Dạng 2: Góc nội tiếp- góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có đáp án

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM.

a) Tính $\widehat{ACM}$ ;

b) Chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{OCA}$;

c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?

Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng:

a) $\widehat{BED}=\widehat{D\text{AE}}$.

Chứng minh rằng:b, $D{E}^2=DA.DB.$

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC.

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: $\frac{IC}{ID}=\frac{MC}{MD}$.

Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M.Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.

Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90⁰. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.

Ghép mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được khẳng định đúng

Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt (O) tại N. CMR:

a)    Tam giác MBC cân.

b,3 điểm M, O, N thẳng hàng.

Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD).

a)    CMR: cung AC = cung DB.

b, CMR: ∆MAC = ∆MDB.

Cho (O) và hai dây MA và MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.

a)    CMR: A, O, B thẳng hàng.

b, CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.

c, Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M.
a) CMR : tam giác BMC cân.

b, CMR : góc BMC = góc ABC + góc ACB.

c, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB².

Cho nửa đường tròn (O) đường kính CB, A thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH vuông góc với BC. CMR:

a)    AB là tia phân giác của góc IAH.

b,  IA² = IB. IC.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (I) đường kính BH cắt AB ở M. Vẽ (K) đường kính CH cắt AC ở N.

a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ?

b) CMR : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) ?

c, Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : Ax // MN.

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR :

a)    Tứ giác AMNB là hình thang cân.

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR :

a)    Tứ giác AMNB là hình thang cân.

b, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

c, PH vuông góc với AB.

d, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.

a)    CMR : AC = AD.

b, Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.

Cho (O) đường kính AB; C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường kính AB tại D. Đường tròn này cắt CA, CB lần lượt tại M và N.

a)    CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng .

b, CMR:ID vuông góc với MN .

c, CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.

d, Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên.

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A, hạ các đường vuông góc với BC; CA; AB lần lượt tại D; H; K. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{MD}=\frac{CA}{MH}+\frac{AB}{MK}$

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên các đường tròn (O) và (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn (O) và (O’) đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung AM và AN có số đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.