Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

A. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.                

Dễ thấy vectơ bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ nào\(\overrightarrow {D'C'} \) vì chúng cùng hướng và có cùng độ dài

Vectơ cùng phương với \[\overrightarrow {AB} \]là \[\overrightarrow {CD} \], vì hai vectơ này có giá song song với nhau.

Theo quy tắc hình hộp, ta có mệnh đề sai là \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'} \).

Chọn A

Đáp án B đúng: Vì \(I\) là trung điểm \(MN\) nên ta có : \(\overrightarrow {IN}  + \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 \) .

Đáp án C đúng: Vì \(M\) là trung điểm \[AB\]nên ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Đáp án D đúng. Vì N là trung điểm CD nên ta có \[\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0 \]

Chọn A

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

Có ba vectơ là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} \).

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {D'C'} \) có giá song song nên cùng phương.

\[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GN}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \]

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {C'D'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \)

\( = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MN} \)

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \) sai vì :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]

1. Mệnh đề đúng  vì \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\).

2. Mệnh đề đúng vì \[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\sin \widehat {ASB} = a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]

3. Mệnh đề sai:

Do \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SN} \) và \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\left( {\overrightarrow {SN}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)(1)

Do \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NS}  = 2\overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {SN}  = 2\overrightarrow {MN} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.2.\overrightarrow {MN}  = 4\overrightarrow {MN} \).

4. Mệnh đề sai

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều  và \(I\) là trọng tâm tứ diện nên \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = IG\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(N\)là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SG \bot AG\).

Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do \(I\) là trọng tâm tứ diện\(SABC\) nên \(IG = \frac{1}{4}SG = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

1. Mệnh đề sai vì \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  = \overrightarrow {DC}  \ne \overrightarrow {CD} \).

2. Mệnh đề đúng vì \(\overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {D{D_1}}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {C{C_1}}  = \overrightarrow {D{C_1}} \)

3. Mệnh đề đúng \[\overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {C{D_1}}  = \overrightarrow {A{B_1}} .\overrightarrow {B{A_1}}  = 0\]

4. Mệnh đề sai

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {{B_1}M}  = \overrightarrow {{B_1}B}  + \overrightarrow {BM} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {B{B_1}}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {B{B_1}}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {B{B_1}}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{A_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} } \right)\\ = \overrightarrow {B{B_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{A_1}}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \end{array}\)

1. Mệnh đề sai

2. Mệnh đề đúng: Vì \[M\]là trung điểm \[AB\]nên \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  = 2\overrightarrow {EM} \], \[N\]là trung điểm \[CD\]nên \[\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\overrightarrow {EN} \]

Ta có  \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\left( {\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN} } \right) = \vec 0\]

3. Mệnh đề đúng: Vì \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \]

\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {CB} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \vec 0\end{array}\]

4. Mệnh đề đúng:

Gọi \(M\) là điểm thoả mãn hệ thức \(3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\) suy ra \[M\] cố định vì \(A,B,C,D\) cố định. Ta có

\(P = 3{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MD} } \right)^2}\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right)\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\).

Do đó để \(P\) nhỏ nhất thì \[I\] trùng với \(M\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MG}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MG}  = \vec 0\end{array}\)

Suy ra \[M\] là trung điểm của \(AG\).

Ta có \(BG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AG = \frac{a}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow M{A^2} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Lại có \(M{D^2} = M{C^2} = M{B^2} = M{G^2} + B{G^2} = \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất là \[P = 3.\frac{{{a^2}}}{6} + 3.\frac{{{a^2}}}{2} = 2{a^2}\] khi \[I\] trùng với \(M\).

1. Mệnh đề sai vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

2. Mệnh đề đúng: Vì

\(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {GD}  = 3\overrightarrow {IG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {IG} \).

3. Mệnh đề đúng: Vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow 0 \).     

4. .Mệnh đề đúng vì:

\(\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {IG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} \).

\[\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {AB}  =  - \frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \].

Trả lời: 2

Do \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BC\)nên: \(\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}  =  - \left( {\overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CF} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {FB} \\\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {FB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {E\,F} \]

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {B'D'} } \right| = B'D' = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt {13} \)

Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {B'D'} \) bằng \(a\sqrt {13} \)

Ta có \(\overrightarrow {A'B}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'} \)

\(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {AC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {AA'} ^2} = 0\)

\( \Rightarrow \)Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {A'B} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) bằng \(90^\circ \)

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}\).

\(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB}  =  - \frac{1}{2}S{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}\).

Tam giác \(SAB\) và \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(AB = BC = a\sqrt 2 \). \( \Rightarrow SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}\).

\(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB}  =  - \frac{1}{2}S{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}\).

Tam giác \(SAB\) và \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(AB = BC = a\sqrt 2 \).

Suy ra trung tuyến \(SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó\(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec x\), \(\overrightarrow {BB'}  = \vec y\), \(\overrightarrow {BC}  = \vec z\).

Do \(\overrightarrow {CM} \), \(\overrightarrow {CA'} \) là hai vectơ cùng phương \( \Rightarrow \exists \,k \in \mathbb{R}:\,\overrightarrow {CM}  = k.\overrightarrow {CA'} \).

Và \(\overrightarrow {C'N} \), \(\overrightarrow {C'D} \) là hai vectơ cùng phương \( \Rightarrow \exists \,h \in \mathbb{R}:\,\overrightarrow {C'N}  = h.\overrightarrow {C'D} \).

Ta có: \[\overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z \], (1)

Ta lại có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {CN}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {C'N}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CC'}  + h.\overrightarrow {C'D}  - k.\overrightarrow {CA'} \)

\( = \overrightarrow y  + h.( - \overrightarrow y  + \overrightarrow x ) - k.\left( {\overrightarrow y  - \overrightarrow z  + \overrightarrow x } \right) = \left( {h - k} \right).\overrightarrow x  + \left( {1 - h - k} \right).\overrightarrow y  + k.\overrightarrow z \), (2)

Do \(MN\parallel B'D\) nên tồn tại t∈ℝ:MN →=t.BD'→. Từ (1) và (2) ta có\(\left\{ \begin{array}{l}h - k = t\\1 - h - k = t\\k = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = t\\h = 2t\\1 - 3t = t\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{4} \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BD'} \).

Vậy \(\frac{{MN}}{{BD'}} = \frac{1}{4}\).