Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.

ĐKXĐ: x≥0;  x≠9.

P=3x+2x+1+2x−3x−3−33x−5x+1x−3

=3x+2x−3+2x−3x+1+33x−5x+1x−3

=3x−9x+2x−6+2x+2x−3x−3−9x+15x+1x−3

=5x−17x+6x+1x−3

=5x−15x−2x+6x+1x−3

=5x−2x−3x+1x−3=5x−2x+1

ĐKXĐ: x≥0;  x≠9Ta có: x=4+23=3+12⇒x=3+1Do đó: P=53+1−23+1+1=53+33+2=53+32−33+22−3=73−9

ĐKXĐ: x≥0;  x≠9Ta có: P=5x−2x+1=5x+5−7x+1P=5−7x+1Vì 7x+1>0 nên P có giá trị nhỏ nhất ⇔7x+1 lớn nhất

⇔x+1 nhỏ nhất ⇔x=0.

Khi đó min P=5−7=−2.

ĐKXĐ: x>0;  x≠4;  x≠9Q=x+1x−2−2xx+2+5x+24−x:3x−xx+4x+4=x+1x+2−2xx−2−5x+2x−2x+2:x3−xx+22=x+3x+2−2x+4x−5x−2x−2x+2.x+22x3−x=−x+2xx−2x+2.x+22x3−x=−xx−2x−2x+2.x+22x3−x=x+2x−3 

Q=2⇔=x+2x−3=2

⇔x+2=2x−6

⇔−x=−8⇔x=8⇔x=64 (Thỏa mãn ĐKXĐ).

Q<0⇔x+2x−3<0

⇔x−3<0 (vì x+2>0) ⇔x<3⇔x<9.

Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q<0 khi 0<x<9 và x≠4.

Với a≥0;a≠9 ta có:B=aa−3−3a+3−a−2a−9aa−3−3a+3−a−2(a−3)(a+3)=a(a+3)(a−3)(a+3)−3(a−3)(a−3)(a+3)−a−2(a−3)(a+3)=a+3a−3a+9−a+2a−3)(a+3)=11a−9

Để B∈Z⇔11a−9∈Z⇔11⋮(a−9)⇔(a−9)∈U(11)

U(11)=1;11;−1;−11

Khi đó ta có bảng giá trị

Vậy a∈8;10;20 thì B∈Z

P=x−9+4−x+9−x2−x3+x:x−9−3x+9x−9=4−x2−x3+x:x−3x+3xx−3=2+xx

x=3+123−11+52−5=3+13−11+5−5=2

Nên P=2+22=2+1

Với x = 64 ta có A=2+6464=2+88=54

B=(x−1)(x+x)+(2x+1)xx(x+x)=xx+2xxx+x=1+1x+1=x+2x+1

Với x > 0 ta có: AB>32⇔2+xx:2+xx+1>32⇔x+1x>32⇔2x+2>3x⇔x<2⇔0<x<4  (Do x>0)

Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có

A=9+49−1=3+43−1=72

B=3x+1x+2x−3−2x+3=3x+1(x+3)(x−1)−2x+3=3x+1−2(x−1)(x+3)(x−1)=x+3(x+3)(x−1)=1x−1

AB≥x4+5⇔x+4x−1:1x−1≥x4+5

⇔4(x+4)≥x+20⇔x−4x+4≤0⇔x−22≤0⇔x−2=0⇔x=4

x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì AB≥x4+5

A=x+2x+x+1.

Cách 1: Với x>0,x≠1⇒x+x+1>x+1>1.

Vậy 0<A=x+2x+x+1<x+2x+1=1+1x+1<2.

Vì A nguyên nên A = 1 ⇔x+2x+x+1=1⇔x=1( Không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.

Cách 2: Dùng miền giá trị

           A=x+2x+x+1⇔Ax+(A-1)x+A−2=0

Trường hợp 1: A=0⇒x=−2⇒x∈∅

Trường hợp 2: A≠0⇒Δ=(A−1)2−4A(A−2)=−3A2+6A+1≥0⇔A2−2A−13≤0

           ⇔A2−2A+1≤43⇔(A−1)2≤43⇒A∈1;2doA∈Z,A>0

Với A = 1 => x = 1 ( loại)

Với A = 2 ⇔x+2x+x+1=2⇔x=0( loại).

Ta có 1−1x=x−1xVà x−1x+1−xx+x=x−1+1−xx+1x=x−1xx+1x=x−1x+1Nên P=x−1x.x+1x−1

Có x=2022+42018−2022−42018

=2018+22−2018−22

=2018+2−2018−2=2018+2−2018+2=4 thỏa mãn điều kiện  x > 0 và x≠1

+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x= 4 là: 4+14=32

Với a>0;  a≠1, ta có:

B=6a−1+10−2a(a−1)(a−1).(a−1)24a

=4a+4(a−1)(a−1).(a−1)24a=4(a+1)(a−1)(a+1)(a−1).(a−1)24a=1a

B=1a.

 Với a>0;  a≠1, ta có:  C−1=a−a+1a−1=(a−1)2a>0. Vậy C>1.

Ta có: A=x+1x+4x+4:xx+2x+xx+2 

=x+1(x+2)2:xx(x+2)+xx+2

=x+1(x+2)2:xx+2+xx+2

=x+1(x+2)2:x(x+1)x+2

=1x(x+2)

Với x > 0 ta có A=1x(x+2) và x>0; x+2>0.

Khi đó A≥13x⇔1xx+2≥13x ⇔x+2≤3⇔x≤1⇔x≤1 

Suy ra: 0<x≤1.

