Dạng 1: Lý thuyết chứng minh đẳng thức hình học có đáp án
56 câu hỏi
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn (C≠A ; C ≠ B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.
Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
a)
Xét Δ ABM và Δ NBM.
Ta có: AB là đường kính của đường tròn (O)
nên : AMB^ = NMB^ = 90o.
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM^ = MBN^ . Tam giác ABN có MB vừa là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên => Δ BAN cân đỉnh B.
. Tứ giác AMCB nội tiếp.
=> BAM ^= MCN^ ( cùng bù với MCB^).
=> MCN^=MNC^ ( cùng bằng BAM^ ).
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
Cho điểm nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D),OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I . Chứng minh:
a/MAOB nội tiếp.
a/
Ta có: MAO^=90°MBO^=90°⇒MAO^+MBO^=180°
⇒Tứ giác MAOB nội tiếp
Chứng minh: b, MC. MD=MA2
b/ Ta có: AMD^ chung
MAC^=MDA^ (cùng chắn cung AC)
⇒ΔMAC đồng dạng ΔMDA
⇒MAMD=MCMA⇒MA2=MC.MD
c, Chứng minh: OH.OM + MC.MD = MO2
c/ Ta có: OA = OB
⇒ΔAOB cân tại O
Mà OH là đường phân giác nên cũng là đường cao
⇒OH⊥AB
⇒OA2=OH.OM
Ta lại có: MA2=MC.MD
OM2=MA2+OA2
⇒OM2=MC.MD+OH.OM
d/ CI là tia phân giác của góc góc MCH⏜ .
d/ Từ MH.OM = MA2, MC.MD = MA2
⇒MH.OM = MC.MD⇒MHMD=MCMO (*)
Xét ΔMHC và ΔMDO có:
MHMD=MCMO vàDMO^ chung
⇒∆MHC đồng dạng ⇒MDO ⇒MCMO=MHMD=HCDO⇒MCCH=MOOD⇒MCCH=MOOA(1)
Ta lại có MAI^=IAH^ (cùng chắn hai cung bằng nhau)⇒AI là phân giác của MAH^.
Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: MIIH=MAAH (2)
∆MHA và ∆MAO có chung và MHA^=MAO^=900 do đó đồng dạng (g.g) ⇒MOOA=MAAH (3)
Từ (1), (2), (3) suy raMCCH=MIIH suy ra CI là tia phân giác của góc MCH^.
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O) tại A lấy điểm MM≠A . Từ vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc vớiABH∈AB,MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại K. Chứng minh rằng:
a/ AKNH nội tiếp.
a/
Ta có:AKN^=90°AHN^=90°⇒AKN^+AHN^=180°
Vậy tứ giác AKNH nội tiếp.
b, Chứng minh rằng: AM2= MK.MB
b/ Ta có: MAB^=AKM^=900
AMK^ chung
⇒ΔMKA đồng dạng ΔMAB
⇒MKMA=MAMB⇒MA2=MK.MB
c, Chứng minh rằng: KAC^=OMB^
c/ Ta có:CBA^=COA^2
MOA^=COA^2
⇒MOA^=CBA^
⇒MO // CB⇒OMB^=MBC^
Mà MBC^=KAC^ nên KAC^=OMB^
d/ N là trung điểm của CH.
d/ Ta có: NH // AM⇒NHAM=BNBM
CN//FM⇒CNMF=BNBM⇒NHAM=CNMF (1)
Ta lại có: MA=MC⇒ΔAMC cân tại M⇒MAC^=MCA^
F^+MAC^=90°FCM^+MCA^=90°⇒F^=FCM^
⇒ΔFMC cân tại M.
⇒MC=MF mà MC = MA nên MA = MF (2)
Từ (1) và (2) suy ra NH = CN
Vậy N là trung điểm CH.
Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a/ ABOC nội tiếp.
a/ Ta có:
ABO^=90°ACO^=90°⇒ABO^+ACO^=180°
Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp
Chứng minh:
b/ AB2=AE.AD.
b/
Ta có: ABE^=ADB^
BAE^ chung
⇒ΔABE đồng dạng ΔADB.
