Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
12 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f(x)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] và có đồ thị như hình vẽ bên.
![Từ đồ thị ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/10-1761388534.png)
Gọi \[M,\,m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\]. Giá trị của \[M + m\] là
\[2.\]
\[ - 6.\]
\[ - 5.\]
\[ - 2.\]
Từ đồ thị ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow M + m = - 2\]. Chọn D.
\(x = 5\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = 4\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2\) (vì \(x \in \left( {1;5} \right)\)).
Khi đó \(y\left( 1 \right) = 5\), \(y\left( 2 \right) = 4\) và \(y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4\) tại \(x = 2\). Chọn B.
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 0\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 6\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 5\).
Ta có\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 16x + 16,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left( {1;3} \right)\\x = \frac{4}{3} \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\).
\(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}};f\left( 3 \right) = - 6\).
Do đó\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}\). Chọn B.
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\].
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = \frac{{{e^5}}}{2}\].
\[\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = {e^5}\].
Không tồn tại.
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 5} \right){e^{2x}}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\). Chọn A.
\[89\left( {{\rm{m/s}}} \right).\]
\[71\left( {{\rm{m/s}}} \right).\]
\[109\left( {{\rm{m/s}}} \right).\]
\[\frac{{25}}{3}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].
Vì \[s = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 9t \Rightarrow v = {t^2} - 2t + 9\].
Xét hàm \[f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 9 \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\].
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = f\left( {10} \right) = 89\].
Vậy vận tốc của vật đạt được lớn nhất bằng \[89\left( {{\rm{m/s}}} \right).\] Chọn A.
Đồ thị bên dưới là tốc độ của một chiếc xe đua trên đoạn đường đua bằng phẳng dài 3 km.
Tốc độ nhỏ nhất của xe đua trên đoạn đường này bằng
\(3\,\)(km/h).
\(160\,\)(km/h).
\(130\,\)(km/h).
\(70\,\)(km/h).
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\).b) Hàm số luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).
c) Trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1.
d) Gọi \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\) bằng \( - 3\). Khi đó \({m_0} \in \left( { - 5;0} \right)\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \).
b) Vì \(\left[ { - 1;0} \right] \subset D\) và hàm số liên tục trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.
c) \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\ln 2}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\).
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = {\log _2}6;f\left( 0 \right) = 1 < {\log _2}6\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 1\).
d) TXĐ \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) chứa \(\left[ {3;4} \right]\).
\(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m = {2^{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m\).
Có \(g'\left( x \right) = 2x - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \notin \left[ {3;4} \right]\).
Mà hàm số đồng biến trên \(\left[ {3;4} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = 2 + m\).
Theo đề ta có \(2 + m = - 3 \Leftrightarrow m = - 5\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai
Cho hàm số\(y = \sqrt {5 - 4x} \) trên đoạn\(\left[ { - 1;1} \right]\).
a)Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \sqrt 5 \)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 0\).
b)Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 1\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = - 3\).
c) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 3\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 1\).
d)Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 0\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = - \sqrt 5 \).
Điều kiện xác định: \(5 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{4}\). Ta có\(y' = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Do đó\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 3\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai
a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) là \( - 1\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) là \( - 5\).
c) Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\) là 2.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) tại điểm \(x = 1\).
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = - 1\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = - 5\).
Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = - 5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 9}}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 9}}{x}\) với \(x \in (0; + \infty )\).
Ta có: \(f'(x) = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}\). Khi đó, \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (do \(\left. {x > 0} \right)\).
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(x) = 6\) tại \(x = 3\) và hàm số \(f(x)\) không có giá trị lớn nhất.
Trả lời: 6.
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\), với \(2x + y = 240\)\(\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)\).
Suy ra \(y = 240 - 2x\).
Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:
\(S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120\).
\(S' = 240 - 4x\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60\).
Trả lời: 7200.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây kể từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và \(s\) tính bằng mét. Tính quãng đường chất điểm đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất.
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1\).
Ta có \(v'\left( t \right) = - 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên
Chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại \(t = 2\).
Khi đó \(s\left( 2 \right) = - {2^3} + {6.2^2} + 2 + 3 = 21\).
Trả lời: 21.
