Dạng 2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng  $\left(d\right):y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

Gọi $A\left(x_1;y_1\right)$ và $B\left(x_2;y_2\right)$ lần lượt là các giao điểm của (P) với (d). Tính giá trị biểu thức $T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$.

Cho Parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $d:y=(2m-1)x-m+2$ (m là tham số)

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Cho Parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $d:y=(2m-1)x-m+2$ (m là tham số) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)$  thỏa $x_1{y}_1+x_2{y}_2=0$.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=-2ax-4a$  (với a là tham số )

Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi $a=-\frac{1}{2}$.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=-2ax-4a$  (với a là tham số )

Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=3$.

Cho hai hàm số  $y=x^2$và $y=mx+4$, với m là tham số.

Khi m=3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

Cho hai hàm số  $y=x^2$và $y=mx+4$, với m là tham số.Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_1\left(x_1;y_1\right)$ và $A_2\left(x_2;y_2\right)$   Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ${\left(y_1\right)}^2+{\left(y_2\right)}^2=7^2$.

Cho hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ .Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

Cho hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ có đồ thị (P) .Cho đường thẳng $y=mx+n\left(\Delta \right)$. Tìm m,n  để đường thẳng $\left(\Delta \right)$ song song với đường thẳng $y=-2x+5\left(d\right)$ và có duy nhất một điểm chung với đồ thị $\left(P\right)$.

Cho đường thẳng (d) có phương trình $y=x+2$ và parabol (P) có phương trình  $y=x^2$. Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ .

Cho đường thẳng (d) có phương trình y=x+2 và parabol (P) có phương trình  $y=x^2$. Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B.

Cho hai hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đồ thị hàm số  (P) và $y=x+4$có đồ thị (d) .Vẽ đồ thị (P)

Cho hai hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đồ thị hàm số (P) và $y=x+4$ có đồ thị  (d). Gọi A,B là các giao điểm của hai đồ thị (P) và (d). Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm M trên tia Ox sao cho diện tích tam giác MAB bằng 30 cm².

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left(d\right):y=3x+m-1$ và parabol  $\left(P\right):y=x^2$. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left(d\right):y=3x+m-1$và parabol  $\left(P\right):y=x^2$. Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để  $\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol $\left(P\right):y=-x^2$ .Vẽ parabol  (P)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol  $\left(P\right):y=-x^2$ .Xác định toạ độ các giao điểm A,B của đường thẳng (d') và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left(d\right):y=x+m-1$và parabol  $\left(P\right):y=x^2$.Tìm m để (d) đi qua điểm  $A(0;1)$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left(d\right):y=x+m-1$ và parabol $\left(P\right):y=x^2$. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1$ $x_2$  thỏa mãn: $4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol $\left(P\right):y=-x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=3mx-3$ (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm  $A(1;3)$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol $\left(P\right):y=-x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=3mx-3$ (với m là tham số). Xác định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 tung độ của hai giao điểm đó bằng -10 

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình:  $y=2(m+1)x-3m+2$ .Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình:  $y=2(m+1)x-3m+2$ .

Chứng minh (P) và  (d)luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi m.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình:  $y=2(m+1)x-3m+2$ .

Gọi $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm của A và B. Tìm m để $x_1^2+x_2^2=20$.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2(m+3)x-2m+2$ (m là tham số).

Với $m=-5$, tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d)

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2(m+3)x-2m+2$ (m là tham số).

Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2(m+3)x-2m+2$ (m là tham số).

Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi  m

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng  $\left(d\right):y=mx-3$ tham số m và Parabol  $\left(P\right):y=x^2$

Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm  A(1;0)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng  $\left(d\right):y=mx-3$ tham số m và Parabol  $\left(P\right):y=x^2$Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1;x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=2$.

Cho hàm số $y=a{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ và đường thẳng  $\left(d\right):y=mx+m-3$

Tìm a để đồ thị (P) đi qua điểm B(2;-2).

Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m

Cho hàm số $y=a{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ và đường thẳng  $\left(d\right):y=mx+m-3$

Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m

Cho hàm số $y=a{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ và đường thẳng  $\left(d\right):y=mx+m-3$

Gọi $x_C$ và $x_D$ lần lượt là hoành độ của hai điểm C và D. Tìm các giá trị của m sao cho $x_C^2+x_D^2-2x_C{x}_D-20=0$