Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 6 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( B \right) > 0\) và \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\). Tính \(P\left( {\overline A |B} \right)\) có kết quả là
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,5\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,6\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,3\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4\).
Đáp án đúng: C
Với mọi biến cố \(A\) và \(B\), \(P\left( B \right) > 0\) ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,7 = 0,3\).
Một hộp có 10 viên bi trắng và 15 viên bi đỏ, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp và không trả lại. Lần thứ hai lẫy ngẫu nhiên thêm một viên bi nữa trong hộp đó.
Gọi A là biến cố: “Lần thứ hai lấy được 1 viên bi trắng”;
B là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được 1 viên bi đỏ”.
Tính \[P\left( {A|B} \right)\].
\(\frac{5}{{12}}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{7}{{30}}\).
Đáp án đúng: A
Lần thứ nhất lấy được bi đỏ khi đó trong hộp chỉ còn lại \[24\] viên bị gồm \[10\] viên bị trắng và \[14\] viên bị đỏ.
Khi đó xác suất để lần thứ hai lấy được bi trắng biết lần thứ nhất lấy được bị đỏ là:
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{24}^1}} = \frac{5}{{12}}\].
Một công ty bất động sản đấu giá quyền sử dụng hai mảnh đất độc lập. Khả năng trúng đấu giá cao nhất của mảnh đất số 1 là \(0,7\) và mảnh đất số 2 là \(0,8.\) Xác suất để công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 2, biết công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 1 là
\(0,8.\)
\(0,7.\)
\(0,75.\)
\(0,6.\)
Đáp án đúng: A
Gọi \(A\) là biến cố: “Công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 1”;
Gọi \(B\) là biến cố: “Công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 2”.
Gọi \(C\) là biến cố: “Công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 2, biết công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 1” \( \Rightarrow P\left( C \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right) = 0,8.\)
Cho hai biến cố \[A,\,B\] thỏa mãn \[P\left( {\overline B } \right) = 0,2;\,P\left( {A|B} \right) = 0,5;\,P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,3\]. Khi đó, \[P\left( A \right)\] bằng
\(0,46\).
\(0,34\).
\(0,15\).
\(0,31\).
Đáp án đúng: A
Ta có: \[P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0,8\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,5 + 0,2.0,3 = 0,46\].
Cho hai biến cố \(A,B\) thỏa mãn \(P\left( A \right) = 0,4\), \(P\left( B \right) = 0,3\), \(P\left( {A|B} \right) = 0,25\). Khi đó, \(P\left( {B|A} \right)\) bằng
\(0,1875\).
\(0,48\).
\(0,333\).
\(0,95\).
Đáp án đúng: A
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875\).
Cho hai biến cố \[A\] và \[B\], với \[P\left( B \right) = 0,8\], \[P\left( {A|B} \right) = 0,7\], \[P\left( {A|\overline B } \right) = 0,45\]. Tính \[P\left( {B|A} \right)\].
\[0,25\].
\[\frac{{56}}{{65}}\].
\[0,65\].
\[0,5\].
Đáp án đúng: B
Ta có: \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\]. Công thức Bayes: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\].
\[ \Rightarrow P\left( {B|A} \right) = \frac{{0,8.0,7}}{{0,8.0,7 + 0,2.0,45}} = \frac{{56}}{{65}}\].
Các thí sinh tham dự một cuộc thi hoa khôi phải trải qua ba vòng thi: Vòng sơ khảo, Vòng bán kết và Vòng chung kết. Biết rằng, ban tổ chức sẽ chọn ra \(50{\rm{\% }}\) thí sinh đã đăng kí để vào Vòng sơ khảo. Khi kết thúc vòng sơ khảo, ban tổ chức sẽ chọn ra \(30{\rm{\% }}\) thí sinh của Vòng sơ khảo để vào Vòng bán kết. Khi kết thúc vòng bán kết, ban tổ chức sẽ chọn ra \(20{\rm{\% }}\) thí sinh của Vòng bán kết để vào Vòng chung kết. Chọn ngẫu nhiên 1 thí sinh đăng kí tham dự cuộc thi hoa khôi.
(a) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào Vòng sơ khảo là \(0,5\).
