t - {t^3} + b\].

Từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động \(\left( {t = 0} \right)\) thì \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow b = 0\). Do đó, \(R\left( t \right) = 650t - {t^3}\).

Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra là \(P\left( t \right) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = \left( {650t - {t^3}} \right) - \left( {48t + 4{t^3}} \right) = 602t - 5{t^3}\).

Ta có \(P'\left( t \right) = 602 - 15{t^2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \,\,\,\left( {{\rm{do}}\,t \ge 0} \right)\).

Lập bảng biến thiên ta kết luận được lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \approx 6,33\) (năm) và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8 năm.

Lưu ý: Ta có thể xác định ngay \(P'\left( t \right) = R'\left( t \right) - C'\left( t \right) = 602 - 15{t^2}\) mà không cần xác định \(R\left( t \right)\).

d) Sai. Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là

\(\int\limits_0^{\sqrt {\frac{{602}}{{15}}} } {\left( { - 15{t^2} + 602} \right){\rm{d}}t} \)\( \approx 2542,5\) (triệu đồng).

a) Sai. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x \,{\rm{d}}x.} \)

b) Đúng. Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)

Khi đó, \[V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {4{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {2\pi {e^{2x}}} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\].

c) Sai. Vì \[2{e^x} - \sqrt x > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]\] nên diện tích của hình H là

\[{S_H} = \int\limits_0^4 {\left| {2{e^x} - \sqrt x } \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {\left( {2{e^x} - \sqrt x } \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {2{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^4 = 2{e^4} - \frac{{22}}{3}\].

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là

 \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {4{e^{2x}} - x} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4{e^{2x}} - x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {2{e^{2x}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).

Ta có \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].

\[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}\].

\[h\left( t \right) = 2,1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2,1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \approx 18,33 \Rightarrow t \approx 6\].

Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 m.

Đáp án: 6.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Xét parabol có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm \(\left( {2;4} \right)\): Phương trình \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\).

Vì \(A\left( {2;4} \right) \in \left( P \right)\) nên \(4 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left( P \right):y = {x^2}\).

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\), theo định lý Pythagore ta có:

\(O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20 \Rightarrow R = OA = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) là:

\({x^2} + {y^2} = 20\)\( \Rightarrow \left| y \right| = \sqrt {20 - {x^2}} \).

Diện tích phần trồng hoa là: \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x\).

Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2} - {S_1} = 10\pi - {S_1}\).

Tổng chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó là:

\(250\,000{S_1} + 150\,000{S_2} = 250\,000{S_1} + 150\,000\left( {10\pi - {S_1}} \right) \approx 5\,906\,351\) (đồng) \( \approx 5,9\) (triệu đồng).

Vậy chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên nhà bạn Thùy Dương gần bằng 5,9 triệu đồng.

Đáp án: 5,9.

Chọn hệ trục \[Oxy\] sao cho gốc toạ độ \[O\] trùng với giao điểm \[AB,CD\].

Đường tròn lớn có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}} \].

Ta có \[OA = OB = OC = OD = \frac{4}{2} = 2\].

Đường tròn nhỏ có tâm trên trục \[Ox\]là \[\left( {4;0} \right)\] nên có phương trình:

\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \].

Ta có: \[\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\].

Gọi \(H\) là phần hình phẳng gạch chéo.

Ta có hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0\].

Đặt \({H_1} = \left\{ {y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0,x = 2,x = \frac{{37}}{8}} \right\}\); \({H_2} = \left\{ {y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = \frac{{37}}{8},x = 5} \right\}\).

Diện tích của hình \({H_1}\) là \[{S_{{H_1}}} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của hình \({H_2}\)là \({S_{{H_2}}} = \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\).

Khi đó diện tích của hình \(H\) là: \[{S_H} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của đường tròn lớn là: \({S_1} = \pi \cdot {5^2} = 25\pi \).

Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy

\[S = 25\pi - 8{S_H} = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right) \approx 39,7\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = 0,397({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy: \[2 \cdot 0,397 \cdot 82 \approx 65\] (nghìn đồng).

Đáp án: 65.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0\,;0} \right)\), \(B\left( {8\,;0} \right)\), \(K\left( {3\,;0} \right)\).

Tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), \(MK\) là đường cao nên \(M{K^2} = AK \cdot KB = 3 \cdot 5 = 15\).

Tam giác \(AMK\) vuông tại \(K\) nên \(AM = \sqrt {M{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {15 + 9} = 2\sqrt 6 \).

Suy ra \(AD = 2\sqrt 6 \Rightarrow D\left( {2\sqrt 6 \,;0} \right)\).

Đường tròn đường kính \(AB\) có phương trình \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 16\) \( \Rightarrow y = \sqrt {8x - {x^2}} \).

Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AM\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 24\)\( \Rightarrow {y^2} = 24 - {x^2}\).

Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_3^8 {\left( {8x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_3^{2\sqrt 6 } {\left( {24 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \approx 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: 135.

Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\). Suy ra điểm \(I\) thuộc trục \(Oy\).

Parabol \(\left( P \right)\) nằm trên trục hoành có đỉnh là \(I\) thuộc trục \(Oy\) nên phương trình có dạng: \(y = a{x^2} + c\).

Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {0;5} \right)\) nên \(c = 5\).

Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) nên \(0 = a \cdot {6^2} + 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{{36}}\).

Suy ra \(\left( P \right)\): \(y = - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:

\({S_1} = 2\int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} = 2\left. {\left( { - \frac{5}{{108}}{x^3} + 5x} \right)} \right|_{ - 6}^6 = 80\).

Diện tích phần lát gạch gốm sứ: \({S_2} = \pi \cdot {6^2} - {S_1} = 36\pi - 80\).

Tổng chi phí: \(T = {S_1} \cdot 0,3 + {S_2} \cdot 0,9\) \( = 80 \cdot 0,3 + \left( {36\pi - 80} \right) \cdot 0,9 \approx 54\) (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là \(54\) triệu đồng.

Đáp án: 54.

Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Phần mái của nhà kho là một phần của đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\).

Vì \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5;5} \right),H\left( {0;6} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}25 + 25 - 5a + 5b + c = 0\\25 + 25 + 5a + 5b + c = 0\\36 + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + 5b + c = - 50\\5a + 5b + c = - 50\\6b + c = - 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 14\\c = - 120\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} + 14y - 120 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 169 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt {169 - {x^2}} - 7\\y = - \sqrt {169 - {x^2}} - 7\end{array} \right.\).

Vậy thể tích không gian bên trong nhà kho là:

\[V = S \cdot h = \left[ {\int\limits_{ - 5}^5 {\left( {\sqrt {169 - {x^2}} - 7} \right){\rm{d}}x} } \right] \cdot 40 \approx 2269\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\].

Đáp án: 2269.