⇒ABAD=AEAB⇒AB2=AD.AE
Chứng minh:
c/ ΔBDC cân.
c/ Ta có: AB//CD⇒ABC^=BCD^
ABC^=BDC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
⇒ACD^=ADC^
Vậy ΔBDC cân tại .
d/ CE kéo dài cắt AB ở I . Chứng minh IA=IB .
d/ Ta có: AB // CD⇒IAE^=EDC^ mà EDC^=ECA^ nên IAE^=ECA^
AIE^ chung
⇒ΔAIE đồng dạng ΔCIA
⇒AICI=IEIA⇒AI2=CI.IE
Ta lại có: IBE^=BCI^
BIE^ chung
⇒ΔBIE đồng dạng ΔCIB
⇒BICI=IEIB⇒BI2=IE.CI
Mặt khác: AI2=CI.IE nên AI2=BI2⇒AI=BI.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (H∈AB;K∈AD).
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác AHIK có:
AHI^=90° (IH⊥AB)AKI^=90° (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=180°
⇒ Tứ giác AHIK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng IA.IC=IB.ID
b) Chứng minh rằng IA.IC=IB.ID.
Xét ΔIAD và ΔIBC có:
A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung của )
AID^=BIC^(2 góc đối đỉnh)
ΔIAD ΔIBC (g.g)
⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.ID
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
c) Chứng minh rằng tam giácHIK và tam giác BCD đồng dạng.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có
A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )
Mà A^1=B^1⇒H^1=B^1
Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1
ΔHIK và ΔBCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1
⇒ΔHIK ΔBCD (g.g)
Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
Ta có : BDC^=90° (chắn nửa đường tròn)
BEC^=90° (chắn nửa đường tròn)
Suy ra : ADH^=BDC^=90°, AEH^=BEC^=90°
Xét tứ giác có:
ADH^+AEH^=90°+90°=180°
Tứ giác ADHE có hai góc đối bù nhau.
Vậy tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.
Tâm I là trung điểm cạnh AH
b) Gọi M là giao điểm của AH và BC Chứng minh CM.CB=CE.CA
b) Chứng minh CM.CB=CE.CA.
Xét hai tam giác CBE và CAM có :
ACM^ là góc chung
AMC^=BEC^=90° (chứng minh trên)
Suy ra hai tam giác CBE và CAM đồng dạng
⇒CMCE=CACB⇒CM.CB=CE.CA.
c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Ta có : IDH^=IHD^ (do ΔIDH cân tại I)
IHD^=CHM^ (đối đỉnh)
Mặt khác :ODC^=OCD^ (do ΔODCcân tại O)
Ngoài ra, trong tam giác vuông MHC có :
CHM^+MCH^=90°
Từ 1, 2, 3, 4 suy ra: IDH^+ODC^=90°
Suy ra : ID⊥DO
Vậy ID là tiếp tuyến của (O)
Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao CD của ΔABC cắt đường tròn (O) tại E. Từ B kẻ BF⊥AE tại F.
a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn.
a) 
Xét tứ giác BDEF, ta có:
BDE^=90°(gt)
BFE^=90°(gt)
⇒BDE^+BFE^=180°
Vậy tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn.
b) Kẻ đường cao BK của ΔABC. Chứng minh: EFBF=CKBK.
b) Ta có: tứ giác ACBE nội tiếp đường tròn (O).
⇒BEF^=ACB^ (cùng bù AEB^)
⇒ΔBEF ΔBCKg−g⇒EFBF=CKBK
c) Chứng minh: AEBF+ACBK=AFBF+ACBK.
c) Ta có: AEBF+ACBK=AF−EFBF+AK+KCBK=AFBF+AKBK−EFBF+KCBK
Mà: EFBF=CKBK (câu b)
⇒AEBF+ACBK=AFBF+ACBK (1)
d) Chứng minh: CEBD=AEBF+ACBK
d) Ta có: ΔEDB ΔAKB(g−g) ⇒EDBD=AKBK
Lại có: ΔCDB ΔAFB(g−g)⇒CDBD=AFBF
⇒EDBD+CDBD=AFBF+AKBK
⇔CEBD=AFBF+AKBK (2)
Từ (1) và (2)⇒CEBD=AEBF+ACBK
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AMở Kvà cắt tia OMở D, cắt AC tại H.