(b) Xác suất để thí sinh được chọn lọt vào Vòng bán kết là \(0,3\).
(c) Xác suất thí sinh được chọn lọt vào Vòng chung kết là \(0,03\).
(d) Biết rà̀ng thí sinh được chọn không lọt vào Vòng chung kết, xác suất thí sinh đó lọt vào Vòng sơ khảo nhỏ hơn \(0,49\).
Gọi \(A,B,C\) lần lượt là biến cố thí sinh được chọn lọt vào Vòng sơ khảo, Vòng bán kết và Vòng chung kết.
a) Đúng. Vì có \(50{\rm{\% }}\) thí \({\rm{sinh}}\) lọt vào vòng sơ khảo nên \(P\left( A \right) = 0,5\).
b) Sai. Xác suất để thí sinh lọt vào Vòng bán kết là
\({\rm{\;}}P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right) = 0,3 \cdot 0,5 = 0,15\).
c) Đúng. Xác suất để thí sinh lọt vào Vòng chung kết là
\(P\left( C \right) = P\left( {ABC} \right) = P\left( {C\mid AB} \right)P\left( {AB} \right) = 0,2.0,15 = 0,03\).
d) Sai. Ta có \(P\left( {\overline C \mid A} \right) = 1 - P\left( {C\mid A} \right) = 1 - \frac{{P\left( C \right)}}{{P\left( A \right)}} = 0,94\).
\[P\left( {A\mid \overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline C \mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,94.0,5}}{{1 - 0,03}} = \frac{{47}}{{97}} = 0,485 < 0,49\].
Một túi chứa ba đồng xu công bằng (fair coin - tức đồng xu có đủ hai mặt sấp ngửa) và một đồng xu có hai mặt ngửa (double-heađe coin). Một đồng xu được chọn ngẫu nhiên từ túi và được gieo để xem mặt hiện ra là ngửa hay sấp.
(a) Xác suất để đồng xu fair coin được chọn và mặt sấp xuất hiện bằng \(\frac{1}{2}\).
(b) Xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng \(\frac{5}{8}\).
(c) Nếu biết mặt ngửa đã xuất hiện, xác suất đồng xu có hai mặt ngửa đã được chọn bằng \(\frac{3}{5}\).
(d) Nếu gieo đồng xu lần đầu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để khi gieo đồng xu đó lần thứ hai vẫn xuất hiện mặt ngửa bằng \(\frac{7}{{10}}\).
a) Sai. Gọi A là biến cố:” đồng xu fair coin được chọn”;
B là biến cố:”Mặt sấp xuất hiện khi gieo đồng xu”.
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{3}{8}\).
b) Đúng. Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. {\overline B } \right|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. {\overline B } \right|\overline A } \right) = \frac{3}{4}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}.1 = \frac{5}{8}\).
c ) Sai. Ta có \(P\left( {\left. {\overline A } \right|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.1}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{2}{5}\).
d) Đúng. Gọi C: “lần đầu xuất hiện mặt ngửa”;D:” lần 2 xuất hiện mặt ngửa”.
Ta có \(P\left( {\left. D \right|C} \right) = \frac{{P\left( {D \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).
Ta tính \(P\left( {D \cap C} \right)\).
TH1: lần 1 chọn được đồng xu fair coin.
+) Xác suất chọn được 1 đồng xu fair coin là \(\frac{3}{4}\).
+) Xác suất khi gieo 1 đồng xu fair coin lần đầu xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\).
+) Xác suất khi gieo 1 đồng xu fair coin lần hai xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\).
Vậy xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa và lần hai ngửa là \(\frac{3}{4}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{{16}}\).
TH2: Lần 1 chọn được đồng xu double-heađe coin.
Tương tự TH1
Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa và lần hai ngửa là \(\frac{1}{4}.1.1 = \frac{1}{4}\).
\(P\left( {D \cap C} \right) = \frac{3}{{16}} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{16}}\).
Vậy \(P\left( {D|C} \right) = \frac{{P\left( {D \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{7}{{16}}}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{7}{{10}}\).
