Dạng 2: Các bài toán chứng minh có đáp án

b) $D{E}^3=BD.CE.BC\left(2\right).$

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng

$H{C}^2-H{B}^2=A{C}^2-A{B}^2.$

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng

$\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{4A{H}^2}.$

Tính x và y trong các hình sau:

Tính x và y trong các hình sau:

Tính x và y trong các hình sau: 

Tính x và y trong các hình sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao $AH,AB=6cm,AC=8cm.$

a) Tính độ dài $BC,HA,HB,HC.$

b) Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. Tính diện tích tam giác ABD.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Biết $BC=25cm,AB=20cm.$

a) Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH.

b) Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB và cắt cạnh AC tại N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết $HB=\mathrm{112,}HC=63.$

a) Tính độ dài AH.

b) Tính độ dài AD.

Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết $AC=4cm,BD=5cm,$ $\widehat{AOB}=50°.$ Tính diện tích tứ giác ABCD.

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=60°,BC=8cm,AB+AC=12cm.$ Tính độ dài cạnh AB.

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh $AD=6cm,CD=8cm.$ Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài đoạn thẳng DE, AE, AF, BF.

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn $CD=10cm$, đáy nhỏ bằng đường cao. Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.

Tính chiều cao của một cột tháp, biết rằng lúc mặt trời ở độ cao $50°$ (nghĩa là tia sáng của mặt trời tạo với phương nằm ngang của mặt đất một góc bằng $50°$) thì bóng của nó trên mặt đất dài 96m.

Cho hình thang cân ABCD ($AB\parallel CD$ và $AB<CD$), $BC=15cm$; đường cao $BH=12cm,DH=16cm.$

a) Chứng minh BD vuông góc với BC.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

c) Tính $\widehat{BCD}$ (làm tròn đến độ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{20}{21}$ và $AH=420$ Tính chu vi tam giác ABC.

Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết $AB=2\sqrt{3},OA=6.$ Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết $AD=5a,AC=12a.$

a) Tính $\frac{\sin B+\cos B}{\sin B-\cos B}.$

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác ABC có $AB=24cm,AC=18cm,BC=30cm.$

a) Tính đườn cao AH, số đo góc B và C.

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?

Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF.

Cho hình thang ABCD có $AB\parallel CD,\widehat{C}=30°,\widehat{D}=60°,AD=\mathrm{2,}CD=6.$

a) Tính AB.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Cho tam giác ABC trực tâm H.

Chứng minh hệ thức: $A{B}^2+H{C}^2=B{C}^2+H{A}^2=C{A}^2+H{B}^2.$

Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{D{I}^2}+\frac{1}{D{E}^2}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.

Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90°$ và $AD=DC$ ($AB<DC$). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB.

Chứng minh rằng $\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{E{C}^2}.$

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{D}+\widehat{C}=90°$. Chứng minh rằng $A{B}^2+C{D}^2=A{C}^2+B{D}^2.$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH.

a) Chứng minh $\sin A+\cos A>1.$

b) Chứng minh $BC=AH(cotB+\cot C).$

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.

a) Chứng minh $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

b) Có thể xảy ra đẳng thức $sinA=\sin B+\sin C$ không?

Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=a,AC=3a.$ Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho $AD=DE=EC.$

a) Chứng minh $\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}.$

b) Chứng minh $\Delta BDE~\Delta CDB.$

c) Tính tổng $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}.$

Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:

a) $\Delta ANL~\Delta ABC.$

b) $AN.BL.CM=AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C.$

Cho tam giác ABC có $AB>AC$, trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:

$A{B}^2+A{C}^2=2A{M}^2+\frac{B{C}^2}{2}.$