Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Kết quả giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4x + 2} \right)\) là
\(1\).
\(5\).
\(6\).
\(2\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4x + 2} \right) = 6\). Chọn C.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}\). Hàm số gián đoạn tại điểm nào?
Hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = - 1\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = - 3\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) không xác định tại \(x = 1\). Do đó hàm số gián đoạn tại \(x = 1\). Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 2}}\). Hàm số liên tục trên khoảng nào sau đây?
\(\mathbb{R}\).
\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;3} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Do đó hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\). Chọn C.
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2\) và \(\lim {v_n} = 3\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) bằng
\(5\).
\(6\).
\( - 1\).
\(1\).
\(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 2 \cdot 3 = 6\). Chọn B.
\(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{{n^6} + 5{n^5}}}\) bằng
\(2\).
\(0\).
\( - \frac{3}{5}\).
\( - 3\).
\(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{{n^6} + 5{n^5}}}\)\( = \lim \frac{{\frac{2}{{{n^4}}} - \frac{3}{{{n^6}}}}}{{1 + \frac{5}{n}}} = 0\). Chọn B.
Hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {x - 2} \) gián đoạn tại điểm nào sau đây?
\({x_0} = 4\).
\({x_0} = 0\).
\({x_0} = 2\).
\({x_0} = 3\).
Hàm số xác định khi \(x \ge 2\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = 0\). Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\).
\(f\left( 8 \right) = - \frac{1}{5}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \frac{1}{3}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \frac{1}{6}\).
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = a,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = b\). Khi đó \(3a + 4b = 2\).
a) \(f\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {8 + 1} - 2}}{{8 - 3}} = \frac{1}{5}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{3}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}}\)\( = \frac{1}{4}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}\)\( = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(a = 0;b = \frac{1}{2}\). Do đó \(3a + 4b = 2\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;\;x \le 2\\\frac{{\sqrt {3x - 2} - 2}}{{x - 2}}\;\;{\rm{khi}}\;\;x > 2\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \frac{1}{4}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \frac{3}{4}\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {3x - 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 2}} = \frac{3}{4}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right)\)\( = \frac{1}{4}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\).
Có \(f\left( 2 \right) = \frac{3}{4}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\). Do đó hàm số liên tục tại \(x = 2\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\)
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{1 - \sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{1 - \sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\left( {1 - \sqrt {x + 3} } \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{ - 1}}{{\left( {1 + \sqrt {x + 3} } \right)}} = - 0,5\].
Trả lời: −0,5.
Tìm \(a\) để \(\lim \frac{{a{n^3} + {n^2} - 4}}{{2{n^3} + 1}} = - 2\).
\(\lim \frac{{a{n^3} + {n^2} - 4}}{{2{n^3} + 1}} = \lim \frac{{a + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{a}{2}\).
Suy ra \(\frac{a}{2} = - 2 \Leftrightarrow a = - 4\).
Trả lời: −4.
Bạn An thả một quả bóng cao su từ độ cao 12 mét so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường của quả bóng mà bạn An thả đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa)? (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là \({u_1} \Rightarrow {u_1} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8\).
Khi đó \({u_2} = \frac{2}{3}{u_1};{u_3} = \frac{2}{3}{u_2};....\)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 8;q = \frac{2}{3}\).
Khi đó tổng quãng đường quả bóng di chuyển là
\(S = 12 + 2{u_1} + 2{u_2} + ... + 2{u_n} + ...\)\( = 12 + 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...} \right) = 12 + 2 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = 12 + 2 \cdot \frac{8}{{1 - \frac{2}{3}}} = 60\).
Trả lời: 60.
