Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tứ diện \(ABCD\) .Các véc tơ có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện là
![PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. [1] Cho tứ diện \(ABCD\) .Các véc tơ có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1759239860.png)
\[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AD} .\]
\[\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} .\]
\[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {DA} .\]
\[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} .\]
Đó là các véc tơ: \[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} .\]
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\).Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\)
Trong 4 véc tơ \(\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {CB} \,,\overrightarrow {B'C'} ,\overrightarrow {A'C'} \) véc tơ nào cùng hướng với véc tơ \(\overrightarrow {MN} \)
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {B'C} '\).
\(\overrightarrow {A'C'} \).
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)nên \(MN\) song song với \(BC\). Mà tứ giác \(BCC'B'\)là hình bình hành. Do đó \(MN\) song song với \(B'C'\). Vậy hai véc tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow {B'C} '\)cùng hướng.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) .Số các véc tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là
1
2
3
4
Đó là các véc tơ: \[\overrightarrow {DC} ,\,\overrightarrow {D'C'} ,\,\overrightarrow {A'B'} .\]
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Trong các khẳng định dưới đây, đâu là khẳng định đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \).
Xét hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).
Trong không gian cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm và điểm \(M\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 0\).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} \).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Xét hình chóp \(M.ABC\) ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \) (đvđd). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} \)
\(\sqrt 3 \).
\(\sqrt 2 \).
\(2\sqrt 6 \).
\(2\sqrt 2 \).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\sqrt 6 \).
Cho tứ diện \(ABCD\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} \).
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \\\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CB} \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \].
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \vec a\), \(\overrightarrow {CB} = \vec b\), \(\overrightarrow {AA'} = \vec c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AM} = \vec b + \vec c - \frac{1}{2}\vec a\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec a - \vec c + \frac{1}{2}\vec b\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec a + \vec c - \frac{1}{2}\vec b\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \) \( = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính độ dài véctơ \(\overrightarrow x = \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'A} \) theo \(a\)?
\(a\sqrt 2 \).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(a\sqrt 6 \).
\(a\sqrt 3 \).
Ta có \(\overrightarrow x = \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {AC'} \)
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(M,N,P\) là trung điểm của \(SA,SB,SC\). Tìm khẳng định đúng?
\[\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} \].
\[\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PN} } \right)\].
\[\overrightarrow {AB} = 2\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MN} \]\[ = 2\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)\] .
Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
\[{60^o}\].
\[{30^o}\].
\[{45^o}\].
\[{90^o}\].
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Xét \(\Delta SBA\) vuông tại \(B\) ta có: \[\tan \left( {\widehat {SAB}} \right) = \frac{{SB}}{{AB}}\]\[ = \sqrt 3 \] . Suy ra: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = {60^o}\) .
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 4,\widehat {BAC} = {60^o},\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \)là
\[3\].
\[6\].
\[4\].
\[12\].
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC}\) \( \Leftrightarrow 6 = 4.AC.\cos {60^o}\) \( \Leftrightarrow AC = 3\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = a\) và \[\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ \]. Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(AI = 3IB\) và \(J\) là trung điểm của \(CD\). Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \).
a) Tam giác \(BCD\) vuông cân
b)\(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \)
c)\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\]
d)\[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
a) (Đ). b) (S). c) (S). d) (Đ).
a) Dễ thấy tam giác \(ABC,ABD\) đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(ACD\) vuông cân đỉnh \(A \Rightarrow CD = a\sqrt 2 \). Vậy tam giác \(BCD\) có \(BC = BD = a,CD = a\sqrt 2 \)nên tam giác \(BCD\) vuông cân.
b) \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \).
c) Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0\); \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\]; \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}\].
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = {a^2}\].
d) Ta có \(I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2}\)\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4}{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \frac{{5{a^2}}}{{16}} \Rightarrow IJ = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\).
\(\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AB} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{3}{2}{{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow {IJ} \,,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} }}{{IJ.AB}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{4}.a}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(G\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\), \(CD\), \(AC\), \(BD\), \(AD\), \(BC\), \(MN\).
a) \(\overrightarrow {MR} = \overrightarrow {SN} \).
b) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
c) \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm \(I\) trùng với điểm \(G\).
a. (Đ). b. (Đ). c. (S). d. (Đ).
a. \(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {MR} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\\overrightarrow {SN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {MR} = \overrightarrow {SN} \).
b. Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \)
Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \)
Vì \(G\) là trung điểm của \(MN\) nên \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \)
Do đó: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).
c. \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \)
d. Ta có:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {IG} \).
