Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có : \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {D{D_1}}  + \overrightarrow {B{D_1}}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {B{B_1}}  + \overrightarrow {B{D_1}}  = \overrightarrow {B{A_1}}  + \overrightarrow {B{D_1}}  \ne \overrightarrow {BC} \) nên D sai.

Do \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} \)và \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {{B_1}{A_1}} \) nên \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {{B_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} \), nên A đúng

Do \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {{D_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \overrightarrow {{A_1}{D_1}}  + \overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \overrightarrow {{A_1}{B_1}}  = \overrightarrow {DC} \) nên

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {{D_1}{C_1}}  + \overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \overrightarrow {DC} \) nên B đúng.

Do \[\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {B{B_1}}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {D{D_1}}  = \overrightarrow {B{D_1}} \] nên C đúng.

Ta có

\[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DG} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DG} } \right) + \left( {\overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DG} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {DG} \].

Với \(k = 1\) ta có: \[\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + 1.\left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D} } \right) = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'A'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \].

Ý a) đúng: Ta có \[ABCD\]  là hình vuông nên  \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) ( qui tắc hình bình hành) suy ra\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} \).

Ý b) sai: Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên

      \(\overrightarrow {GS}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} .\)

 Ý c) sai: Ta có \[ABCD\]  là hình vuông nên  nên 

        \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Mà \[\overrightarrow 0  \ne 0\] nên mệnh đề sai.

  Ý d) sai: Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên \(\overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \)

\({\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)\)

Vì \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)\) 

\[ABCD\]  là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\left( 3 \right)\) .Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\] ta được \(9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.\)

Ý a) sai: Theo qui tắc hiệu ta có \(\overrightarrow {DA'}  = \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \) mà \(\overrightarrow {A'D}  \ne \overrightarrow {DA'} \)

   Ý b) đúng: ) Tứ giác\(ABB'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \)

Theo qui tắc hiệu ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {GA'}  - \overrightarrow {GA} \,;\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {GB'}  - \overrightarrow {GB} \)  vậy \(\overrightarrow {GA'}  - \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GB'}  - \overrightarrow {GB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GA} .\)

Ý c) đúng: Đặt cạnh hình lập phương là \(a\) .

Ta có: \(A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

        \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \end{array}\]

Suy ra \[6\overrightarrow {IG}  = 3\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AD} {\kern 1pt} \,.\]

Ý d) đúng: \[\overrightarrow {IG}  = \,\,\,\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \]  suy ra  \[{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\]

\(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]

a)  Sai: \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MN} \].

Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \[\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MN} \].

b)  Đúng: \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {MN} \].

 Ta có : \[\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} ) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} \].

c)  Đúng: \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \[\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 3\overrightarrow {IG} \].

d)  Sai: \(2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IG}  \ne \overrightarrow 0 \).

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên

\(2\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} ) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} \). Suy ra\(\overrightarrow {IG}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AG}  \Rightarrow \overrightarrow {IA}  =  - 3\overrightarrow {IG}  \Rightarrow 2\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IG}  \ne \overrightarrow 0 \).

Ý a) Đúng: Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {MN} \).

Ý b) Sai: Theo ý a)  ta có: \(\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {PA}  + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {MN}  = 2\overrightarrow {PA}  \ne \overrightarrow 0 \).

Ý c) Sai: Ta có: \[\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AP} \] (sai vì \[\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {PA} \]).

Ý d) Đúng: Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Ta có:   \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP}  =  - \frac{3}{2}\overrightarrow {GA}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {GB}  - \frac{3}{2}\overrightarrow {GC}  =  - \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \).

\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc nên \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Ta có \(\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {2.6^2} - {4^2} - 0 = 56\)

Ta có \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Xét \(AC{'^2} = {\overrightarrow {AC'} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

   =\[AA{'^2} + A{B^2} + A{D^2}\]+\(2AA'.AB.\cos \widehat {BAA'}\)+\(2AA'.AD.\cos \widehat {A'AD} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD}\)

 \( = 3{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} + 3.2\sqrt 6 .\sqrt 6 .\cos {60^0} = 6\)

Có \(M\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\)

Xét \(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} \)=\(\frac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} + 0\)\( = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\)

Với  \(AB = AC = a\sqrt 2 \),\(OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - {a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}\)

Ta có \(\vec F = m\vec a\), suy ra \(\left| {\vec F\left| { = m} \right|\vec a} \right| = 0,5.50 = 25\left( {{\rm{\;N}}} \right)\).

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng \(0,5{\rm{\;kg}}\) một gia tốc \(50{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\) thì cần một lực đá có độ lớn là \(25{\rm{\;N}}\).

Đáp số: \(3,08\)

Với hệ trục toạ độ đã chọn thì vị trí hiện tại của khinh khí cầu là \(A\left( {2,5;1,7;0,6} \right)\).

Khi đó khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu là: \(OA = \sqrt {2,{5^2} + 1,{7^2} + 0,{6^2}}  \approx 3,08\left( {km} \right)\)

Đáp số: \(75,6\)

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Do đó, \[GA = GB = GC = \]\(0,5m\).

Gọi \[F\] là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, \(F = F\left( L \right)\) là một hàm số với biến số là \(L\).

Theo bài ra ta có \[OA = OB = OC = L\] nên \[OG \bot \left( {ABC} \right)\] và \[\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = L\]

Do đó, \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]

Vì vậy, tồn tại hằng số \[c \ne 0\] sao cho: \(\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {OB} ,\,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {OC} \). Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = c\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \).

Do đó: \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3c\overrightarrow {OG} \].

Mặt khác ta lại có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), với \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 20N nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 27\)\( \Leftrightarrow 3c\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = 27N \Leftrightarrow c = \frac{9}{{OG}}\) .

Tam giác \[OAG\] vuông tại \[G\](do \[OG \bot \left( {ABC} \right)\]) nên ta suy ra \(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \left( m \right)\) với \(L > 0,5\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}}  \Rightarrow c = \frac{9}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = c\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\) (với \(L > 0,5\))

Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 12 N  \( \Rightarrow F\left( L \right) \le 12 \Leftrightarrow \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }} \le 12 \Leftrightarrow 3L \le 4\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \)\( \Leftrightarrow 9{L^2} \le 16{L^2} - 4 \Leftrightarrow 7{L^2} \ge 4 \Rightarrow L \ge \frac{2}{{\sqrt 7 }} \approx 0,756\) (m).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là \(L = 0,756m = 75,6cm\).