Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD

Do ABCD là hình thoi nên ta có AC⊥BD .

Ta có BAD^=600 nên BAO^=300 (tính chất đường chéo hình thoi)

Tam giác ABO vuông tại O có  

 OB=ABsinBAO^⇒OB=a.sin300=a2

Xét tam giác vuông ABO có ABO^+BAO^=900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO^=300 suy ra ABO^=600 hay  EBO^=600

OE=12AB=EB=EA( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.

Tam giác EOB là tam giác cân tại E có EBO^=600 nên tam giác EBO là tam giác đều ⇒OE=OB

 Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :

 OE=OB=OF=OC=OG=OD=OH

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính  OB=a2

Do  DE⊥BC⇒DBE^=900

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

 ⇒BF=BE;DF=DE

ΔBFD=ΔBED (c-c-c) ⇒BFD^=BED^=900

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên   AO=12BD=OB=OD   (1)

Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên   EO=12BD=OB=OD   (2)

Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên FO=12BD=OB=OD  (3)

Từ  (1),(2),(3)⇒OA=OB=OD=OE=OF . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên  

OCA^=OBA^=900

Do I là trung điểm của ED nên  OI⊥ED

(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)

hay  OID^=OIA^=900

Gọi P là trung điểm của OA

Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên  CP=12AO=OP=PA

Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên  BP=12AO=OP=PA

Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên  IP=12AO=OP=PA

Vậy  OP=PA=PC=PI=PB nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.