Đề kiểm tra Toán 12 Cánh diều Chương 4 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x\] là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
\({f_3}\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x\).
\({f_4}\left( x \right) = - \frac{1}{4}\cos 2x\).
\({f_2}\left( x \right) = \cos 2x\).
\({f_1}\left( x \right) = - \cos 2x\).
Đáp án đúng: C
Ta có \({\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)^\prime } = \cos 2x\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\)của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + 2\sin x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 20\) là:
\(F\left( x \right) = - {e^x} - 2\cos x + 23\).
\(F\left( x \right) = {e^x} - 2\cos x + 21\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + 2\cos x + 17\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + 2\sin x + 19\).
Đáp án đúng:B
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{e^x} + 2\sin x} \right)} } \,{\rm{d}}x = {e^x} - 2\cos x + C\)
Mà \(F\left( 0 \right) = 20 \Leftrightarrow {e^0} - 2\cos 0 + C = 20 \Leftrightarrow C = 21\) .
Vậy \(F\left( x \right) = {e^x} - 2\cos x + 21\).
Cho \[\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x = 3} \], \[\int\limits_1^2 {g(x){\rm{d}}x = 2} \]. Giá trị \[\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]{\rm{d}}x} \] bằng
\( - 1\).
\(6\).
\(1\).
\(5\).
Đáp án đúng:D
\(\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g(x){\rm{d}}x} \)\( = 3 + 2 = 5\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - 3} \).Tính \(f\left( 2 \right).\)
\(f\left( 2 \right) = - 4\).
\(f\left( 2 \right) = - 2\).
\(f\left( 2 \right) = 4\).
\(f\left( 2 \right) = - 3\).
Đáp án đúng:B
Ta có:\(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - 3} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = - 3 + f\left( 0 \right) = - 3 + 1 = - 2\).
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = a\), \(a > 0\)(phần tô đậm trong hình vẽ) được tính theo công thức
\(S = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(S = - \int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(S = - \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(S = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Đáp án đúng:A
Diện tích hình phẳng: \[S = \int\limits_0^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_c^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
Cho hình phẳng\(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4x\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1\] và \[x = 3\]. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \[Ox\] có thể tích là
\(V = \frac{{406}}{{15}}\).
\(V = \frac{{406}}{{15}}\pi \).
\(V = \frac{{22}}{3}\pi \).
\(V = \frac{{512}}{{15}}\pi \).
Đáp án đúng:B
Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \[Ox\] có thể tích là
\(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 4x} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{{406}}{{15}}\pi \).
Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm \(t\) (giờ) được kí hiệu là \(N\left( t \right)\). Ban đầu (\(t = 0\) giờ), mật độ vi khuẩn đo được là \(N\left( 0 \right) = 10\) triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn \(N'\left( t \right)\) (đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức \(N'\left( t \right) = 18t - 3{t^2}\) (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với \(t\) là thời gian tính bằng giờ \(\left( {0 \le t \le 7} \right)\).
(a)\(N'\left( 1 \right) = 15\) triệu tế bào/ml giờ.
(b)\(\int {N'\left( t \right){\rm{d}}t} = 9{t^2} - {t^3}\).
(c) So với lúc ban đầu (\(t = 0\)), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml khi đến thời điểm \(t = 6\) giờ.
(d) Tại thời điểm \(t = 7\) giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.
a) Đúng. Ta có \(N'\left( 1 \right) = 18.1 - {3.1^2} = 15\) triệu tế bào/ml giờ.
b) Sai. Ta có \(\int {N'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {18t - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 9{t^2} - {t^3} + C\) (\(C \in \mathbb{R}\)).
c) Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + C\) (\(C \in \mathbb{R}\)).
Mà \(N\left( 0 \right) = 10\) nên \(C = 10\). Vậy \(N\left( t \right) = 9{t^2} - {t^3} + 10\).