1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.
1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.
Có AMB^ = 90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)
⇒ AM ⊥MB
Mà CD ∥ BM (gt) nên AM ⊥ CD . Vậy MKC^ = 90°.
Lại có AM = CM (gt) ⇒OM ⊥ AC ⇒ MHC^ = 90°.
Tứ giác CKMH có MKC^ + MHC^ = 1800 nên tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
2. Chứng minh CD=MB và DM=CB
2. Chứng minh CD=MB và DM=CB
Ta có ACB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó DM ∥ CB, mà CD ∥MB (gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành.
Suy ra: CD=MB và DM=CB.
3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O)để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O)để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.
AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)⇔ΔADC có AK ⊥ CD và DH⊥AC
nên M là trực tâm tam giác. Suy ra CM ⊥AD.
Vậy AD⊥AB⇔CM∥AB⇔AM=BC
Mà AM=MC nên AM=BC⇔AM=MC=BC⇒COB^=60°. Vậy tam giác OBC đều.
Vậy điểm C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho CBA^=60o
Cho đường tròn tâm O đường kính A, M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt (O) tại C, D. Trên tia MD lấy E nằm ngoài (O). Đường thẳng AE cắt (O) tại điểm I khác A, đường thẳng BE cắt (O) tại điểm K khác B. Gọi H là giao điểm của BI và. Chứng minh:
a) Tứ giác MBEI nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó.
a)
Ta có AIB^=EIB^=EMB^=90o
Vậy tứ giác MBEI nội tiếp đường tròn, tâm của đường tròn là trung điểm của BE.
b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau.
b) ΔEIH ΔMEA
Vì AEM^ là góc chung và EIH^=EMA^=90°
c, Chứng minh:EC.ED=EH.EM
c) ΔEIH ΔMEA ⇒EI. EA = EH. EM(1)
ΔEAD ΔECI (g-g) ⇒EI. EA = EC. ED (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EC.ED=EH.EM.
d) Khi E thay đổi trên, đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.
d) H là trực tâm của tam giác AEB nên AH ⊥ EB
VìAKB^=90°nên AK ⊥ EB ⇒ ba điểm A,H,K thẳng hàng.
Do A cố định nên HK luôn đi qua điểm Acố định.
Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O, đường thẳng CM cắt đường tròn tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P.
a) Chứng minh: Tứ giác OMNP nội tiếp.
a) Ta có:PMO^=PNO^=90° ⇒M,N cùng thuộc đường tròn đường kính PO.
Vậy tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Chứng minh: ΔMCO=ΔOPM , suy ra OMPD là hình chữ nhật.
b) Ta có:OPM^=ONM^ ( tứ giác OMNP nội tiếp)
ONM^=OCM^ ( tam giác OCN cân tại O)
⇒ OPM^=OCM^⇒CMO^=POM^
⇒ΔMCO=ΔOPM (g−c−g)⇒CO=MP=R
Ta có PM=DO=R; PM//DO (cùng vuông góc với AB)
⇒OMPDlà hình bình hành
Mặt khác: MOD^=90° nên OMPD là hình chữ nhật
c) Chứng minh: CM//OP .
c) Ta có: CMO^=POM^⇒ CM//OP.
c) Chứng minh: CM//OP .
c) Ta có: CMO^=POM^⇒ CM//OP.
d) Tính tích CM.CN theo R .
d, ΔEAD ΔECI
⇒CMCD=COCN⇒CM.CN=CO.CD=2CO2=2R2
Cho đường tròn (O,R) và AB dây , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm thuộc cung nhỏ BC , DM cắt AB tại F.
a. Chứng minh tứ giác CKFMnội tiếp.
a)
Vì AB⊥CD⇒CDF^=90°;
Mà CMF^=90° (Góc n.tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒Tứ giác CKFM nội tiếp
b. Chứng minh: DF.DM=AD2.
b) Ta có DF.DM=DK.DC (Do ΔDKF~ΔDMC(g−g) )
và DK.DC=AD2 (Pitago trong tam giác vuông ADC có AK đường cao)
Suy ra: DM.DF=AD2.
