Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\left( {2; - 3;5} \right)\] lên \[Oy\]. Suy ra \[H\left( {0; - 3;0} \right)\]

Khi đó \[H\] là trung điểm đoạn \[AA'\].

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( { - 2; - 3; - 5} \right)\). Chọn D.

Ta có: \(2\vec a = \left( {4; - 6;6} \right)\), \(3\vec b = \left( {0;6; - 3} \right)\), \( - 2\vec c = \left( { - 6;2; - 10} \right)\) \( \Rightarrow \vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c = \left( { - 2;2; - 7} \right)\). Chọn B.

\(\overrightarrow {AB} = (2;3; - 3) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {22} .\) Chọn D.

Trung điểm \(I\) có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\\\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 2} \right) + 2}}{2} = 0\\\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {1;0;4} \right)\). Chọn B.

Ta có \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {5; - 1; - 1} \right)\]. Chọn \[\overrightarrow w = \left( {5; - 1; - 1} \right)\].Chọn B.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\;0;\;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;\;1;\;1} \right)\)\( \Rightarrow \left( { - 1} \right).1 + 0.1 + 1.1 = 0 \Rightarrow AB \bot AC\).

Nên diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\). Chọn C.

a) Vì \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {0;7; - 7} \right).\)

b) Vì \(\vec a = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = {x_B} - 4\\1 = {y_B} - 6\\ - 3 = {z_B} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2\\{y_B} = 7\\{z_B} = - 6\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;7; - 6} \right).\)

c) Vì \(\frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 3}}{2}.\)

d) Vì \(\cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = \frac{{ - 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).1 + \left( { - 3} \right).2}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra\({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5.\)

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(A\) là \((4;0;0)\). Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \((Oyz)\) nên tọa độ điểm \(H\) là \((0;5;3)\).

Tứ giác \(OAFE\) là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4;{z_F} = {z_E} = 3\).

Do \(F\) nằm trên mặt phẳng \((Ozx)\) nên tọa độ điểm \(F\) là \((4;0;3)\).

b)Nên\(\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AF} = (0;0;3)\).

c)Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \((FGQP)\) và \((FGHE)\).

Do mặt phẳng \((Ozx)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((FGQP)\) và (\(FGHE)\) nên góc \(PFE\) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có: \(\overrightarrow {FP} = ( - 2;0;1),\overrightarrow {FE} = ( - 4;0;0)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{|\overrightarrow {FP} | \cdot |\overrightarrow {FE} |}}\)

\( = \frac{{( - 2) \cdot ( - 4) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 4;3; - 1} \right)\).

b) \(\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {1;2; - 3} \right)\). Giả sử \(A\left( {x;y;z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v \) nên −4−x=13−y=2−1−z=−3 ⇔x=−5y=1z=2⇒A−5;1;2

c) Ta có \(G\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\). Tọa độ hình chiếu của \(G\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)\).

d) Vì I là trung điểm của MN nên \(I\left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 - 1}}{2};\frac{{ - 1 - 3}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 2} \right)\).

Theo giả thiết \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} = 3\left( {1;0;0} \right) + 2\left( {2; - 1; - 3} \right) - \frac{1}{2}\left( { - 1;1; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow w = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{5}{2}; - 5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3\) và \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {2{m^2} + 2m + 5} \)

Do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow 9 = 2{m^2} + 2m + 5\)\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\) .

Vậy có hai giá trị của \(m\).

Trả lời: 2.

Gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\left( { - 2 - x} \right)\\y - 2 = 2\left( { - 1 - y} \right)\\z - 1 = 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\) nên\(a + b + c = 3\).

Trả lời: 3.

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \widehat {AOB} = \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {AOB} = 150^\circ \).

Trả lời: 150.