Dạng 1: Bất đẳng thức có đáp án

Cho 4 số thực dương a, b, c, d.  Chứng minh rằng: $\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\le \sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa  $\left\{\begin{array}{l}a>c\\ b>c\end{array}\right.$.

Chứng minh rằng $\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le \sqrt{ab}$

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $\left\{\begin{array}{l}a\ge 1\\ b\ge 1\end{array}\right.$ .  Chứng minh rằng: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab$

Cho 2 số thực dương a, b.  Chứng minh rằng: $16ab{\left(a-b\right)}^2\le {\left(a+b\right)}^4$

Cho 2 số thực dương a, b.  Chứng minh rằng: $ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1$

Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\text{ , }\forall a,b>0$

Chứng minh rằng: $a+\frac{1}{a-1}\ge 3\text{ , }\forall a>1$

Chứng minh rằng: $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2\text{ , }\forall a\in R$

Chứng minh rằng: $\frac{3a^2}{1+9a^4}\le \frac{\text{1}}{\text{2}}\text{ , }\forall a\ne 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A={\left(a+1\right)}^2+{\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)}^2\text{ , }\forall a\ne -1$

Chứng minh rằng: $a+\frac{1}{b(a-b)}\ge 3\text{ , }\forall a>b>0$

Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:   $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c$

Cho ba số thực $abc\ne 0$. CMR: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $abc=1$. CMR $\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:   $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge 6$