Tại thời điểm \(t = 6\), ta có \(N\left( 6 \right) = {9.6^2} - {6^3} + 10 = 118\). Ban đầu (\(t = 0\) giờ), mật độ vi khuẩn đo được là \(N\left( 0 \right) = 10\) triệu tế bào/ml nên tại thời điểm \(t = 6\), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml.
d) Đúng. Tại thời điểm \(t = 7\) giờ, ta có \(N\left( 7 \right) = {9.7^2} - {7^3} + 10 = 108\) nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.
Một robot tự hành ở một cảng vận chuyển công nghệ cao bắt đầu di chuyển từ vị trí nghỉ tại điểm \(A\). Robot di chuyển như sau: Trong giai đoạn đầu, robot tăng tốc đều từ vận tốc \(0\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) đến \(10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong thời gian chưa biết \({t_1}\) giây theo hàm số vận tốc \({v_1}\left( t \right) = at\) (\(a\) gọi là gia tốc trong giai đoạn này, \(a\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\)). Sau đó, robot tiếp tục di chuyển với vận tốc không đổi trong 40 giây. Cuối cùng, robot giảm tốc đều từ \(10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) và dừng lại đúng tại băng chuyền điểm \(B\) với thời gian \({t_2}\) giây theo hàm vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 10 - bt\)(\(b\)gọi là gia tốc trong giai đoạn này, \(b\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\)). Toàn bộ quá trình vận chuyển diễn ra trong tổng thời gian là 70 giây.
(a)Nếu gia tốc \(a = 0,5\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), thời gian tăng tốc \({t_1}\) bé hơn \(21\) giây.
(b) Nếu gia tốc \(b = 0,8\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), thời gian giảm tốc \({t_2}\) lớn hơn \(13\) giây.
(c) \(a + b \le \,\frac{5}{4}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
(d) Tổng quãng đường mà robot đã di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(550\,{\rm{m}}\).
Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = a.t\), \(\left( {a > 0} \right)\).
Đến khi xe đạt vận tốc \({\rm{10}}\,{\rm{m/s}}\) thì xe chuyển động hết \({t_1} = \frac{{10}}{a}\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc \({v_2} = 10 - bt\), \(\left( {b > 0} \right)\).
Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được \(10 - b{t_2} = 0 \Rightarrow {t_2} = \frac{{10}}{b}\left( {\rm{s}} \right)\).
Tổng thời gian hành trình: \({t_1} + 40 + {t_2} = 70 \Rightarrow \frac{{10}}{a} + \frac{{10}}{b} = 30 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3\).
a) Đúng. Nếu gia tốc \(a = 0,5\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), thời gian tăng tốc \({t_1} = \frac{{10}}{{0,5}} = 20\,\)giây < \(21\) giây.
b) Sai. Nếu gia tốc \(b = 0,8\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), thời gian giảm tốc \({t_2} = \frac{{10}}{{0,8}} = 12,5\) giây < \(13\) giây.
c) Sai. Với\(a > 0,\,\,b > 0\),ta có bất đẳng thức:\(\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\,\) mà \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3\)nên \(a + b \ge \frac{4}{3}\).
Do đó \(a + b \le \,\frac{5}{4}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) là một đáp án sai.
d) Đúng. Quãng đường tăng tốc: \({S_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {v\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{d}}t} } = \frac{1}{2}a{\left( {{t_1}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{100}}{a} = \frac{{50}}{a}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) .
Quãng đường giảm tốc: \({S_2} = \int\limits_0^{{t_2}} {\left( {10 - bt} \right){\rm{d}}t} = 10{t_2} - \frac{1}{2}bt_2^2\).
