Đề kiểm tra Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 4 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tam giác \[MNP\] vuông tại \[M\] có góc nhọn \[P\] bằng \[\alpha .\] Khi đó \[\cos \alpha \] bằng
\[\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.\]
\[\cos \alpha = \frac{{MN}}{{MP}}.\]
\[\cos \alpha = \frac{{MN}}{{NP}}.\]
\[\cos \alpha = \frac{{MP}}{{MN}}.\]
Chọn A
![Chọn A Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác \[MNP\] vuông tại \[M\] nên \[\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/41-1761181199.png)
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác \[MNP\] vuông tại \[M\] nên \[\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.\]
Tia nắng chiếu qua điểm \[B\] của tòa nhà tạo với mặt đất một góc \[x\] và tạo với cạnh \[AB\] của tòa nhà một góc \[y\] (hình vẽ). Cho biết \[\cos x \approx 0,78\] và \[\cot x \approx 1,25\]. Giá trị \[\sin y\] và \[\tan y\] lần lượt là![Chọn B Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có góc \[x\] và góc \[y\] là hai góc phụ nhau nên \[\sin y = \cos x \approx 0,78\] và \[\tan y = \cot x \approx 1,25\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/7-1761181536.png)
\[\sin {\rm{ }}y \approx 0,75\,;{\rm{ }}\tan y \approx \;1,45.\]
\[\sin {\rm{ }}y \approx 0,78\,;{\rm{ }}\tan y \approx \;1,25.\]
\[\sin {\rm{ }}y \approx 0,35\,;{\rm{ }}\tan y \approx \;1,35.\]
\[\sin {\rm{ }}y \approx 0,45\,;{\rm{ }}\tan y \approx \;1,15.\]
Chọn B
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] có góc \[x\] và góc \[y\] là hai góc phụ nhau nên
\[\sin y = \cos x \approx 0,78\] và \[\tan y = \cot x \approx 1,25\].
Cho tam giác \[ABC\]có \(AB = 16\,;\,\,AB = 14\) và \(\widehat B = 60^\circ \). Độ dài cạnh\(BC\) là
\(BC = 10\).
\(BC = 11\).
\(BC = 9\).
\(BC = 12\).
Chọn A
![Cho tam giác \[ABC\]có \(AB = 16\,;\,\,AB = 14\) và \(\widehat B = 60^\circ \). Độ dài cạnh \(BC\) là A. \(BC = 10\). B. \(BC = 11\). C. \(BC = 9\). D. \(BC = 12\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/14-1761181882.png)
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos 60^\circ = 16.\frac{1}{2} = 8\)
\(AH = AB.\sin B = AB.\sin 60^\circ = 16.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(AHC\) vuông \(H,\) ta có:
\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4\).
Suy ra \(HC = 2\).
Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).
Một cái cây bên bờ một con sông có bề rộng \(AC = 15\;\,\,{\rm{m}}\), từ một điểm \[C\] đối diện với cây ngay bờ bên kia người ta nhìn thấy ngọn cây với góc nâng \(\widehat {ACB} = 50^\circ .\) Hỏi chiều cao \[AB\] của cây là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
\(15\;\,{\rm{m}}\).
\(16\;\,{\rm{m}}\).
\(18\;\,{\rm{m}}\).
\(12\;\,{\rm{m}}\).
Chọn B
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\tan 50^\circ = \frac{{AB}}{{15}}\).
Suy ra \(AB = 15 \cdot \tan 50^\circ \approx 18\;\,({\rm{m)}}\).
Vậy chiều cao \[AB\] của cây khoảng 18 m.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 10\,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C = 30^\circ \). Độ dài các cạnh\(AB,\,\,BC\) lần lượt là
\[AB = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\,;\,\,BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\].
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3};\,\,BC = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).
\[AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\,;\,\,BC = 20\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}\].
\(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}};\,\,BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).
Chọn D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
• \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(AB = AC \cdot \tan C = 10\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\);
• \(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).
Vậy \(AB = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}};\,\,BC = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).
Một người đứng cách chân tháp \[13,65{\rm{ m}}\] nhìn lên đỉnh tháp với phương nhìn hợp với phương nằm ngang một góc bằng \[{\rm{58}}^\circ \]. Biết mắt của người đó cách chân của mình một khoảng \[1,55{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Hỏi tháp cao bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
\[23,38\,\,{\rm{m}}\].
\[21,84\,\,{\rm{m}}\].
\[23,39\,\,{\rm{m}}\].
\[21,85\,\,{\rm{m}}\].
Chọn C
Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] lên đoạn \[AH\].
Vì \[MN\] và \[BH\] là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; \[MB\] và \[NH\] nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác \[MBHN\] là hình chữ nhật.
Suy ra \[NH = MB = 1,55\,\,{\rm{m}}\]; \[MN = BH = 13,65\,\,{\rm{m}}\].
Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = MN \cdot \tan M.\]
Ta có:\[AH = AN + NH\]suy ra \[AH = MN \cdot \tan M + NH\].
Do đó \[AH = 13,65 \cdot \tan 58^\circ + 1,55 \approx 23,39\,\,({\rm{m}}).\]
Vậy chiều cao của tháp khoảng \[23,39\,\,{\rm{m}}\].