c. Tia cắt CM đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I. Chứng minh: IE=IF
c) MFI^=CDM^=DMI^⇒ΔMIF cân tại ⇒MI=MF (1)
Mà ; IME^+IMF^=EMF^=90° MFI^+MEI^=90° ( ΔMEF Vì vuông tạiM )
Mặt khác theo c/m trên:IMF^=MFI^ ⇒IME^=IEM^⇒ΔMIE cân tại I⇒IE=IM (2) ;
Từ (1) và (2) suy ra:IF=IE .
d. Chứng minh: FBEB=KFKA
d) Ta có KA=KB (T/c đường kính vuông góc dây cung)
Ta có: ΔDKF∽ΔEKC(g−g)⇒DKEK=KFKC⇔KE.KF=KD.KC.
Mà KD.KC=KB2 (Pitago trong tam giác vuông có CBD là BK đường cao)
⇔KB+BEKF=KB2⇔KB.KF+BE.KF=KB2⇔BE.KF=KB2−KB.KF
=KBKB−KF⇔BE.KF=KB.FB⇔FBEB=KFKB⇔FBEB=KFKA
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E , AC cắt tại F . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E, F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N.
a) Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp
a) Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp
Ta có: OEM^=90° (EMlà tiếp tuyến của (O))
OHM^=90°( AH là đường cao)
⇒OEM^+OHM^=90°+90°=180°
Vậy tứ giác MEOH nội tiếp
b) Chứng minh rằng AB.HE=AH.HB
b) Chứng minh rằng AB.HE=AH.HB
Xét ΔABHvuông tại H và ΔHBEvuông tại E có:
B⏜ chung
Vậy ΔABH ΔHBE(g.g)
⇒ABHB=AHHE hay AB.HE=AH.HB
c) Chứng minh ba điểm E,O,F thẳng hàng.
c) Chứng minh ba điểm E,O,F thẳng hàng.
Ta có: EAF^=AEH^=HFA^=90°
Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật
Suy ra EF,AH là hai đường chéo
Mà O là trung điểm của AH nên O cũng là trung điểm của EF
Vậy ba điểm E,O,F thẳng hàng.
d) Cho AB=210cm, AC=215cm. Tính diện tích ΔMON.
d) Cho AB=210cm, AC=215cm. Tính diện tích ΔMON.
Ta có OM là đường trung bình của ΔABH nên OM=12AB=12.210=10(cm)
Tương tự, ta cũng có ON=12AC=12.215=15(cm)
OM là tia phân giác của EOH^(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)EOM^=MOH^
Tương tự ta có HON^=NOF^
Mặt khácEOH^+HOF^=180° (kề bù)
Suy ra MON^=90°⇒ΔMON vuông tại .
SΔMON=12OM.ON=1210.15=562(cm2)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B với đường tròn (O) cắt tia CA tại D. Trên cạnh AB lấy điểm E ( E không trùng với A và B). Tia CE cắt đường tròn (O) tại F và cắt BD tại K. Tia BF cắt CD tại M.
a) Chứng minh ΔMAB∽ΔMFC.
a) Chứng minh ΔMAB ΔMFC.
Ta có: BAM^=CFM^=90°
MBA^=MCF^ ( cùng chắn cung AF)
Vậy ΔMAB ΔMFC (g.g).
b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp.
Do ΔABC vuông cân tại A nên ACB^=ABC^=45°
⇒AFC^=ABC^=45° (cùng chắn cung AC )
ΔDBC vuông cân tại B có DCB^=45°⇒D^=45°
Lại có AFC^+AFK^=180° (kề bù)
⇒D^+AFK^=180°. Vậy tứ giác AFKD nội tiếp
c) Tứ giác MDBH là hình gì?
c) Tứ giác MDBH là hình gì?
Ta có E là trực tâm của ΔBMC⇒MH⊥HB(1)
MH//DB (2) (vì cùng vuông góc với BC )
Từ (1),(2) suy ra tứ giác MDBH là hình thang vuông.
d) Chứng minh AB.EB+CE.CF=BC2
d) Chứng minh AB.EB+CE.CF=BC2
Ta có: ΔABC ΔHBE⇒ABHB=BCEB⇒AB.EB=BC.HB (3)
ΔFCB ΔHCE⇒CFHC=BCECCF.EC=HC.BC (4)
Cộng (3) và (4)⇒AB.EB+CF.EC=BC.HB+HC.BC=BC(HB+HC)=BC.BC=BC2
Vậy AB.EB+CE.CF=BC2.
