Đồ thị trên có 5 đỉnh A, B, C, D, E với d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = d(E) = 2.

Quan sát đồ thị Hình 7 ta thấy:

a) Hai đỉnh A, B có được nối với nhau bằng một cạnh của đồ thị.

b) Dãy các cạnh kế tiếp nhau AB, BC, CD, DE có những tính chất sau: không có cạnh nào xuất hiện hai lần, đỉnh cuối của cạnh bất kì là đỉnh đầu của cạnh tiếp theo và không có đỉnh nào được đi qua hai lần. Dãy các cạnh kế tiếp nhau AB, BC, CD, DE được gọi là một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh E.

a) Một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh F là ADE (hoặc có thể chọn ABCDF hoặc ABCEF).

b) Một chu trình có đỉnh E là đỉnh đầu và đỉnh cuối là ECDFE (hoặc có thể chọn EFDCE).

Quan sát đồ thị Hình 8 ta thấy hai đỉnh bất kì của đồ thị đều được nối với nhau bằng một đường đi.

+) Ví dụ về đồ thị liên thông:

Ở hình trên, hai đỉnh bất kì của đồ thị đều được nối với nhau bằng một đường đi. Vậy đồ thị đó là đồ thị liên thông.

+) Ví dụ về đồ thị không liên thông:

Ở hình trên, mỗi đỉnh thuộc khối bên trên đều không thể nối được với mỗi đỉnh thuộc khối bên dưới bằng một đường đi. Vậy đồ thị đó là đồ thị không liên thông.

Quan sát đồ thị ở Hình 10 ta thấy:

a) Đường đi CABDCB đi qua tất cả các cạnh của đồ thị.

b) Đường đi trên đi qua mỗi cạnh đúng một lần.

Hình 11a có đường đi Euler BEDBADCA và đường đi Euler BEDCADBA.

Ta có d(A) = 3, d(B) = 3 nên đồ thị ở Hình 11a có đỉnh bậc lẻ, do đó theo định lí Euler, đồ thị ở Hình 11a không có chu trình Euler.

Quan sát đường đi màu đỏ trên đồ thị ở Hình 13 ta thấy đường đi đó đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị hay và mỗi đỉnh đi qua đúng một lần.

Quan sát đồ thị Hình 15, ta thấy rằng hai đường đi Hamilton bắt đầu từ đỉnh E của đồ thị này là EACDB và ECDBA.

Ta có: d(A) = 3, d(B) = 4, d(C) = 3, d(E) = 3, d(F) = 3. Đồ thị G ở Hình 17 gồm 5 đỉnh, mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc không nhỏ hơn $\frac{5}{2}$. Do đó, theo định lí Dirac, đồ thị G có ít nhất một chu trình Hamilton.

Đồ thị G ở Hình 19 gồm 6 đỉnh, trong đó các đỉnh A, D, E có bậc 4, các đỉnh B, C có bậc 5 và đỉnh F có bậc 2 nên tổng bậc của hai đỉnh không kề nhau bất kì đều không nhỏ hơn 6. Do đó, theo định lí Ore, đồ thị G có ít nhất một chu trình Hamilton.

Sử dụng điểm để biểu diễn vị trí thành phố, đoạn thẳng biểu diễn đường đi giữa hai thành phố, ta có mô hình như hình dưới đây.

a) Đồ thị chỉ có bốn đỉnh và chỉ có đúng hai đỉnh cùng có bậc là 1 (đỉnh A, đỉnh D).

b) Đồ thị chỉ có bốn đỉnh và chỉ có đúng hai đỉnh cùng có bậc là 2 (đỉnh B, đỉnh C).

Ta có: d(A) = 4, d(B) = 2, d(C) = 4, d(D) = 2, d(E) = 4, d(F) = 2.

Vì đồ thị Hình 20 liên thông và không có đỉnh bậc lẻ nên theo định lí Euler thì đồ thị này có chu trình Euler.

Một chu trình Euler của đồ thị ở Hình 20 là AECFEDACBA.

Ta có: d(A) = 3, d(B) = 3, d(C) = 4, d(D) = 4, d(E) = 2.

Vì đồ thị ở Hình 21 gồm có 5 đỉnh nên tổng bậc của hai đỉnh không kề nhau bất kì đều không nhỏ hơn 5. Do đó, theo định lí Ore, đồ thị này có ít nhất một chu trình Hamilton.

Một chu trình Hamilton của đồ thị này là ABCEDA.

Gọi 6 người bất kì là A, B, C, D, E, G.

Trong 6 người đó ta chọn ra một người A.Trong 5 người còn lại ta chia thành 2 nhóm:

- Nhóm 1 gồm những người quen A.

- Nhóm 2 gồm những người không quen A.

Có 5 người mà chỉ có 2 nhóm. Do đó, tồn tại ít nhất 3 người thuộc cùng một nhóm. Tức là tồn tại ít nhất 3 người quen A hoặc tồn tại ít nhất 3 người không quen A.

- Nếu tồn tại ít nhất 3 người quen A. Gọi 3 người đó là B, C, D:

+ Nếu trong 3 người B, C, D có 2 người nào đó quen nhau. Giả sử 2 người đó là B và C thì ta có 3 người A, B, C là 3 người đôi một quen nhau.

+ Nếu trong 3 người B, C, D không có 2 người nào đó quen nhau thì 3 người B, C, D là 3 người đôi một không quen nhau.

- Nếu tồn tại 3 người không quen A. Giả sử 3 người đó là D, E, G:

+ Trong 3 người D, E, G nếu có 2 người nào đó không quen nhau. Giả sử 2 người đó là D và E thì 3 người A, D, E là 3 người đôi một không quen nhau.

+ Nếu trong 3 người D, E, G không có 2 người nào không quen nhau thì 3 người D, E, G là 3 người đôi một quen nhau.

Vậy trong 6 người bất kì luôn tồn tại 3 người đôi một quen nhau hoặc 3 người đôi một không quen nhau (đpcm).