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right| = \left| {4\overrightarrow {IG} } \right| = 4IG\)
Do đó: \(\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G\)
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\] có \[AB = AE = 2\], \[AD = 3\] và đặt \[\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow c = \overrightarrow {AE} \]. Lấy điểm \[M\] thỏa \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \] và điểm \[N\] thỏa \[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} \]. (tham khảo hình vẽ)
![Khi đó ta có a) \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/13-1759240659.png)
Khi đó ta có
a) \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \].
b) \[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
c) \[{\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + n.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}\] với \[m,\,n,\,p\] là các số thực.
d) \[MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].
A | B | C | D |
Đúng | Sai | Đúng | Đúng |
Ta có \[\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \].
\[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\].
\[{\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2} + 2mn.\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2np.\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2mp.\overrightarrow a .\overrightarrow c \]
\[ = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}\]. (vì \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \] đôi một vuông góc nên \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0\]).
Ta có \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b + \overrightarrow c + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c \].
\[M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c } \right)^2} = \frac{4}{{25}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow b ^2} + \frac{9}{{25}}{\overrightarrow c ^2} = \frac{4}{{25}}.4 + \frac{1}{{25}}.9 + \frac{9}{{25}}.4 = \frac{{61}}{{25}}\].
Suy ra \[MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].
Cho hình lăng trụ tam giác đều \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\] có cạnh đáy bằng \[x\] và chiều cao bằng \[y\]. (tham khảo hình vẽ)
![Cho hình lăng trụ tam giác đều \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\] có cạnh đáy bằng \[x\] và chiều cao bằng \[y\]. (tham khảo hình vẽ) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/14-1759240699.png)
Khi đó ta có
a) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{x^2}\].
b) \[\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} \].
c) \[\overrightarrow {C{B_1}} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {A{A_1}} \].
d) Góc \[\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ \] khi \[\frac{y}{x} < \sqrt 2 \].
A | B | C | D |
Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}{x^2}\].
\[\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} \]
\[AC{C_1}{A_1}\] là hình chữ nhật nên ta có \[\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} \].
\[\overrightarrow {C{B_1}} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} \].
Ta có \[\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right) = {y^2} - \frac{1}{2}{x^2}\] và \[A{C_1} = C{B_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \].
Khi đó \[\cos \left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{C_1}} ,\,\overrightarrow {C{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}} } \right|}}{{A{C_1}.C{B_1}}} = \frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}}\].
Theo đề \[\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ \], suy ra \[\frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3{y^4} - 6{x^2}{y^2} < 0 \Leftrightarrow \frac{y}{x} < \sqrt 2 \].
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\) Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a,\,\,\overrightarrow {AA'} = \vec b,\,\,\overrightarrow {AC} = \vec c.\) Ta biểu diễn \(\overrightarrow {B'C} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \), khi đó \(m + n + p\) bằng bao nhiêu ?
Trả lời: \( - 1\).
Ta có
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} \)
\( = - \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
\( = - \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow c \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c\).
Suy ra \(m = - 1\,;\,n = - 1\,;\,p = 1\). Do đó \(m + n + p = - 1\)
Cho tứ diện\(ABCD\), gọi \(I\),\(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
1) \[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].
2) \[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\].
3) \[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} } \right)\].
4) \[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)\].
Trong các đẳng thức trên có bao nhiêu đẳng thức đúng?
Trả lời: \[3\].
Ta có:
1) \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\]. Nên 1) đúng.
2) \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\]. Nên 2) đúng.
3) \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} } \right)\]. Nên 3) đúng.
4) \(\overrightarrow {IJ} \, = \,\,\overrightarrow {IA} + \,\overrightarrow {AJ} \)\( = \, - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \, + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \,\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {BC} } \right)\). Nên 4) là sai.
Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[4\]. Giá trị tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right)\] bằng
Trả lời: \[24\].
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos {60^0} = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24\].
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng độ dài bằng \(6\). Biết độ dài của vectơ \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) bằng \(6\sqrt 3 \). Biết số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(x\) độ. Giá trị của \(x\) là bao nhiêu?
Trả lời: \(120\).
Ta có \(6\sqrt 3 = \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + 4{b^2} + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 108 \Leftrightarrow {6^2} + {4.6^2} + 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b = 108 \Leftrightarrow 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 72 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 18\).
Lại có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{6.6}} = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \].
Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \[120^\circ \].
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(15\). Biết độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \), khi đó giá trị của \(a\) là?
Gọi \(G\) là trọng tâm tâm giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\).
Ta có \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {GA} = 3\overrightarrow {AG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\].
Xét tam giác đều \(BCD\) có \(BM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BM = 5\sqrt 3 \).
Vì tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \widehat {AGB} = 90^\circ \).
Xét tam giác \(ABG\) có \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5\sqrt 6 \).
Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 15\sqrt 6 \Rightarrow a = 15\].
Vậy giá trị của \(a = 15\).
Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \[\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\].
Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)\). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).
Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên
\(SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30\).
Vậy \(a = 30\).
