Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Ta có phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).

Do đó phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có nghiệm. Chọn A.

Ta có \(\sin x = \sin \alpha \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Chọn D.

Ta có \(\cos 2x = 1\)\( \Leftrightarrow 2x = k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.

\(2\sin x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên

TH1: \( - \pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}\)\( \Leftrightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \( - \pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{12}} \le k \le \frac{1}{{12}}\)\( \Leftrightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\) thuộc tập \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\). Chọn B.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\)

\(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\) .

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\). Chọn B.

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.

\(\sin x = \cos \left( {2x} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Nghiệm dương bé nhất là \(\frac{\pi }{6}\) và nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{\pi }{2}\).

Tổng là: \(\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3}\). Chọn A.

\(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

TH1: \(x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)

Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_min = 0. Do đó \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}\).

Với \(x < 0\)thì \(k < \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_max = −1. Do đó \(x = \frac{{ - 11\pi }}{{36}}\).

TH2: \(x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)

Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_min = 0. Do đó \(x = \frac{{17\pi }}{{36}}\).

Với \(x < 0\) thì \(k < \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra k_max = −1. Do đó \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\).

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}.\)

Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: \( - \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{13\pi }}{{36}} = \frac{\pi }{6}\). Chọn C.

\[\cos x = 0\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]. Chọn B.

Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\cot x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.

a) Thời điểm bắt đầu dao động thì t = 0. Khi đó \(h = \left| {3\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right| = \frac{3}{2}\).

b) Có \(x = \frac{3}{2}\) nên \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2t - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \\t = k\pi \end{array} \right.\).

Vì \(0 \le t \le 5\) nên \(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 5\\0 \le k\pi \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{\pi } - \frac{1}{3}\\0 \le k \le \frac{5}{\pi }\end{array} \right.\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;k = 1\).

Với \(k = 0\) thì \(t = 0\); \(t = \frac{\pi }{3}\). Với \(k = 1\) thì \(t = \pi ;t = \frac{{4\pi }}{3}\).

Vậy có 4 thời điểm mà \(x = \frac{3}{2}\).

c) Vật đi qua vị trí cân bằng khi \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}\).

Vì \(0 \le t \le 10\) nên \(0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \le k \le \frac{{20}}{\pi } - \frac{5}{6}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây vật đi qua vị trí cân bằng 6 lần.

d) Vật xa vị trí cân bằng nhất khi \(\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \pm 1\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\).

Thời điểm đầu tiên để vật cách xa vị trí cân bằng nhất ứng với k = 0. Khi đó \({t_0} = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;1} \right)\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\). Suy ra phương trình có 3 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là

\(\frac{\pi }{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{25\pi }}{6}\).

d) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{13\pi }}{6}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {3.\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \pi = 0\).

b) Điều kiện: \(\cos 3x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Do tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 3x} \right) = - \tan 3x = - f\left( x \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

d) Ta có \(\tan 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3} < \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Khi đó ta có các nghiệm \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{{12}};\frac{{5\pi }}{{12}};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).

Do đó tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Điều kiện: \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

Có \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vì \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 0.

Với k = 0 thì \(x = \frac{\pi }{6}\). Suy ra \(m = - 6\).

Trả lời: −6.

Có \(h = 12\)\( \Leftrightarrow 15 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 12\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 12 + k24\).

Vì \(0 \le t < 24\) nên k = 0.

Với k = 0 thì t = 12.

Vậy vào lúc 12 giờ thì chiều cao mực nước biển là 12 m.

Trả lời: 12.

Có \(s = 4,3 \Leftrightarrow 8,6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4,3\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4}\).

Vì \(t \in \left[ {0;2} \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4} \le 2\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{8}{\pi } + \frac{1}{6}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.

Vậy có 2 thời điểm.

Trả lời: 2.