Ta có \({t_2} = \frac{{10}}{b} \Rightarrow {S_2} = 10 \cdot \frac{{10}}{b} - \frac{1}{2}b{\left( {\frac{{10}}{b}} \right)^2} = \frac{{100}}{b} - \frac{{50}}{b} = \frac{{50}}{b}\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Quãng đường chuyển động đều: \(10 \cdot 40 = 400\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Tổng quãng đường:
\[S = {S_1} + 400 + {S_2} = \frac{{50}}{a} + 400{\mkern 1mu} + \frac{{50}}{b} = 50\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + 400 = 150 + 400 = 550\,{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right).\]
Một xe mô tô đang chạy với vận tốc \[20\] m/s thì tài xế giảm ga và kéo phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi phương trình: \(v\left( t \right) = - 4t + 20\) (m/s), trong đó thời gian \[t\] được tính bằng giây. Hỏi từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, do đó \( - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (giây).
Từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường là:
\(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = 50\) (mét).
Đáp án: 50.
Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau:
Chiều cao \(GH = 4\,{\rm{m}}\), chiều rộng \(AB = 4\,{\rm{m}}\), \(AC = BD = 0,9\,{\rm{m}}\). Chủ nhà làm hai cánh cổng nhựa lõi thép UPVC, khi đóng lại là hình chữ nhật \(CDEF\) tô đậm có giá là \(1\,500\,000\) đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là \(1\,000\,000\)đồng/m2. Tổng số tiền để làm hai phần nói trên là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đặt hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ.
Gọi PT Parabol có dạng: \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\).
\(\left( P \right)\) có đỉnh \(G\left( {0;\,4} \right)\) và đi qua \(B\left( {2;\,0} \right)\) suy ra: \(a = - 1;\,b = 0;\,c = 4\)\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = - {x^2} + 4\).
Ta có: \({x_E} = {x_D} = 1,1 \Rightarrow {y_E} = - 1,{1^2} + 4 = 2,79\)\( \Rightarrow ED = 2,79\).
\({S_{CDEF}} = CD.DF = 2,2.2,79 = 6,138\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol \(\left( P \right)\) và trục hoành là
\({S_{\left( P \right)}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} = \frac{{32}}{3}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Suy ra diện tích làm xiên hoa là: \(S = {S_{\left( P \right)}} - {S_{CDEF}} = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Đổi đơn vị: \(1\,500\,000\) đồng/m2 \( = 1\,,5\) triệu đồng/m2, \(1\,000\,000\)đồng/m2 \( = 1\,\)triệuđồng/m2.
Tổng số tiền để làm hai phần nói trên là:
\(T = 6,138.1,5 + \frac{{6793}}{{1500}}.1 \approx 13,7\) (triệu đồng).
Đáp án: 13,7.
Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).
Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh \({L_0} = 26\;{\rm{m,}}\) mặt đỉnh là hình vuông có cạnh \({L_{30}} = 20\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh \({L_{min}} = 13,75\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi \(L\left( x \right)\) là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.
Theo đề ta có, \(L\left( x \right)\)là một parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;13\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {30;10\sqrt 2 } \right),\,\,\left( {{x_o};\frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right)\) , trong đó \({x_o}\) là vị trí toà nhà có cạnh cạnh \({L_{min}} = 13,75\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Ta có \(L\left( x \right) = a{\left( {x - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}\).
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}L\left( 0 \right) = a{\left( {0 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 13\sqrt 2 \\L\left( {30} \right) = a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8} = 10\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{\left( {{x_o}} \right)^2} = \frac{{49\sqrt 2 }}{8}\\a{\left( {30 - {x_o}} \right)^2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{8}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{{x_o}^2}}{{{{\left( {30 - {x_o}} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 105\,\left( L \right)\\{x_o} = 17,5\,\,\left( {TM} \right) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}\end{array} \right.\,\)
Suy ra \(L\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{\left( {x - 17,5} \right)^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}\).
Do đó, diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = 2{\left[ {L\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17,5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]^2}\).
Vậy thể tích của toà nhà là \(\)\[V = \int\limits_0^{30} {S\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{30} {2{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{50}}{{\left( {x - 17,5} \right)}^2} + \frac{{55\sqrt 2 }}{8}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \approx 8976\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].
Đáp án: 8976.
