Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\] thì \[f'\left( x \right) < 0\].

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]. Chọn A.

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đã cho có \(4\) điểm cực trị. Chọn D.

TXĐ:\(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 3{x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} = 3{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn B.

\(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Chọn B.

Ta có\(y' = 3{x^2} - 4x + a\).

Đồ thị hàm số có điểm cực trị là\(A\left( {1;3} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = - 1 + a = 0\\y\left( 1 \right) = - 1 + a + b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\).
Khi đó ta có, \(4a - b = 1\). Chọn A.

Xét hàm số\(P = 12I - 0,5{I^2}\) với\(I \ge 0\).

\(P' = 12 - I;P' = 0 \Leftrightarrow I = 12\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện \[\left( {0;12} \right)\]. Chọn D.

Điều kiện:\(3{x^2} - {x^3} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3\).

Có \(y' = \frac{{6x - 3{x^2}}}{{2\sqrt {3{x^2} - {x^3}} }},\forall x \ne 3;x \ne 0\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số nghịch biến \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).

Hàm số đồng biến \(\left( {0;2} \right)\).

Đồ thị hàm số có hai cực trị .

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) suy ra \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

b)  \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y\left( { - 3} \right) = - 3\); \(y\left( { - 1} \right) = 1\).

Suy ra \(A\left( { - 3\,;\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 1\,;\,1} \right)\)

Do \({x_A}.{x_B} = 3 > 0\) nên \(A\) và \(B\) nằm ở cùng một phía của trục tung.

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(AB\) có phương trình là \( - 2\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow y = 2x + 3\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(x + 2y + 4 = 0\) nên \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1\,;\,2} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với nhau. Do đó \(AB \bot \Delta \).

Ta có \(I\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và \(I \in \Delta \).

Vậy \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(\Delta \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

a)  Hàm số \(y = f(x)\)đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1; + \infty ).\)

b) Giá trị cực đại là y = 3, giá trị cực tiểu là y = –1.

Do đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là 3 – 1 = 2.

c)  Hàm số \(y = f(x)\)có hai cực trị là \(x = \pm 1.\)

d) Gọi \[d:y = {\rm{ax}} + b\] là đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A( - 1;3),B(1; - 1).\]

\[A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - 2x + 1\].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - {x^4} + {x^3}\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} - 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của hàm số \[f'\left( x \right)\]như sau:

Suy ra hàm số \[f\left( x \right)\]nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\] có độ dài bằng \(2,\) nên ta có \[a = 1;b = 3 \Rightarrow P = 1.3 = 3.\]

Trả lời: 3.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 4} \right\}.\)

Ta có  \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

\(y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)

Vậy có 3 giá trị m  nguyên để bài toán thỏa mãn.

Trả lời: 3.

Có \(h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t} \right)\);

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 4 - 12k\).

Vì \(0 \le t \le 24\) nên \( \Leftrightarrow 0 \le - 4 - 12k \le 24\)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{3} \le k \le - \frac{1}{3}\) mà\(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = - 2;k = - 1\).

Suy ra \(t = 20;t = 8\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy \(\left( {8;20} \right)\) là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần. Suy ra \(a = 8;b = 20.\) Do đó \(T = 2a + b = 36\).

Trả lời: 36.