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, hai đường cao \(AD,\,\,BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\).
a) \(BD = AD \cdot \tan B\).
b) \(AD = CD \cdot \tan C\).
c) \(BD \cdot CD = DH \cdot AD\).
d) \(\tan B \cdot \tan C = 3\).
a) Sai. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có \(BD = AD \cdot \cot B.\)
b) Đúng. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(D,\) ta có \(AD = CD \cdot \tan C.\)
c) Đúng. Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có: O10-2024-GV154
\(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\));
\(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(BD \cdot CD = DH \cdot AD\).
d) Đúng. Theo giả thiết: \(\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\)O10-2024-GV154 hay \(\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) nên \(AD = 3HD.\)
Do đó \(\tan B \cdot \tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3\).
Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn Việt có độ dài \[100\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạo với phương ngang một góc \[{\rm{42}}^\circ \] còn sợi dây diều của bạn Nam có độ dài \[96\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạo với phương ngang một góc \[{\rm{45}}^\circ \]. Cho biết tầm mắt của cả hai bạn đều là \[1,55\,\,{\rm{m}}\] và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng (tham khảo hình vẽ).
a) Diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng \[68,46\,\,{\rm{m}}.\]
b) So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng \[75,25\,\,{\rm{m}}.\]
c) Diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
d) So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[6,79\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Theo bài ra ta có \[MC = NB = 1,55\,\,{\rm{m}}\] và \[M'C' = N'B' = 1,55\,\,{\rm{m}}\].
a) Đúng. Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AM.\sin M\].
So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là \[AB = AN + NB\].
Do đó \[AB = 100\sin 42^\circ + 1,55 \approx 68,46\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng \[68,46\,\,{\rm{m}}.\]
b) Sai. Tam giác \[A'N'M'\] vuông tại \[N'\] nên \[A'N' = A'M'.\sin M'\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là \[A'B' = A'N' + N'B'\].
Do đó \[A'B' = 96\sin 45^\circ + 1,55 \approx 69,43\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng \[69,43\,\,{\rm{m}}.\]
c) Đúng. Vì\[A'B' > AB\], hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
d) Sai. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn: \[69,43\, - 68,46\,\, = 0,97\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mỗi câu hỏi, thí sinh viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Tư thế ngồi học được xem là đúng khi khoảng cách từ mắt đến vở \(25 - 30\;\,{\rm{cm}}\), người ngồi học có lưng thẳng góc so với mặt đất. Bộ bàn học phù hợp với chiều cao học sinh sẽ gó phần hình thành tư thế ngồi học đúng. Một trong nhưng cách tạo ra bộ bàn ghế phù hợp là mặt bàn viết phải được kê nghiêng lên. Cho biết mặt bàn rộng \(0,6\,\;{\rm{m}}\), góc nghiêng \(24^\circ .\)Hỏi mặt bàn viết được nâng lên \((BC)\) bao nhiêu mét? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:
\[\sin A = \frac{{BC}}{{AC}}\] hay \[\sin 24^\circ = \frac{{BC}}{{0,6}}\] nên \[BC = 0,6 \cdot \sin 24^\circ = 0,24\,\,({\rm{m}})\].
Vậy mặt bàn viết được nâng lên \(0,24\,\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Đáp án: 0,24.
Một cột đèn cao \[7\,\,{\rm{m}}\] có bóng trên mặt đất dài \[4\,\,{\rm{m}},\] gần đó có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất dài \[80\,\,{\rm{m}}\] (hình vẽ).
![Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/57-1761200288.png)
Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\]
![Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\] (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/58-1761200319.png)
Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng \[\alpha .\]
Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng \[\alpha .\]
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}\]. (1)
Vì tam giác \[DEF\] vuông tại \[E\] nên \[\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}\]. (2)
Từ (1), (2), ta thu được \[\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.\]
Do đó \[DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140\] (m).
Như vậy, chiều cao của tòa nhà là \[140\,\,{\rm{m}}.\]
Vậy tòa nhà đó cao \[140:2 = 70\] (tầng).
Đáp án: 70.
Một chiếc cầu trượt bao gồm phần cầu thang (để bước lên) và phần ống trượt (để trượt xuống) nối liền nhau như hình vẽ. Biết rằng khi xây dựng, phần ống trượt nghiêng với mặt đất một góc là \(35^\circ ,\) phần cầu thang (xem như đoạn thẳng \[AB)\] nghiêng với mặt đất một góc \(45^\circ ,\) khoảng cách từ chân thang đến chân ống trượt là \(3,58\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Tính độ cao \[AH\] của cầu trượt. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Đặt \(AH = x\,\,(\;{\rm{m}}),\,\,x > 0\).
• Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \[H,\] ta có:
\(\tan C = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(\tan 35^\circ = \frac{x}{{CH}}\) nên \(CH = \frac{x}{{\tan 35^\circ }}\).
• Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có:
\(\tan B = \frac{{AH}}{{BH}}\) hay \(\tan 45^\circ = \frac{x}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{x}{{\tan 45^\circ }}\).
Ta có: \[BH + CH = BC\]
\[\frac{x}{{\tan 35^\circ }} + \frac{x}{{\tan 45^\circ }} = 3,58\]
\[x\left( {\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}} \right) = 3,58\]
\(x = \frac{{3,58}}{{\frac{1}{{\tan 35^\circ }} + \frac{1}{{\tan 45^\circ }}}} \approx 1,44\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)
Độ cao của cầu trượt là \(1,44\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Đáp án: 1,44.