Cho đường tròn (O,R) và hai đường kính AB,CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E,F. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE, AF.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
a) Tứ giác CDEF nội tiếp
CBD^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒EFB^=ABC^ (vì cùng phụ ABF^ )
ΔOBC có OB=OC=R nên ΔOBC cân tại O⇒ABC^=OCB^.
Suy ra: EFB^=OCB^⇒ tứ giác CDFE nội tiếp (có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
b) Chứng minh rằng CE.DF.EF=AB3và BE3BF3=CEDF
b) CE.DF.EF=AB3 và BE3BF3=CEDF
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
AE2=CE.BE,AF2=DF.BF và AB.EF=BE.BF
AB2=AE.AF⇒AB4=AE2.AF2=CE.BE.DF.BF=CE.DF.(BE.BF)=CE.DF.EF.AB
Do đó AB3=CE.DF.EF.
Ta lại có: BE2BF2=EA.EFFA.EF=EAFA⇒BE4BF4=EA2FA2=CE.BEDF.BF
Vậy: BE3BF3=CEDF.
c) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA
c) H là trung điểm AD
Kẻ PI⊥BQ(I∈BQ) và PI cắt AB tại H⇒H là trực tâm của ΔBPQ.
Ta có: AB2=AE.AF⇒AEAB=ABAF⇒AEAB/2=ABAF/2⇒AEOA=ABAQ
⇒ΔAEO∽ΔABQEAO^=BAQ^=90°,AEOA=ABAQ⇒ABQ^=AEO^
Mà IPQ^=ABQ^ (cùng phụ với BQP^ )
⇒AEO^=IPQ^, mà hai góc ở vị trí đồng vị nên IP//OE.
Trong ΔOAE có: PI//OE;EP=PA(gt)⇒OH=HA.
Cho đường tròn (O,R) đường kính AB=2R dây cung MN của (O) vuông góc AB với tại I sao cho IA<IB. Trên đoạn MI lấy điểm E(E≠M,E≠I). Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K
a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp được đường tròn.
a) Tứ giác IEKB nội tiếp.
Ta có: AKB^=60o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒AKB^+BIE^=90o+90o=180o
⇒Tứ giác IEKBnội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh AM2=AE.AK.
b) AM2=AE.AK.
Ta có: AB⊥MN tại I⇒AM⏜=AN⏜
⇒AME^=AKM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
ΔAME và ΔAKM có: MAK^:chung, AME^=AKM^(cmt).
⇒ΔAME∽ΔAKM(g.g)⇒AMAK=AEAM⇒AM2=AE.AK.
c) Chứng minh AE.AK+BI.BA=4R2.
c) AE.AK+BI.AB=4R2.
AMB^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: MB2=BI.AB.
Do đó: AE.AK+BI.AB=MA2+MB2=AB2=4R2.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.
Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AC => OAC^ = 90o
Vì MC là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ MC => OMC^ = 90o
=> OAC^ +OMC^ =180o. Suy ra OACM là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng DMDE=CMCE
b) Chứng minh rằng DMDE=CMCE
Xét hai tam giác vuông OAC và OMC có
OA=OM=Rchung OC⇒ΔOAC=ΔOMC
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ CA = CM . ⇒CMCE=CACE
Tương tự ta có DMDE=DBDE
Mà AC // BD (cùng vuông góc AB) nên CADB=CEDE⇒CACE=DBDE⇒CMCE=DMDE
c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.
c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.
Vì ΔOAC=ΔOMC⇒AOC=MOC⇒AOC=12AOM
Tương tự: BOD=12BOM
Suy ra AOC^+BOD^=12(AOM^+BOM^)=90o
Mà AOC+ACO=90o⇒ACO=BOD
⇒ΔAOC ΔBDO(g.g)⇒AOBD=ACBO⇒AC.BD=AO.BO=R2 (không đổi, đpcm)