Ta có: B=xx+x+1x−1x+x+1+x+3x−1.x−12x+x−1

=xx−1+x+3x−1.x−1x+12x−1x+1

=2x+3x−1.x−12x−1=2x+32x−1

Vì x≥0 nên 2x+3>0, do đó B<0 khi 2x−1<0⇔x<14.

Mà x≥0; x≠1 và x≠14 nên ta được kết quả 0≤x<14.

V=1x+2+1x−2x+2x=x−2+x+2x+2x−2x+2x=2x−2

V=13⇔2x−2=13⇔x−2=6⇔x=64 (thỏa mãn)

Tính giá trị biểu thức A khi  x = 9.

Khi x = 9 ta có A=9+29−5=3+23−5=−52

Chứng minh rằng B=1x−5.

Với x≥0,x≠25 thì B=3x+5+20−2xx−15=3x+5+20−2xx+5x−5

=3x−5+20−2xx+5x−5=3x−15+20−2xx+5x−5=x+5x+5x−5=1x−5 (đpcm)

Tìm tất cả các giá trị của để A=B.x−4.

Với x≥0,x≠25 Ta có: A=B.x−4

⇔x+2x−5=1x−5.x−4 ⇔x+2=x−4(*)

Nếu x≥4,x≠25 thì (*)trở thành : x+2=x−4

⇔x−x−6=0⇔x−3x+2=0

Do x+2>0 nên x=3⇔x=9 (thỏa mãn)

Nếu 0≤x<4 thì (*)trở thành : x+2=4−x

⇔x+x−2=0⇔x−1x+2=0

Do x+2>0 nên x=1⇔x=1 (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x=1 và x=9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:

P=xx+2+−x+xx+6x+x−2−x+1x−1=xx−1−x+xx+6−x+1x+2x−1x+2=x−x−x+xx+6−x−3x−2x−1x+2=−x+xx−4x+4x−1x+2=x−1x−4x−1x+2 =x−2

Với x≥0,x≠1,x≠4, ta có:

Q=x+27.Px+3x−2 =x+27x+3 =x−9+36x+3=x−3+36x+3 =−6+x+3+36x+3≥−6+12=6 (co-si)

Dấu "=" xảy ra khi x+3=36x+3 ⇔x+32=36 ⇔x=9

Với 0 < a < 1 ta có:P=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a21−a2a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a(1−a)(1+a)a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a1+a−1−a1−a.1+aa2−1a=1+a+1−a1+a−1−a.21−a.1+a−(1−a)−(1+a)2a=1+a+1−a1+a−1−a.−1+a−1−a22a=−1+a+1−a1+a−1−a2a=−1+a−1+a2a=−2a2a=−1

Với x = 9 thì x=9=3⇒A=3+13−1=42=2 

Với x>0; x≠1 ta cóP=x−2x(x+2)+xx(x+2).x+1x−1P=x+x−2x(x+2).x+1x−1P=(x−1)(x+2)x(x+2).x+1x−1 = x+1x

Vậy với x>0; x≠1 ta có  P=x+1x.

Với x>0; x≠1 ta có: P=x+1x

Để 2P = 2x+5 nên 2x+1x=2x+5 ⇔x=−2(loai)x=12⇔x=14Đưa về được phương trình 2x+3x−2=0

Tính được x=−2 (loại)x=12⇔x=14 thỏa mãn điều kiện x>0; x≠1

Vậy với x=14 thì 2P = 2x+5

Ta có: A = 9−45−5=(5−2)2−5

                           =5−2−5=5−2−5=−2(vì 5>2)

           B = x−xx+x−1x−1=x.(x−1)x+(x−1).(x+1)x−1

              =x−1+x+1=2x

3A + B = 0   ⇔−6+2x=0 với x≥0, x≠1

                               ⇔2x=6⇔x=3⇔x=9( thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0

A = 23−527+412:3

    = 23−153+83:3

    = −53:3  = -5

B=(2+3)2−32+3=2+322−3(2+3)=2+3.2−3

   =2+3.2−3=4−3=1

 B - 32x−7 = A (ĐK: x≥72)

⇔  1 - 32x−7 = - 5

⇔ =2x−7 2 ⇔  2x - 7 = 4  ⇔x = 5,5 (TMĐK)

x=15(6+1)6−1−2(6−2)6−4=3(6+1)−(6−2)=5+26A=xx−1−x(2x−1)x(x−1)=xx−1−2x−1x−1x−2x+1x−1=(x−1)2x−1=x−1

B=(x−1+1)(3−2)=x(3−2)  với x = 5 + 26 ta có

           B=5+26(3−2)

             = (3+2)2(3−2)

               =(3+2)(3−2)=3−2=1

A=3x+1−1x−1−x−3x−1  với x ≥ 0 và x ≠1

             =3x+1−1x−1−x−3x+1x−1

             =3x−1−x+1−x−3x+1x−1

             =3x−3−x−1−x+3x+1x−1=x−1x+1x−1=1x+1

x=3−22=2−12 thoả mãn x ≥ 0 và x ≠ 1

+) Thay x=2−12 vào A

          A=12−12+1

             =12−1+1     (do 2>1)

             =12=22     

             Kết luận x=2−12 thì A=22

ĐK: x≥0;x≠1 

A=x+2x−1−x−2x−2x+1:4xx−12=x+2x−1−x−2x+1x+1x−12.x−124x

      =2xx+1x−12.x−124x=x+12x với ĐKXĐ: x>0;x≠1.

Với điều kiện: x≥0;x≠1.

      Khi x−5=4⇔x−5=4⇔x=9⇒x=3. Ta có A=3+16=23