Trong một kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho học sinh trung học phổ thông của một khu vực (các học sinh của cả ba khối cùng tham gia giải một đề thi), ban tổ chức thống kê kết quả thi và thu được kết quả như sau:
- Trong 500 học sinh tham gia cuộc thi, có \(60{\rm{\% }}\) học sinh đạt huy chương, trong đó có 15 học sinh đạt huy chương vàng, 80 học sinh đạt huy chương bạc, còn lại là huy chương đồng.
- Trong số 300 học sinh lớp 12 có 6 học sinh đạt huy chương vàng, 24 học sinh đạt huy chương bạc. Số học sinh đạt huy chương đồng lớp 12 chiếm \(9{\rm{\% }}\) tổng số học sinh dự thi.
Chọn ngẫu nhiên một em học sinh. Nếu biết học sinh được chọn là học sinh lớp 12 đạt huy chương thì xác suất để học sinh được chọn đạt huy chương đồng là a%. Tìm a. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Gọi các biến cố:
\({A_1}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương vàng”;
\({A_2}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương bạc”;
\({A_3}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương đồng”;
B: “Học sinh được chọn học lớp 12 và đạt huy chương”.
Theo đề bài, ta có
\(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{15}}{{500}} = 0,03;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{80}}{{500}} = 0,16;\)
\(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{500.60{\rm{\% }} - \left( {15 + 80} \right)}}{{500}} = 0,41\);
\(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{6}{{300}} = 0,02;P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{24}}{{300}} = 0,08;P\left( {B\mid {A_3}} \right) = \frac{{500.9{\rm{\% }}}}{{300}} = 0,15\).
Do đó, theo công thức Bayes, xác suất chọn được một học sinh đạt huy chương đồng nếu biết học sinh đó là học sinh lớp 12 và đạt huy chương là
\(P\left( {{A_3}\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid {A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)}}{{P\left( {B\mid {A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B\mid {A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B\mid {A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)}}\)
\( = \frac{{0,15.0,41}}{{0,02.0,03 + 0,08.0,16 + 0,15.0,41}} \approx 82{\rm{\% }}\).
Vậy \(a = 82\).
Đáp án: 82.
Bạn Minh làm hai bài tập liên tiếp. Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu Minh làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8 nhưng nếu Minh làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,2. Xác suất để Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh làm đúng bài thứ hai là \(\frac{a}{b},(a,b \in {\mathbb{N}^*})\). Biết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, tính \(T\, = 2a\, + b\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Minh làm đúng bài thứ nhất”.
\(\overline A \) là biến cố: “Minh làm sai bài thứ nhất”.
\(B\)là biến cố: “Minh làm đúng bài thứ hai”.
Theo đề bài, ta có các xác suất:
\[P\left( A \right) = 0,7\];
\[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,7 = 0,3\];
\[P\left( {B\mid A} \right) = 0,8\];
\[P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\].
Xác suất Minh làm đúng cả hai bài là:
\[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) = 0,8.0,7 = 0,56\].
Xác suất Minh làm sai bài thứ nhất và đúng bài thứ hai là:
\[P\left( {\overline A \cap B} \right) = P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,2.0,3 = 0,06\].
Ta có \[P\left( B \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {\overline A \cap B} \right) = 0,56 + 0,06 = 0,62\].
Xác suất Minh làm đúng bài thứ nhất biết rằng Minh đã làm đúng bài thứ hai là:
\[P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,56}}{{0,62}} = \frac{{28}}{{31}}\].
Khi đó \[T = 2a + b = 2.28 + 31 = 87\].
Vậy, giá trị T là 87.
Đáp án: 87.
Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là \[65\% \] và \[35\% \]. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là \[10\% \], nhóm cao đẳng là \[15\% \]. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi \[A\] là biến cố “ Chọn nhân viên có trình độ đại học” .
Gọi \[B\] là biến cố “ Chọn nhân viên bị tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn” .
Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là \[65\% \] và \[35\% \] nên \[P\left( A \right) = 0,65 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,35\].
Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là \[10\% \], nhóm cao đẳng là \[15\% \] nên \[P\left( {B|A} \right) = 0,1\] và \[P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\].
Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì xác suất để người này có trình độ đại học là \[P\left( {A|B} \right).\]
Theo công thức ta có: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,65.0,1}}{{0,65.0,1 + 0,35.0,15}} = 0,55\].
Đáp án: 0,55 .
